江苏省南通市如东县、通州区、海门区2024年九年级中考一模数学试题（含解析）

这是一份江苏省南通市如东县、通州区、海门区2024年九年级中考一模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了下列计算正确的是，如图，中，等内容，欢迎下载使用。

注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项．
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．)
1．计算的结果是（ ）
A．2B．C．D．
2．我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中64580000用科学记数法可表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
5．如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（ ）

A．10°B．12°C．15°D．20°
6．关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
7．如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知关于x的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
11．分解因式： ．
12．正十二边形的外角和为 ．
13．用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 ．
14．计算的结果是 ．
15．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
16．如图，A，B，C，D，E是上的五个点，．若的半径为6，，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过，两点．若的面积为，则的值为 ．
18．如图，四边形是边长为2的正方形，是平面内一点，，将绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．当的长最小时，的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（1）计算：；
（2）解方程：．
20．为了解A、B两款品质相近的无人机在充满一次电后运行的最长时间，有关人员随机抽取了这两款无人机各架，记录下它们运行的最长时间（单位：），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用表示，共分为三组：合格；良好；优等），得到有关信息．
信息一：架A款无人机充满一次电后运行的最长时间是：
，，，，，，，，，；
信息二：B款无人机运行最长时间统计图
两款无人机运行最长时间统计表
(1)你认为哪款无人机运行性能更好些？请说明理由（写出一条即可）；
(2)若仓库有A款无人机架、B款无人机架，估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有多少架？
21．如图，P是内一点，，．求证：．
小虎的证明过程如下：
(1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
22．某超市开展促销活动，凡购物者可获得一次抽奖机会，规则如下：在一个不透明的箱子里装有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5．摸奖者从中随机一次摸出两个小球，若两个球上的数字和为，则所购商品总价打折．请用画树状图或列表的方法，求某顾客抽奖一次获得7折的概率．
23．日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与相交于点，与相交于点，连接，，，．
(1)求的度数；
(2)连接，求的长．
24．某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求该产品的生产成本；
(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．
25．如图，折叠矩形纸片，使点C落在边上的点F处，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，点A落在边上的点M处，得到折痕，把纸片展平，的对应边交于点P，交于点Q．
(1)四边形的形状是 ；
(2)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
(3)若，求的面积．
26．已知抛物线（m，n为常数，）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，．
(1)求的值；
(2)如图，连接交于点，求证：；
(3)设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作轴，交直线于点N．由线段长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数．
类别
平均数
中位数
众数
方差
A
B
证明：在和中，
∵，，，
∴≌．（第一步）
∴．（第二步）
信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成．
信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．
1．A
【分析】本题考查了有理数的乘法．根据“两数相乘，同号得正”即可求出结论．
【详解】解：．
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的定义是解决问题的关键．科学记数法的定义：把一个数表示为的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法，当表示的数的绝对值大于10时，，n为正整数，n的值等于原数的整数部分的位数减1；当表示的数的绝对值小于1时，，n为负整数，n的值等于原数的第一个非0数字前面所有0（包括小数点前面的那个0）的个数的相反数．
根据科学记数法的表现形式解答，其中，．
【详解】，
故选：B．
3．C
【分析】根据俯视图是从物体的上面看的图形即可解答．
【详解】解：∵从砚台上面看到的图形是
故选．
【点睛】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方．根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能进行合并，故该项不符合题意；
B、，故该项不符合题意；
C、，故该项不符合题意；
D、，故该项符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查平行公理推论，平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线．
过点B作交于D，则，在中，，又在中，，则，从而求得，再证明，即可由平行线的性质求解．
【详解】解：过点B作交于D，

∵，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
6．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了尺规作图的基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学的知识解决问题．
根据线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
【详解】解：由做图可知垂直平分线段，
得，，
，
，
，
，
是的中位线，，
故选项B正确，不符合题意；
，
故选项A正确，不符合题意；
，，
，，
，
，
故选项D正确，不符合题意；
只有当时，，
故选项C错误，符合题意．
故选：C．
8．B
【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案．
【详解】解：，点，
与关于轴对称，
即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意；
，点，
当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．
故选：B．
9．C
【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理．根据全等三角形的性质得出，，，，进而利用矩形的性质解答即可．
【详解】解：用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，
设，，，，
四边形是矩形，
，，，
由勾股定理可得，，，
，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式是解题的关键．由已知得，化简得，所以，再求出b的取值范围，最后根据二次函数的图象与性质，可求出的取值范围，由此可判断答案．
【详解】当时，该多项式的值为，
，
整理得，
，
，
即，
，
，，
，
，
当时，，
根据二次函数的图象可知，当时，．
故选A．
11．
【分析】根据平方差公式分解因式，即可．
【详解】解：，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和为，理解多边形的外角和定理是解题的关键．
【详解】正十二边形的外角和是：，
故答案是：．
13．（答案不唯一，只要负数即可）
【分析】本题考查二次根式的性质，根据求解即可得到答案；
【详解】解：∵“”是错误的，
∴，
故答案为：（答案不唯一，只要负数即可）．
14．3
【分析】本题考查分式的加减．熟练掌握同分母分式相加减，分母不变，分子相加是解题的关键．注意结果要化为最简分式或整式．
同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可．
【详解】
故答案为：3．
15．2.9
【详解】在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.
16．
【分析】本题考查扇形面积的计算及圆周角定理．根据同弧或等弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，求出的度数，再利用扇形的面积公式即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据条件和值的几何意义得到，代入坐标整理得到，依据，转化为，可求出，将所求代数式化简后代入数据即可得到结果．
【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为、，
∵
根据反比例函数k值的几何意义可得：
，
，
整理得：，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
18．
【分析】通过证明，可得，则当点在上时，有最小值为，即的最小值为，由等腰直角三角形的性质和锐角函数的性质可求解．
【详解】解：连接，，交于点，连接，，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
，
，
将绕点顺时针方向旋转得到线段，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
当点在上时，有最小值为，
的最小值为，
过点作于，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键．
19．（1）原式；（2）原方程的解为
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，解分式方程：
（1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解方程，最后检验即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
方程两边同乘以得，
解得．
检验：当时，，
∴是原方程的解．
∴原方程的解为．
20．(1)A更好，理由见解析
(2)估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有192架
【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数等知识点，能够读懂统计图并理解相关概念是解答本题的关键．
（1）比较两款无人机运行最长时间的平均数、众数、中位数即可．
（2）结合信息一、信息二分析出A、B两款无人机运行性能在良好及以上的占比即可．
【详解】（1）解：A款无人机更好，理由如下：虽然两款无人机运行最长时间的平均数相同，但A款无人机运行最长时间的中位数和众数均高于B款无人机，所以A款无人机运行性能更好（答案不唯一）．
（2）（架）
∴估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有架．
21．(1)一
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由全等三角形的判定方法可得出结论；
（2）证明，得出．
【详解】（1）解：全等的判定方法用错了，第一步出现错误；
故答案为：一；
（2）解：，
．
，
．
即．
，
在和中，
，
∴，
．
22．顾客抽奖一次获得7折的概率为
【分析】本题考查列表法与树状图法．画树状图可得出所有等可能的结果数以及两个球上的数字和为7的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
由图可以看出，可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．
其中两个数字之和为7的有4种．
则P(获得7折)．
∴顾客抽奖一次获得7折的概率为．
23．(1)
(2)的长为
【分析】本题考查平行投影，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，
（1）证明，再利用切线的性质证明，再利用三角形内角和定理求解；
（2）求出，，利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：如图，连接．
与相切于点，
，
，
，
．
，为半径，
与相切于点．
而与相切于点，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，与相切，
．
，
，
在 中，．
24．(1)该产品的生产成本为38元/件
(2)4月份该产品销售单价的范围是
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论；
（2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为．
令，则，
即3月份销售量为400件，
设该产品的生产成本为元件，则，
解得，
答：该产品的生产成本为38元件；
（2）解：3月份利润为：元．
由题意得4月份成本为元件，
则，
解得，
月份该产品销售单价的范围是．
25．(1)正方形
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）先证明，可得四边形为矩形，再证明，从而可得结论；
（2）连接，证明，．．可得．从而可得结论；
（3）由≌得，．设，则．由勾股定理得，，即，可得．过点Q作于H，可得，再进一步可得答案．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，理由如下：
∵矩形纸片，
∴，
由折叠可得：，
∴四边形为矩形，
由折叠可得：，
∴四边形为正方形；
（2），
证明：连接，
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
由折叠知，，．
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
在和中，．
∴．
∴．
∴．
（3）由≌得，．
∴．
∵正方形中，
∴．
设，则．
由勾股定理得，，即，
解得．
即．
过点Q作于H，
∵，
∴，．
∵，
∴，即．
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，理解轴对称的性质是解本题的关键．
26．(1)
(2)见解析
(3)当时，符合条件的点M有3个；当时，符合条件的点M有2个；当时，符合条件的点M有1个
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质．
（1）由，则，得到，即可求解；
（2）证明，则，即可求解；
（3）求出，由题意知且．结合图象，即可求解．
【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
，
则．
，
将代入得：．
；
（2）证明：由（1）得，
．
，．
过作轴交延长线于点，
设直线为，则，即，
直线为．
令，则，即，
点F横坐标为1，
．
∵轴，
，则，
；
（3）解：直线为．
设的坐标为，
则的坐标为，
．
由题意知且．
结合图象，
当时，符合条件的点有3个；
当时，符合条件的点有2个；
当时，符合条件的点有1个．