2024年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过去的一年，姜堰区深入实施工业强区、旅游兴区、教育立区“三大战略”，全年完成地区生产总值876.55亿元、增长6%，一般公共预算收入43.6亿元、增长5.5%.其中43.6亿元用科学记数法可表示为元．( )
A. 4.36×108B. 43.6×108C. 4.36×109D. 4.36×109
2.下列由两个全等的含45∘角的直角三角板拼成的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.下列调查中，最适合采用普查方式的是( )
A. 调查某品牌电视的使用寿命B. 调查某品牌手机的市场占有率
C. 调查某校九(1)班男女比例D. 调查某批次烟花爆竹的燃放效果
4.对于分式1−m21−m的值，下列说法一定正确的是( )
A. 不可能为0B. 比1大C. 可能为2D. 比m大
5.定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
6.已知二次函数y=x−m2−1(m为常数)，如果当自变量 x分别取−3,−1,1时，所对应的y值只有一个小于0，则m的值可能是( )
A. −2B. −1C. 0D. 2
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若a2=−32，则a=__________.
8.如图是某几何体的三视图，该几何体是__________.
9.分解因式：a3−4a2+4a=__________
10.关于x的一元二次方程x2−2x−5=0的两根之和为__________.
11.若2a−b=3，则4a−2b+1=__________.
12.一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性__________摸出白球的可能性(填“大于”、“小于”或“等于”).
13.如图，已知直线AD//BE//CF，如果 EFDF=35,AB=3,则BC=__________.
14.已知一次函数y=ax+b(a、b是常数，且a≠0)，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则m__________n.(填“>”、“=”或“<”)
15.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AD交小圆于点B，点C，当AD=10，BC=8时，大圆与小圆的面积之差为__________.
16.在△ABC中，∠C=90∘，∠B=60∘， D为边AC上的一点，若线段AB上存在两个点到D的距离等于12BC,则ADAB的取值范围为__________.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.
(1)计算∶−14+13−1× 27−6cs30∘；
(2)解方程组：2x+3y=73x+2y=8.
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
随着新能源的发展，新能源车企也迎来了更多的关注，下图是2022年1月至12，年1月至12月新能源乘用车零售销量情况．
新能源乘用车零售销量
(1)根据图中数据，下列说法正确的有__________(填序号)；
①2023 年1月以来，每月新能源乘用车零售销量都在不断增加；
②2023年新能源乘用车零售销量相较于前一个月增幅最大的是6月；
③除一月份以外，2023年每个月份新能源乘用车零售销量都比2022年同月的高．
(2)2023年新能源乘用车零售销量的中位数是__________万辆；
(3)请结合图中数据，谈谈新能源汽车在市场的发展前景．
19.(本小题8分)
把一个大长方形分成了4个全等小长方形(如图所示的①∼④小长方形)，现将其中部分小长方形涂黑，每个小长方形被涂黑是等可能的．
(1)若随机涂黑1个小长方形，则刚好涂黑④号小长方形的概率为__________；
(2)若随机涂黑2个小长方形，求剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的概率．(用列表法或树状图法)
20.(本小题8分)
某单位需要在规定时间内生产一批物资，通过调研，发现投标的工厂中有甲、乙两家资质合格，并获得如下信息：
信息1：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
信息2：乙厂单独完成这项任务比规定时间多用5天；
信息3：甲、乙两厂的生产速度之比为5:4；
根据以上信息解决下列问题：
(1)求规定时间；
(2)若甲乙两厂合作一些天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．求甲乙两厂合作的时间．
21.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=2AC，点P为BC延长线上一点．
(1)若，__________，求 PA的长；(请从信息“①∠PAC=∠B，②BC=6，③CP=2”中选择两个分别填入横线中，将题目补充完整，并完成解答．)
(2)在(1)的条件下，当AC=AP时，求△ABC的面积．
22.(本小题8分)
无人机在实际生活中已被广泛应用．如图所示，某人利用无人机测大楼BC的高度，无人机在空中点A处，测得楼底B点的俯角为53∘，测得楼顶C点的俯角为14∘，控制无人机水平移动35米至点D处，测得楼顶C点的俯角为31∘，(点A，B，C，D在同一平面内，且A，D在BC的同侧)，求大楼BC的高度．(tan14∘≈14,tan31∘≈35,tan53∘≈43)
23.(本小题8分)
如图，一次函数y1=−2x+a的图像与反比例函数y2=kxk>0的图像在第一象限相交于点A(m,n)，B(m−2,3n).
(1)求a、k的值；
(2)当y>y>0时，直接写出 x的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边AC上一动点．△BCD的外接圆⊙O交边AB于点E.
(1)用圆规和没有刻度的直尺在线段AB上求作一点 F，使∠ACF=∠CBD(两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连结 CF交BD于点 G，若FG⋅FC=4，求BF的长度．
25.(本小题8分)
已知，点P是边长为a(a为常数)的正方形ABCD内部一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，连结PD，EF，DE，DF，记△PDE，△PDF，△PEF的面积分别为S1，S2，S3，令PE=x，PF=y.
(1)如图1，点 P在对角线AC上．
①求S1+S2(用含a、x的代数式表示)
②是否存在实数k，使S1+S2+kS3的值与P点在AC上的位置无关．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；
(2)若xy=12，当点P在△ABC内部(不含边界)时(如图2).
①求x的取值范围；
②试说明：S1+S2的值随着x的增大而增大．
26.(本小题8分)
综合与实践
答案和解析
1.【答案】C
【解析】本题主要考查了科学记数法，将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|<10，n为比整数位数少1的数．
【详解】解：43.6亿元用科学记数法可表示为4.36×109元．
故选：C.
2.【答案】D
【解析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D.
3.【答案】C
【解析】本题考查了全面调查与抽样调查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知．
【详解】解：A、调查某品牌电视的使用寿命，最适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
B、调查某品牌手机的市场占有率，最适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
C、调查某校九(1)班男女比例，最适合采用普查方式，故本选项符合题意；
D、调查某批次烟花爆竹的燃放效果，最适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
故选：C.
4.【答案】D
【解析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质．
【详解】A、当1−m21−m=1+m1−m1−m，当m=−1时，分时的值为0，原选项说法错误，不符合题意；
B、1−m21−m=1+m1−m1−m=1+m，可能比1小，原选项说法错误，不符合题意；
C、当1−m21−m=1+m1−m1−m=1+m=2时，m=1，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意；
D、1−m21−m=1+m1−m1−m=1+m，比m大，原选项说法正确，符合题意；
故选：D.
5.【答案】D
【解析】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、平行四边形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意；
B、矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角不一定互补，故本选项不符合题意；
D、正方形的邻边相等，对角互补，故本选项符合题意；
故选：D
6.【答案】B
【解析】本题主要考查分类讨论、数形结合思想及二次函数基本性质、解不等式组等，根据题意，对m进行分类讨论、考虑临界值是否满足题意是解题关键．
题目中给定三个x的取值，−3,−1,1，对应的y值只有一个小于0，由二次函数可得其对称轴为x=m，开口向上，需对对称轴进行分类讨论，①m>0=−1+12时，x=1时取最小值，对应的yx=1<0，yx=−1>0，yx=−3>0；②−3+−12=−20，yx=−3>0；③m>−2=−3+−12时，x=−3取最小值，对应的yx=−3<0，yx=−1>0，yx=1>0，综合①②③，同时根据数形结合思想，得m的解集，即可得出答案．
解：二次函数y=(x−m)2−1对称轴为x=m.
①m>0时，x=1时取最小值，
∴(1−m)2−1<0(−1−m)2−1>0(−3−m)2−1>0，解得0②−2∴(−1−m)2−1<0(1−m)2−1>0(−3−m)2−1>0，解得−2③m<−2时，x=−3时取最小值，
∴(−3−m)2−1<0(−1−m)2−1>0(1−m)2−1>0，解得−4当m=−2时，y=0有两个对应值为：x=−1，x=−3，当x=1时，y>0与题意矛盾，
∴m≠−2；
当m=0时，y=0有两个对应值为：x=−1，x=1，当x=−3时，y>0与题意矛盾，
∴m≠0.
综上可得：m的取值范围为：−4∴m的值可能是−1；
故选B.
7.【答案】±3
【解析】本题考查平方根，先根据有理数的乘方将已知转化为a2=9，再根据平方根定义求解即可．解题的关键是掌握平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(或二次方根)，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根．
解：∵a2=−32，
∴a2=9，
∴a=±3.
故答案为：±3.
8.【答案】圆柱
【解析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱．
故答案为：圆柱．
本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
9.【答案】aa−22
【解析】本题考查了因式分解．观察原式a3−4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2−4a+4是完全平方式，利用完全平方公式继续分解可得．
解：a3−4a2+4a
=a(a2−4a+4)
=aa−22.
故答案为：aa−22.
10.【答案】2
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系进行解答即可．
解：设x2−2x−5=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=2.
故答案为：2.
11.【答案】7
【解析】本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键．
由题意知，4a−2b+1=22a−b+1，代值求解即可．
解：由题意知，4a−2b+1=22a−b+1=2×3+1=7，
故答案为：7.
12.【答案】大于
【解析】本题主要考查可能性的大小，从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性大小为24=12，摸出白球的可能性大小为14，据此可得答案．
解：从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性大小为24=12，摸出白球的可能性大小为14，
所以摸出黑球的可能性大于摸出白球的可能性，
故答案为：大于．
13.【答案】92
【解析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
由AD//BE//CF，可得BCAC=EFDF，即BC3+BC=35，计算求解即可．
解：∵AD//BE//CF，
∴BCAC=EFDF，即BC3+BC=35，
解得，BC=92，
故答案为：92.
14.【答案】<
【解析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质进行判断即可，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
当c0，
∴n>−n2−n−2，
则有y随x的增大而减小，
∴当cm，即m故答案为：<.
15.【答案】9π
【解析】本题主要考查了垂径定理，圆的面积，连接OA、OB，作OE⊥AD于点E，根据垂径定理得BE=CE，AE=DE，再根据圆的面积公式计算即可．
解：如图，连接OA、OB，作OE⊥AD于点E，则BE=CE，AE=DE，

∵AD=10,BC=8,
∴AE=5,BE=4,
大圆与小圆的面积之差为：πOA2−πOB2
=πOE2+AE2−πOE2+BE2
=πOE2+AE2−OE2−BE2
=πAE2−BE2
=9π.
故答案为：9π.
16.【答案】14≤ADAB<12
【解析】本题主要考查了直角三角形的性质，切线的性质，两点间距离，以点D为圆心，12BC为半径画圆，分别找出当⊙D经过点A时，当⊙D与线段AB相切时，ADAB的值，即可得出答案．
解：∵在△ABC中，∠C=90∘，∠B=60∘，
∴∠A=90∘−60∘=30∘，
∴AB=2BC，
以点D为圆心，12BC为半径画圆，当⊙D经过点A时，如图所示：

此时AD=12BC，在线段AB上刚好有两个点到点D的距离为12BC，则ADAB=12BC2BC=14，
以点D为圆心，12BC为半径画圆，当⊙D与线段AB相切时，如图所示：

此时在线段AB上刚好有一个点到点D的距离为12BC，
设⊙D与线段AB相切于点E，
∴DE⊥AB，DE=12BC，
∵∠A=30∘，
∴AD=2DE=BC，
∴ADAB=BC2BC=12，
∴线段AB上存在两个点到D的距离等于12BC时，ADAB的取值范围为：14≤ADAB<12.
故答案为：14≤ADAB<12.
17.【答案】【小题1】
−14+13−1× 27−6cs30∘
=−1+3×3 3−6× 32
=−1+9 3−3 3
=6 3−1；
【小题2】
{2x+3y=7①3x+2y=8②，
①+②得5x+5y=15即x+y=3③；
②-①得x−y=1④；
③+④得2x=4，解得x=2，
③-④得2y=2，解得y=1，
∴原方程组的解为x=2y=1.

【解析】1.
本题考查负整数指数幂、特殊角的三角函数值等，掌握负整数指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据负整数指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值计算即可；
2.
采用加减消元法解二元一次方程组即可．
18.【答案】【小题1】
③
【小题2】
65.3
【小题3】
2023 年1月以来，每月新能源乘用车零售销量大体呈现上升趋势，
∴新能源汽车逐渐受大众的认可，预计未来零销售量还会增加．

【解析】1.
本题考查了折现统计图，中位数，读懂统计图是解题的关键．
根据折线图求解即可；
由折线图可得，
①3月至4月和6月至7月零售销量下降，故错误；
②2023年新能源乘用车零售销量相较于前一个月增幅最大的是2月，故错误；
③正确；
2.
根据中位数的概念求解即可；
2023年新能源乘用车零售销量的中位数是64.1+66.52=65.3万辆；
3.
根据折线图求解即可．
19.【答案】【小题1】
14
【小题2】
解：随机涂黑2个小长方形，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的结果有：①②，①④，②①，③④，④①，④③，共6种，
∴剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的概率为612=12.

【解析】1.
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
直接利用概率公式可得答案；
解：由题意得，刚好涂黑④号小长方形的概率为14；
故答案为：14；
2.
列表可得出所有等可能的结果数以及剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案．
20.【答案】【小题1】
解：设规定时间是x天，则甲厂单独完成这项任务需要x天，乙厂单独完成这项任务需要(x+5)天，
根据题意得：1x:1x+5=5:4，
解得：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意．
答：规定时间是20天；
【小题2】
解：设甲、乙两厂合作的时间为y天，
根据题意得：y20+2020+5=1，
解得：y=4.
答：甲、乙两厂合作的时间是4天．

【解析】1.
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
设规定时间是x天，则甲厂单独完成这项任务需要x天，乙厂单独完成这项任务需要(x+5)天，根据甲、乙两厂的生产速度之比为5:4，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
2.
设甲、乙两厂合作的时间为y天，利用甲厂完成的任务量+乙厂完成的任务量=总任务量，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
21.【答案】【小题1】
解：若选择①∠PAC=∠B，③CP=2；
∵∠PAC=∠B，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PBA，
∴CPPA=ACAB，
∵AB=2AC，
∴CPPA=12，
∴PA=2CP=4；
如果选择①∠PAC=∠B，②BC=6，设PC=x，则PB=x+6，
同理△PAC∽△PBA，
∴PAPB=CPPA=ACAB=12，即PAx+6=xPA=ACAB=12，
∴PA=2x，2PA=x+6，
解得x=2，∴PA=4，
如果选择②BC=6，③CP=2，由于AB会随着AC的变化而变化，同时PA的长也是变化的，此时求不出PA的长．
故答案为：①，②；(答案不唯一)
【小题2】
解：过点A作AD⊥PC于D，如下图所示：
∵在(1)的条件下，
∴CP=2，AP=4，
∴AC=AP=4，
∴CD=PD=1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD= AC2−CD2= 15，
∴S△PAC=12×CP×AD=12×2 15= 15，
∵△PAC∽△PBA，ACAB=12，
∴S△PAC:S△PBA=1:4，
∴S△PAB=4S△PAC=4 15，
∴S△ABC=S△PAB−S△PAC=4 15− 15=3 15.

【解析】1.
此题主要考查了三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
选择①∠PAC=∠B，③CP=2，证△PAC∽△PBA得CPPA=ACAB，再根据AB=2AC即可得PA的长；
如果选择①∠PAC=∠B，②BC=6，设PC=x，则PB=x+6，由△PAC∽△PBA得PAPB=CPPA=ACAB=12，据此即可求得PA的长；
如果选择②BC=6，③CP=2，由于AB会随着AC的变化而变化，同时PA的长也是变化的，由此即可得出答案；
2.
过点A作AD⊥PC于D，则CP=2，AC=AP=4，进而得CD=PD=1，再由勾股定理求出AD= 15，则S△PAC= 15，根据△PAC和△PBA相似且ACAB=12，得S△PAB=4 15，由此可得△ABC的面积．
22.【答案】解：延长BC交AD于点G，
由题意得：BG⊥AG，AD=35米，
设DG=x米，
∴AG=AD+DG=(35+x)米，
在Rt△ACG中，∠CAG=14∘，
∴CG=AG⋅tan14∘≈14(35+x)米，
在Rt△CDG中，∠CDG=31∘，
∴CG=DG⋅tan31∘≈35x(米)，
∴14(35+x)=35x，
解得：x=25，
∴CG=35x=15(米)，AG=35+x=60(米)，
在Rt△ABG中，∠BAG=53∘，
∴BG=AG⋅tan53∘≈60×43=80(米)，
∴BC=BG−CG=80−15=65(米)，
∴大楼BC的高度约为65米．

【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．延长BC交AD于点G，根据题意可得：BG⊥AG，AD=35米，然后设DG=x米，则AG=(35+x)米，分别在Rt△ACG和Rt△CDG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而列出关于x的方程进行计算可求出AG和CG的长，最后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
23.【答案】【小题1】
解：∵点A(m,n)，B(m−2,3n)都在反比例函数图象上，
∴mn=3n(m−2)，
整理得：2n(m−3)=0，
∵m≠0,n≠0，
∴m−3=0，解得m=3.
∵A(3,n),B(1,3n)在直线y1=−2x+a的图象上，
∴−6+a=n−2+a=3n，解得n=2a=8，
∴A(3,2)，
∵A(3,2)在反比例函数图象上，
∴k=6.
∴a=8,k=6.
【小题2】
解：由(1)可知：A(3,2)，B(1,6)，根据函数图象可知，y1>y2>0时，x的取值范围为：1
【解析】1.
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题
根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到m=3，代入A、B点的坐标再代入一次函数解析式组成方程组求出n和a，最后求出k值即可；
2.
根据函数图象直接写出当y1>y2>0时自变量取值范围即可．
24.【答案】【小题1】
解：如图，点F即为所作：
【小题2】
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACF=∠CBD，
∴∠ABC−∠CBD=∠ACB−∠ACF，
即∠ABD=∠FCB，
又∵∠BFG=∠CFB，
∴△BFG∽△CFB，
∴BFCF=FGBF，
∴BF2=FC⋅FG=4，
∴BF=2(舍负).

【解析】1.
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质
在DB⌢取一点H，使DH⌢=DC⌢，连接CH并延长线段AB于点F，此时∠ACF=∠CBD；
2.
证明△BFG∽△CFB，得到BF2=FC⋅FG=4，据此求解即可．
25.【答案】【小题1】
解：①∵点P是边长为a的正方形ABCD的对角线AC上的一点，且PE⊥AB，PF⊥BC，PE=x，PF=y，BC//AD，AB//CD，
∴∠PEB=∠PFB=∠ABC=90∘，∠CAB=∠ACB=45∘，
∴四边形PEBF是矩形，
∴BF=PE=x，BE=PF=y=a−x，PE//BC，PF//AB，
∴AD//EP//BC，AB//PF//DC，
∵△PDE，△PDF，△PEF的面积分别为S1，S2，S3，
∴S△PAE=S△PDE=S1，S△PCF=S△PDF=S2，
在Rt△EAP中，∠APE=90∘−∠CAB=90∘−45∘=45∘=∠PAE，
∴AE=PE=x，
在Rt△FCP中，∠CPF=90∘−∠ACB=90∘−45∘=45∘=∠ACB，
∴CF=PF=y，
∴S1+S2=S△PDE+S△PDF=12PE⋅AE+12PF⋅CF=12x2+12y2，
∵x+y=AB=a，
∴y=a−x，
∴S1+S2=12x2+12a−x2；
②∵四边形PEBF是矩形，PE=x，PF=y，
∴S3=S△PEF=12PE⋅PF=12xy=12xa−x，
∴S1+S2+kS3=12x2+12a−x2+12kxa−x
=12×x2+a2−2ax+x2+kax−kx2
=122−kx2−ax+12a2，
∵S1+S2+kS3的值与P点在AC上的位置无关，即与x值无关，
∴2−k=0，
解得：k=2，
∴当k=2时，S1+S2+kS3的值为12a2，与P点在AC上的位置无关；
【小题2】
①连接AP，CP，
由(1)知：S1=S△PDE=S△PAE=12PE⋅AE，S2=S△PDF=S△PCF=12PF⋅CF，
∵四边形PEBF是矩形，xy=12即y=2x，
∴BF=PE=x，BE=PF=2x，
∴AE=a−2x，FC=a−x，
∴S1=12PE⋅AE=12xa−2x，S2=12PF⋅CF=12×2xa−x=xa−x，
∴S1+S2=12xa−2x+xa−x=32ax−2x2，
延长BP交AC于P′，作P′E′⊥AC于E′，
∴E′P′//EP，∠AE′P′=90∘，
∴∠BE′P′=∠BEP=90∘，∠BP′E′=∠BPE，
∴△BE′P′∽△BEP，
∴BE′BE=E′P′EP，即BE′E′P′=BEEP=2xx=2，
∴BE′=2E′P′，
在Rt△E′AP′中，∠AP′E′=90∘−∠CAB=90∘−45∘=45∘=∠P′AE′，
∴AE′=P′E′，
∴a=AB=BE′+AE′=3P′E′，
∴P′E′=a3，
∵点P在△ABC内部(不含边界)
∴0②∵S1+S2=32ax−2x2=−2x2+32ax，
∴对称轴为：x=−32a2×−2=38a，
∵0∴0<13a<38a，
∵−2<0，
∴当x<38a时，y随x的增大而增大，
即S1+S2的值随x的增大而增大．

【解析】1.
①证明四边形PEBF是矩形，得到AD//EP//BC，AB//PF//DC，继而得到S△PAE=S△PDE=S1，S△PCF=S△PDF=S2，根据等边对等角得到AE=PE=x，CF=PF=y，再根据三角形的面积即可得解；
②求出S1+S2+kS3=122−kx2−ax+12a2，根据题意即可得解；
2.
①连接AP，CP，根据四边形PEBF是矩形，xy=12，得S1+S2=32ax−2x2，延长BP交AC于P′，作P′E′⊥AC于E′，证明△BE′P′∽△BEP，得BE′BE=E′P′EP，继而得到BE′=2E′P′，得P′E′=a3，再根据点P在△ABC内部(不含边界)可得解；
②根据S1+S2=32ax−2x2=−2x2+32ax，利用二次函数的性质即可得解．
本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识点．掌握矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键．
26.【答案】任务1：
证明：连接BC、AC，

由题意可知B−1,0、A1,0、C0,−1
∵BC2+AC2=OB2+OC2+OA2+CO2=4，AB2=4，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
任务2：
∴过C点作x轴的平行线l，过A作AM⊥l，过B作BN⊥l，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAC=∠OBC=∠OCB=∠OCA=45∘，
∴∠NBC=∠NCB=∠MAC=∠MCA=45∘，
∴△AMC∽△CNB，
设点A的横坐标为xA，点B的横坐标为xB，
所以xA、xB是方程x2−1=x+n的两个根，即x2−x−n−1=0
∴xA⋅xB=−n−11=−n−1，
∵△AMC∽△CNB，
∴AMCN=MCNB，
∴x A2−1+1−xB=xAx B2−1+1，
∴xA⋅xB=−1，
∴−n−1=−1，
∴n=0
任务3：
同任务2可得△AMC∽△CNB，
∴AMCN=MCNB
∴ax A2+c−c−xB=xAax B2+c−c，
∴a2xA⋅xB=−1
令ax2+c=kx+n，
∴ax2−kx+c−n=0
∵xA、xB是方程的两个根，
∴a2⋅c−na=−1，
∴ac−an=−1
∵ac=−2，
∴an=−1，
∴c=2n；
任务4：S△AOE=S△DOE，理由：
n=0时，令ax2+c=kx，
∴ax2−kx+c=0，
设Bt,kt，
∴C0,c，
所以直线BC:y=kt−ct⋅x+c，
令y=0，xD=tcc−kt，
∵xA+xB=ka，xA⋅xB=ca，
∴xA=ka−t，xA=cat，
∴ka−t=cat，
∴kt−c=at2，
∴xD=tc−at2=−cat，xA=cat
∵S△AOE=12⋅OE⋅xA，S△DOE=12⋅OE⋅xD，
∴S△AOE=S△DOE.

【解析】任务1：连接BC、AC，然后根据勾股定理解题即可；
任务2：过C点作x轴的平行线l，过A作AM⊥l，过B作BN⊥l，可以得到△AMC∽△CNB，设点A的横坐标为xA，点B的横坐标为xB，则xA⋅xB=−n−11=−n−1，然后根据相似三角形的的性质得到AMCN=MCNB，即可得到关于n的方程解题即可；
任务3：根据“任务2”的方法解题即可；
任务4：n=0时，令ax2+c=kx，设Bt,kt，则C0,c，可以得到直线BC的解析式为y=kt−ct⋅x+c，然后求出xA,xD的值，利用S△AOE=12⋅OE⋅xA，S△DOE=12⋅OE⋅xD解题即可．
x
…
c
c+1
c+2
…
y
…
n
−n2−n−2
m
…
①
②
③
④
【研究素材】二次函数：y=x−1的图像与y轴交于点C，与 x轴分别交于A， B两点．
小亮对素材进行了深入的研究，提出研究思路，并布置了相关任务，请你根据小亮的研究完成下列任务．(为了方便研究，规定点 A 在点 B 的右边)
【探究1】确定【素材】中∠ACB的度数
【任务1】证明∶∠ACB=90∘；

【探究2】改变相交的对象研究
若二次函数y=x2−1的图像与y轴交于点 C，与一次函数y=x+n的图像分别交于A， B两点．
【任务2】若“∠ACB=90∘”成立，求 n的值；
【探究3】改变表达式的系数研究
若二次函数．y=ax+c(a>0,c<0)的的图像与y
轴交于点C，与一次函数y=kx+nk≠0的图
像分别交于A， B两点．
【任务3】若“∠ACB=90∘”成立，当ac=−2时，求 n与c之间的关系式；
【任务4】当n=0时，若直线BC与x轴交于点 D，连结AD交y轴于点 E，试比较S△AOE与S△DOE的大小，并说明理由．
①
②
③
④
①
①②
①③
①④
②
②①
②③
②④
③
③①
③②
③④
④
④①
④②
④③