2024年江苏省南通市海门区东洲国际学校中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

这是一份2024年江苏省南通市海门区东洲国际学校中考数学模拟试卷（5月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.5的倒数是( )
A. 5B. −5C. 15D. −15
2.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次．将15233000用科学记数法表示应为( )
A. 152.33×105B. 15.233×106C. 1.5233×107D. 0.15233×108
3.下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是( )
A. B. C. D.
4.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( )
A. B. C. D.
5.解一元一次方程12(x+1)=1−13x时，去分母正确的是( )
A. 3(x+1)=1−2xB. 2(x+1)=1−3x
C. 2(x+1)=6−3xD. 3(x+1)=6−2x
6.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是( )
A. 42 3米B. 14 3米C. 21米D. 42米
7.如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，经过原点的⊙P与两坐标轴分别交于点A，B，点C是OAB上的任意一点(不与点O，B重合)如果tan∠BCO= 33，则点A和点B的坐标可能为( )
A. A(2 3,0)和B(0,2)
B. A(2,0)和B(0,2 3)
C. A( 3,0)和B(0,2)
D. A(2,0)和B(0, 3)
9.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为( )
A. 485B. 325C. 245D. 125
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(−3,0)与(1,0)两点，关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0A. −2或0B. −4或2C. −5或3D. −6或4
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：
这次调查中的众数和中位数分别是 ， ．
12.计算：(15)−1− 4=______．
13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则C1C2的值等于 ．
14.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．
15.如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为______海里．
16.如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F.若EF的长为π2，则图中阴影部分的面积为______．
17.如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为____．
18.将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=kx−2−k(k>0)相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则(a−1)(b+2)= ．
三、计算题：本大题共1小题，共11分。
19.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG.当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数．
四、解答题：本题共7小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
(1)先化简，再求值：a2−4a+4a2−2a÷a2−42a，其中a=−1．
(2)计算(4−a2a−1+a)÷a2−16a−1．
21.(本小题10分)
2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》.长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：
(1)这次调查活动共抽取______人；
(2)m=______，n=______；
(3)请将条形统计图补充完整；
(4)若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
22.(本小题12分)
如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y=kx(x>0)的图象经过点A (3,4)和点M．
(1)求k的值和点M的坐标；
(2)求▱OABC的周长．
23.(本小题9分)
某条道路上有学校，为了保证师生的交通安全，通行车辆限速为40千米/时，在离道路100米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区(如图).在△ABP中，∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(精确到0.1秒，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
24.(本小题12分)
如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、点C，连接AB、PB．
(1)如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
(2)如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，∠MON=60°，连接AP，设APOQ=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．
25.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+1与抛物线y=ax2+bx−3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B点重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
(1)求a、b及sin∠ACP的值；
(2)设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
26.(本小题13分)
综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
操作发现
(1)将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是______；
(2)创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；
实践探究
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；
(4)请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，5的倒数是15，
故选：C．
运用实数a的倒数是1a(a≠0)进行求解、辨别．
此题考查了倒数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】C
【解析】解：15233000=1.5233×107，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最多，
所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，
故选：D．
各选项袋子中分别共有10个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最多的袋子即可得出答案．
本题主要考查可能性的大小．
4.【答案】C
【解析】解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
从上面看物体所得到的图形即为俯视图，因此选项C的图形符合题意．
本题考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查解一元一次方程.方程去分母时，两边同时乘各分母的最小公倍数，约去分母；不要漏乘不含分母的项，据此逐一进行判断即可．
【解答】
解：12(x+1)=1−13x，
6×12(x+1)=6×1−6×13x
3(x+1)=6−2x，
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42 3(米)
故选：A．
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
7.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
设AP=x，则有PB=AB−AP=7−x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．
【解答】
解：设AP=x，则有PB=AB−AP=7−x，
由∠A=∠B=90°，
当DABP=APBC，△PDA∽△CPB时，即27−x=x3，
解得：x=1或x=6，
当ADBC=APPB，△PDA∽△PCB时，即23=x7−x，
解得：x=145，
综上，这样的点P共有3个，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理、坐标与图形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
连接AB，根据正切的定义得到tan∠BAC= 33，得∠BAC=30°，可得A，B两点的坐标．
【解答】
解：连接AB，如图，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直径，
∵∠BCO=∠BAO，
∴tan∠BAO=tan∠BCO= 33，
∴∠BAO=30°，
∴有可能A(2 3,0)和B(0,2)．
故选A．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、勾股定理．依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD=S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】
解：∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC= 62+82=10，
∴AO=DO=12AC=5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为矩形ABCD面积的14，
∴△AOD的面积=12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即12=12AO·EO+12DO·EF，
∴12=12×5EO+12×5EF，
∴5(EO+EF)=24，
∴EO+EF=245，
故选：C．
10.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(−3,0)与(1,0)两点，
∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为−3和1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3，
∴方程ax2+bx+c+m=0(m>0)的另一个根为−5，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0 (0∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−n的交点的横坐标在−5与−3之间和1与3之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0故选：B．
根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n=0 (0本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
11.【答案】5；5
【解析】【分析】
本题考查中位数和众数的概念；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．根据中位数和众数的概念求解即可．
【解答】
解：这次调查中的众数是5，
这次调查中的中位数是5+52=5，
故答案为：5；5．
12.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂的规定和算术平方根的定义．先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减可得．
【解答】
解：原式=5−2=3，
故答案为3．
13.【答案】 22
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理．
先根据三边对应成比例，证明△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的周长比等于相似比，即可解答．
【解答】
解：∵DEAB=2 12+12= 2，
EFBC= 22+222= 2，
DFAC= 42+22 32+12= 2，
∴DEAB=EFBC=DFAC= 2，
∴△ABC∽△DEF，
∴C1C2=ABDE= 22，
故答案为： 22．
14.【答案】6
【解析】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6．
故答案为：6．
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
15.【答案】20 2
【解析】解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，
根据题意可知：
∠BAC=∠ABC=45°，∠ADC=30°，AB=20，
在Rt△ABC中，AC=BC=AB⋅sin45°=20× 22=10 2(海里)，
在Rt△ACD中，∠ADC=30°，
∴AD=2AC=20 2(海里)．
答：此时轮船与小岛的距离AD为20 2海里．
故答案为：20 2．
如图，过点A作AC⊥BD于点C，根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠ADC=30°，AB=20，再根据锐角三角函数即可求出轮船与小岛的距离AD．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
16.【答案】2−π2
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积=△ACD的面积−扇形ACE的面积，然后按各图形的面积公式计算即可．
【解答】
解：连接AC，
∵DC是⊙A的切线，
∴AC⊥CD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD/​/BC，AB=AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∴∠FAD=∠B=45°，
设圆A的半径为r，
∵EF的长为π2，
∴π2=45πr180，
解得：r=2，
∴S阴影=S△ACD−S扇形ACE=12×2×2−45π×22360=2−π2．
故答案为2−π2．
17.【答案】3
【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴12×10⋅CE=15，
∴CE=3．
即CM+MN的最小值为3．
故答案为3．
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
18.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．
由于一次函数y=kx−2−k过定点P(1,−2)，P(1,−2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移
平移2个单位长度得到的，双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=kx−2−k(k>0)相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．
【解答】
解：∵一次函数y=kx−2−k(k>0)，
∴当x=1时，y=−2，
∴一次函数的图象过定点P(1,−2)，
∵P(1,−2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，
∴将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=kx−2−k(k>0)相交于两点，
∴在平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为(a−1,3a−1)，(3b+2,b+2)，
∴a−1=−3b+2，
∴(a−1)(b+2)=−3，
故答案为：−3．
19.【答案】(1)证明：连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.(2分)
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=DC，
又∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD/​/AC．
∵DF⊥AC，(4分)
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．(5分)
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴BG⊥AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴BG是AC的垂直平分线，
∴GA=GC.(7分)
又∵AG/​/BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°．
∴△ACG是等边三角形．
∴∠AGC=60°.(9分)
【解析】(1)连接AD，OD，根据等腰三角形的性质与平行线的性质，可得DF⊥OD，故得到证明；
(2)根据题意，△ABC是等边三角形，可得BG是AC的垂直平分线，再根据平行线的性质，可得△ACG是等边三角形，故∠AGC=60°．
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及角度的大小的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
20.【答案】解：(1)原式=(a−2)2a(a−2)⋅2a(a+2)(a−2)
=2a+2，
当a=−1时，
原式=21+2
=23；
(2)原式=4−a2+a2−aa−1⋅a−1(a+4)(a−4)
=−(a−4)a−1⋅a−1(a+4)(a−4)
=−1a+4．
【解析】(1)把除化为乘，分解因式约分，化简后将a=−1代入即可；
(2)先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的相关运算法则．
21.【答案】解：(1)200；
(2)86；27；
(3)200×20%=40(人)，补全条形统计图如图所示：
(4)3000×27%=810(人)，
答：该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．
【解析】解：(1)20÷10%=200(人)，
故答案为：200；
(2)200×43%=86(人)，54÷200=27%，即，n=27，
故答案为：86，27；
(3)见答案；
(4)见答案．
(1)从统计图中可知，“1次及以下”的频数为20，占调查人数的10%，可求出调查人数；
(2)“3次”的占调查人数的43%，可求出“3次”的频数，确定m的值，进而求出“4次以上”的频率，确定n值，
(3)求出“2次”的频数，即可补全条形统计图；
(4)“4次以上”占27%，因此估计3000人的27%是“4次以上”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
22.【答案】解：(1)∵点A(3,4)在y=kx上，
∴k=12，
∴y=12x．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AM=MC，
∴点M的纵坐标为2，
∵点M在y=12x上，
∴M(6,2)．
(2)∵AM=MC，A(3,4)，M(6,2)
∴C(9,0)，
∴OC=9，OA= 32+42=5，
∴平行四边形ABCO的周长为2×(5+9)=28．
【解析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
(1)利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM=CM，推出点M的纵坐标为2，即可解答．
(2)求出点C的坐标，得出OA，OC的长即可解决问题．
23.【答案】解：作PC⊥AB交AB于点C，如图所示，
由题意可得，PC=100米，∠PAC=30°，∠PBC=45°，
∵PC⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴AC=PCtan302=100 33≈173(米)，BC=PCtan45∘=1001=100(米)，
∴AB=AC+BC≈273(米)，
设车辆通过AB段的时间为x秒，
令400003600x=273，
解得x≈24.6，
即车辆通过AB段的时间在24.6秒以内时，可认定为超速．
【解析】先作PC⊥AB，然后根据锐角三角函数可以求得AC和BC的值，再根据时间=路程÷速度，即可得到车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：(1)AB=PB．
理由：如图1中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO，
∵OF平分∠MON，
∴∠AOB=∠BOQ，
∴∠AOB=∠BQO，
∵OA=PQ，
∴△AOB≌△PQB，
∴AB=PB．
(2)存在，
理由：如图2中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO，
∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，
∴∠AOF=∠FON=∠BQC，
∴∠BQP=∠AOB，
∵OA=PQ，
∴△AOB≌△PQB，
∴AB=PB．
(3)连接BQ．
同(1)可证△ABO≌△PBQ，
∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，
∵∠OPB+∠BPQ=180°，
∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，
∵∠MON=60°，
∴∠ABP=120°，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∵BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO=30°，
∴△ABP∽△OBQ，
∴APOQ=ABOB，
∵∠AOB=30°，
∴当BA⊥OM时，ABOB的值最小，最小值为0.5，
∴k=0.5．
【解析】(1)结论：AB=PB.连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；
(2)存在．证明方法类似(1)；
(3)连接BQ.只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出APOQ=ABOB，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，ABOB的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；
本题考查相似综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)由12x+1=0，得x=−2，∴A(−2,0)．
由12x+1=3，得x=4，∴B(4,3)．
∵y=ax2+bx−3经过A、B两点，
∴(−2)2⋅a−2b−3=042⋅a+4b−3=3
∴b=−12a=12，
则抛物线的解析式为：y=12x2−12x−3，
设直线AB与y轴交于点E，则E(0,1)．
∵PC//y轴，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO=OAAE=2 5=2 55．
(2)①由(1)知，抛物线的解析式为y=12x2−12x−3.则点P(m,12m2−12m−3)．
已知直线AB：y=12x+1，则点C(m,12m+1)．
∴PC=12m+1−(12m2−12m−3)=−12m2+m+4=−12(m−1)2+92
Rt△PCD中，PD=PC⋅sin∠ACP=[−12(m−1)2+92]⋅2 55=− 55(m−1)2+9 55
∴PD长的最大值为：9 55．
②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=2 55，
∴cs∠ACP=1 5，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cs∠FDP=DFDP=1 5，
在Rt△PDF中，DF=1 5PD=−15(m2−2m−8)．
又∵BG=4−m，
∴S△PCDS△PBC=DFBG=−15(m2−2m−8)4−m=15(m−4)(m+2)m−4=m+25．
当S△PCDS△PBC=m+25=910时，解得m=52；
当S△PCDS△PBC=m+25=109时，解得m=329．
【解析】(1)已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得．
(2)①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据(1)中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值．
②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．
本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力．
26.【答案】解：(1)菱形
(2)证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，
由旋转得：AC′=AC，
则∠CAE=∠C′AE=12α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴∠CAE=∠BCA，
∴AE/​/BC，同理可得：AE//DC′，
∴BC//DC′，则∠BCC′=90°，
又∵BC=DC′，
∴四边形BCC′D是平行四边形，
∵∠BCC′=90°，
∴四边形BCC′D是矩形；
(3)如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∵BA=BC，
∴CF=AF=12AC=12×10=5，
在Rt△BCF中，BF= BC2−CF2= 132−52=12，
在△ACE和△CBF中，
∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴CEBF=ACBC，即CE12=1013，
解得：EC=12013，
∵AC=AC′，AE⊥CC′，
∴CC′=2CE=2×12013=24013，
当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：
①点C″在边C′C上，a=C′C−13=24013−13=7113，
②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=24013+13=40913，
综上所述：a的值为：7113或40913；
(4)答案不唯一，
例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为12AC的长度，
得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，
结论：∵BC=A′D′，BC//A′D′，
∴四边形A′BCD′是平行四边形．
【解析】解：(1)如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，
故AC′//EC，AC/​/C′E，
则四边形ACEC′是平行四边形，
故四边形ACEC′的形状是菱形；
故答案为：菱形；
(2)(3)(4)见答案
【分析】
(1)利用旋转的性质结合菱形的性质得出：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，进而利用菱形的判定方法得出答案；
(2)利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形BCC′D是平行四边形，进而得出四边形BCC′D是矩形；
(3)首先求出CC′的长，分别利用①点C″在边C′C上，②点C″在C′C的延长线上，求出a的值；
(4)利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案．
此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出CC′的长是解题关键．次数
7次及以上
6
5
4
3
2
1次及以下
人数
8
12
31
24
15
6
4