福建省泉州市鲤城区福建省泉州第一中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程中，是方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查方程的定义．根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是等式，不符合题意；
B、，不含未知数，不符合题意；
C、，不是等式，不符合题意；
D、，是方程，符合题意；
故选D．
2. 在解方程组中，①-②所得的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程组中两方程相减得到结果，即可作出判断．
【详解】在解方程组中，①−②所得的方程是x＝3，
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3. 不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”求解即可．
【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为
，
故选：A．
【点睛】本题考查是解一元一次不等式组，熟悉相关性质是解题的关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 多边形边数增加1，内角和增加
B. 多边形边数增加1，内角和增加
C. 每个角都相等的多边形是正多边形
D. 每条边都相等的多边形是正多边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的知识．根据正多边形的性质判断选项CD都错误，根据正多边形的内角和与外角和即可判断选项A和B．
【详解】解：n边形的内角和是，
边数增加1，则新的多边形的内角和是．
则．
故它的内角和增加．
故选项A正确，选项B错误，
每个角都相等且每条边都相等的多边形是正多边形，
故选项CD都错误，
故选：A．
5. 若关于y的方程的解为，则a的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，解一元一次方程，先把代入方程即可得到答案．
【详解】解：∵关于y的方程的解为，
∴，
解得：，
故选B
6. 学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可直接进行排除选项．
【详解】解：设篮球有x个，排球有y个，根据题意得：
，
故选D．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
7. 若关于 x 的不等式组的解集是 x＜3，则 a 的取值范围是（ ）
A. a＞3B. a≥3C. a＜3D. a≤3
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集为x＜3，得到关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】∵3x−2＜7，
∴解得：x＜3，
∵不等式组的解集是x＜3，
∴a的取值范围是：a≥3．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集得出a的取值范围是解题关键．
8. 能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A. 正三角形和正五边形B. 正方形和正六边形
C. 正方形和正五边形D. 正三角形和正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正多边形的镶嵌，正多边形的组合能否铺满地面，关键是要看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A、正五边形和正三边形内角分别为，不能构成，不符合题意；
B、正方形和正六边形的内角分别为，不能构成，不符合题意；
C、正方形和正五边形的内角分别为，不能构成，不符合题意；
D、正三角形和正方形的内角分别为，，可以构成，符合题意；
故选D．
9. 的整数解的和为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而确定整数解，再求和即可．
【详解】解：∵，
∴当，即：时，，解得：，
当，即：时，，解得：，
∴的整数解为：，；
故选B．
10. 图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，的度数为a．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依此类推，第2024次折叠后，的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查折叠问题，平行线的性质，根据折叠的性质和平行线的性质推出．
【详解】解：由折叠的性质和可知：
折叠1次：，
折叠2次：，
折叠3次：，
折叠4次：，
…
∴折叠次：，
∴．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若关于的方程的解不小于，则的取值范围是___________________．
【答案】m≤-8
【解析】
【分析】先根据题意求到的解，会是一个关于的代数式，再根据不小于列出不等式，即可求得正确的答案．
【详解】解：
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查的是方程的相关知识，根据题意列出含有m的不等式是解题的关键．
12. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足方程x﹣2y＝4，则k的值为______．
【答案】7
【解析】
【分析】首先结合得，求出x，y的值，再将x，y的值代入2x-y=k得出答案即可．
详解】根据题意，得
解得，
将代入2x-y=k，
得，
解得k=7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
13. 若不等式（a﹣3）x＞1的解集为，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得a−3<0，即可求解．
【详解】解：∵(a−3)x>1的解集为x<，
∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，
∴a−3<0，
∴a<3．
故答案：a<3
【点睛】本题考查了不等式的性质熟练掌握在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键 ．
14. 边长相等的正方边形和正五边形如图所示拼接在一起，则____°．
【答案】
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理计算即可．
【详解】四边形是正方形，
，
五边形是正五边形，
正五边形的内角和为
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解本题的关键．
15. 期中考试时间定在4月28日，初一年段数学组老师设置了如上图运算程序，规定运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，能列出不等式组．根据第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】得：由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
16. 在教材第88页，我们遇到过如图的五角星，得出了这个结论．英才班的同学对这个题目产生兴趣，画出了正六边形、正八边形，并延长每条边使其相交，形成如图的“六角星”、“八角星”图，并计算出六角星6个角的和以及八角星8个角的和，请根据以上信息推导延长正n边形每条边相交形成的“n角星”图的n个角的和是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形外角和．分别根据正多边形外角和求得正五边形，正六边形，正八边形的各个角的和，得出规律，据此求解即可．
【详解】解：正五边形，如图，
，
∴，
∴；
正六边形，如图，
，
∴，
∴；
正八边形，如图，
，
∴，
∴；
；
∴正n边形的n个角的和是．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）解方程：
（2）解方程组
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程和二元一次方程组：
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求解即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），得：，解得：；
把代入得：，解得：；
故方程组的解为：．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、数轴，先求得每个不等式的解集，然后求它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上，注意端点是空心还是实心．
【详解】解：解不等式组，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上，如图：
．
19. 已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形的边数为12．
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
，
解得：．
答：这个多边形的边数为12．
20. 若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“子不等式”．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“子不等式”
根据以上信息，回答问题：
（1）判断______的“子不等式”（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的不等式是的“子不等式”，求a的取值范围．
【答案】（1）不是 （2）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握“子不等式”的定义是解题的关键；
（1）根据“子不等式”的定义，进行判断即可；
（2）先求出不等式的解集，再根据“子不等式”的定义，列出关于的不等式，进行求解即可．
【小问1详解】
解：的解不都是的解，
∴不是的“子不等式”；
故答案为：不是；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的“子不等式”，
∴，
∴．
21. 如图，在△中，，，点D是边上的一点，将△沿折叠，点C恰好落在BC边上的点E处．
（1）直接填空：的大小是 ；
（2）求的大小．
【答案】（1）90°；（2）20°
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质可得出∠ADC=∠ADE，再结合平角的定义可得出结果；
（2）解法一：先根据折叠的性质得出，再利用外角的性质，由∠BAE=∠AED-∠B可得出结果；解法二：先根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，再由折叠的性质得出，，进而可求得∠EAD和∠CAD的度数，最后根据可得出结果．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得，∠ADC=∠ADE，
又点C，D，E在一条直线上，
∴∠CDE=180°，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
故答案为：90°；
（2）解法一：
由折叠的性质可得：，
∵，
∴．
解法二：
∵，，
∴．
由折叠的性质可得，
，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和（或三角形外角的性质）等知识点，掌握基本性质是解题的关键．
22. 阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可变形为二元一次方程组，求得二元一次方程组的解，据此求解即可．
【详解】解：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，
解这个方程组得到它的解为．
由，得，
由，得，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为．
23. 本学期初学校举行了第二届“守仁杯”学科素养大赛，年段大队委为年段购买奖品后与段长的对话如图，若设单价为6元的钢笔买了x支．
（1）请用方程的知识帮大队委计算一下，为什么队长说大队委搞错了．
（2）大队委连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价a已经模糊不清，只记得单价是小于10的整数，求笔记本的单价是多少？
【答案】（1）理由见解析
（2）笔记本的单价可能是2元或6元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题的运用、二元一次方程解实际问题的运用，理清题意，找出相应的等量关系是解答本题的关键．
（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了支，根据总共的费用为元列方程解答即可；
（2）设笔记本的单价为a元，根据总共的费用为元列方程解求出方程的解，再根据a的取值范围求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求出a的值．
【小问1详解】
解：由单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了支，根据题意，得：
，
解得，
因为钢笔的数量不可能是小数，所以大队委搞错了；
【小问2详解】
设笔记本的单价为a元，根据题意，得：
，
整理，得：，
∵，
∴，
∵x取整数，
∴或21，
当时，，
当时，，
所以笔记本的单价可能是2元或6元．
24. 四月的某天小欣在“A超市”买了“雀巢巧克力”与“趣多多小饼干”共5包，已知“雀巢巧克力”每包22元.“趣多多小饼干”每包2元，总共花费了30元，
(1)请求出小欣在这次采购中，“雀巢巧克力”与“趣多多小饼干”各买了多少包；
(2)“五一”期间，小欣发现，A、B两超市以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在A超市累计购物超过50元后，超过50元的部分打九折；在B超市累计购物超过100元后，超过100元的部分打八折.
①请问：“五一”期间，小欣去哪家超市购物更划算？
②“五一”期间，小欣要到“B超市”购买了一些“雀巢巧克力”，请问她至少购买多少包时、平均每包价格不超过20元？
【答案】（1）“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了1包和4包；（2）①详见解析；②她在B超市至少购买9包“雀巢巧克力”，平均每包价格不超过20元．
【解析】
【分析】（1）设“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了x包和y包，根据买了“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”共5包，“雀巢巧克力”每包22元，“趣多多小饼干”每包2元，总共花费了30元，列出方程组，求解即可；
（2）①设小欣购物金额为m元，分情况讨论：①当m≤50时，②当50＜m≤100时，③当m＞100时，分别根据优惠方案进行分析，列出不等式求解即可；
②设小欣在B超市购买了n包“雀巢巧克力”，平均每包价格不超过20元，根据在B超市累计购物超过100元后，超过100元的部分打八折，列出不等式，再进行求解，即可得出答案．
【详解】解：（1）设“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了x包和y包，
根据题意得：，
解得：，
答：“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了1包和4包；
（2）①设小欣购物金额为m元，
①当m≤50时，A、B超市均不打折，故去任意两家购物都一样；
②当50＜m≤100时，A超市超过50元的部分打九折，B超市不打折，故去A超市更划算；
③当m＞100时，
若在A超市购物花费少，则50＋0.9（m−50）＜100＋0.8（m−100），
解得：m＜150，
若在B超市购物花费少，则50＋0.9（m−50）＞100＋0.8（m−100），
解得：m＞150，
若在A、B超市购物花费一样，则50＋0.9（m−50）＝100＋0.8（m−100），
解得：m＝150，
m≤50时，去任意两家购物都一样；50＜m≤100时，去A超市更划算；
100＜m＜150时，去A超市更划算；m＝150时，去任意两家购物都一样；m＞150时，则去B超市更划算；
②设小欣在B超市购买了n包“雀巢巧克力”，平均每包价格不超过20元，
根据题意得：100＋（22n−100）×0.8≤20n，
解得：n≥，
∵n取整数，
∴她在B超市至少购买9包“雀巢巧克力”，平均每包价格不超过20元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程或不等式．
25. 阅读材料：
如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明.
小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”.
请按照小白的想法完成解答：
拓展延伸：
保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）.
【答案】阅读材料：，见解析；拓展延伸：.
【解析】
【分析】（1）作，，，由平行线性质可得，结合已知，可证，进而得到，从而，，将代入可得.
（2）过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合（1）结论和CG平分∠ECD可得∠PHC =∠FCH =120°-，即可得.
【详解】解：【阅读材料】
作，，（如图1）.
∵，
∴.
∴
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴，.
∴.
∵，
∴.
【拓展延伸】结论：.
理由：如图，作，过H点作HP∥MN，
∴∠PHA=∠MAH=，
由（1）得FC∥MN，
∴FC∥HP，
∴∠PHC=∠FCH，
∵,CG平分∠ECD，
∴∠ECG=20°+，
∴∠FCH=
=180°-()-(20°+)
=120°-
∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=+（120°-）=120°-
即：.
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．