福建省泉州市永春县福建省永春第一中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 若一个数的相反数是，则这个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：一个数的相反数是-，这个数是：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则以及乘法公式对各选项逐一计算，然后再进行判断即可．
【详解】A、，该选项错误；
B、，该选项正确；
C、，该选项错误；
D、，该选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、积的乘方运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握相关方法及公式是解题关键．
3. 某种细胞的直径是毫米，这个数用小数表示是（ ）
A. 0.00005B. 0.0005C. D. 50000
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法得到，所以小数点向前移动4位来求解．
【详解】解：∵
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了把科学记数法还原原数，还原原数时，关键是看n，时，是几，小数点就向前移几位．
4. 下列四个图案中是轴对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断即可求解．
【详解】第一个图形是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
所以轴对称图形有3个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形要先找到对称轴，图形关于对称轴折叠后两部分能完全重合是解题的关键．
5. 已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是的点所表示的数有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意易得点A在数轴上所表示的数为2或-2，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：由题意得：点A在数轴上所表示的数为2或-2，
当点A在数轴上所表示的数为2时，则与之距离是的点所表示的数为或；
当点A在数轴上所表示的数为-2时，则与之距离是的点所表示的数为或；
综上所述：数轴上总共有4个点到A点的距离是；
故选A．
【点睛】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上的两点距离是解题的关键．
6. 已知关于的不等式组恰有5个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解得出范围，求出即可．
【详解】解：解不等式，
得：，
解不等式，
得：，
不等式组的解集是：，
不等式组恰有5个整数解，
这5个整数解只能为15，16，17，18，19，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解题的关键是能根据题意得出不等式组．
7. 若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小（ ）
A. a＞b＞cB. b＞a＞cC. c＞a＞bD. c＞b＞a
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方的性质，得，，，从而完成求解．
【详解】，，
∵
∴
∴，即b＞a＞c
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
8. 甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（ ）

A. 甲超市的利润逐月减少
B. 乙超市的利润在1月至4月间逐月增加
C 8月份两家超市利润相同
D. 乙超市在9月份的利润必超过甲超市
【答案】D
【解析】
【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．
【详解】A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确，不符合题意；
B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确，不符合题意；
C、8月份两家超市利润相同，此选项正确，不符合题意；
D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
9. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ）

A. （2，3）B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，
根据点F的坐标可得，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，根据菱形的性质易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出，由平行线和菱形的性质易得，进而求出，以此即可求解．
【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点，
∴，
∴，
如图，连接，连接，交于点N′，连接，

∴当点N在点时，取得最小值为，
∵四边形为菱形，，
∴为等边三角形，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴点E的坐标为．
故选：C．
10. 如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．通过，，及四边形是平行四边形得出，，将已知条件聚集在中，利用三角形三边关系求出最值．
【详解】
解：延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，A、E、G三点共线时，等号成立.，
∴的最小值为6．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称变化求最值，其中涉及平行线性质，全等三角形的应用，平行四边形的判定及性质，正确利用轴对称变换是解决本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 一个多边形的每一个外角都等于18°，它是_______边形．
【答案】二十．
【解析】
【详解】∵一个多边形的每个外角都等于18°，
∴多边形的边数为360°÷18°=20．
则这个多边形是二十边形．
故答案是：二十．
12. 如图，ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC中点，若DE＝3，则AB的长为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC=6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB=AC，求得AB=6．
【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），
又∵DE=3，AB=AC，
∴AB=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13. 如图，在平行四边形纸板中，点分别为的中点，连接．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据点分别为的中点，得到，，从而得到，进而得出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
四边形为平行四边形，点分别为的中点，
点在同一直线上，
，，
，
，
飞镖落在阴影部分的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，根据题意计算出是解此题的关键．
14. 如果函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是______．
【答案】或．
【解析】
【分析】根据k的取值大小分类计算即可；
【详解】解：当时，函数经过点和点，
将和代入，
得，解得，
∴函数解析式为，
当时，函数经过点和点，
将和点代入，
得，解得，
∴函数解析式为，
综上所述：函数解析式为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式求解，准确分析计算是解题的关键．
15. 如图，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一新函数图象．若一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，先求出原抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，再求出翻转后的函数解析式为，然后求出当函数恰好经过点时，当函数与抛物线只有一个交点时m的值即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，解得或，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为；
设是抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折后的图象上一点，则是抛物线图象上一点，
∴，即，
∴翻转后的函数解析式为，
当函数恰好经过点时，则，解得，
当函数与抛物线只有一个交点时，
联立得，
当时，，
∴由函数图象可知，当时，一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，
故答案为：．
16. 魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下是数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．则山高______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据已知条件可得，，代入求值即可．
【详解】∵、、为高，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∴
∴．
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：
【答案】-5
【解析】
【分析】根据乘方运算法则、负整数指数幂的运算法则、求一个数的平方根与立方根，进行运算即可求得．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了乘方运算法则、负整数指数幂的运算法则、求一个数的平方根与立方根，熟练掌握和运用乘方运算法则、负整数指数幂的运算法则、求一个数的平方根与立方根是解决本题的关键．
18. 如图，点C是线段上一点，．
求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行线性质可证得，结合题意用SAS直接证明，根据全等三角形性质得出结论．
【详解】证明：，
在和中
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，运用SAS直接证明是解题关键．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，然后根据分式的性质计算，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：原式
．
当x＝2时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
20. 永春一中在“社团纳新”活动中，有四个社团那些：A． 乒乓球社团，B． 舞蹈社团，C． 文学社团，D． 手工社团．每名学生从中选择并且只能选择一个试题，学校就学生选择的社团对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有2500名学生，请估计选择“手工社团”的学生有多少人？
（3）七年一班在最喜欢“乒乓球社团”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1）100，，补全图形见详解
（2）估计选择“手工社团”的学生约有1000人
（3）被选取的两人恰好是甲和乙的概率是
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图．
（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数，即可解决问题；
（2）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的比例即可；
（3）画出树状图，共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次调查的学生共有：（人），
∴扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是，
喜欢B类项目的人数有：
（人），
故答案为：100，，
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：由题意得：（人），
答：估计选择“手工社团”的学生约有1000人；
【小问3详解】
解：画树形图：
共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
21. “北斗三号全球卫星导航系统”是我国航天事业的主要成果，它实现了当今时代的大量信息传递．数学兴趣小组研究如下问题：某卫星的轨道高度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：地球可看作是一个球心为O，半径为r的球，其表面积为．
信息二：地球静止同步卫星轨道位于赤道所在平面，轨道高度h指卫星到地球表面的距离．
信息三：地球表面上观测点A的纬度指与赤道平面所成的角的度数．地球表面能直接观测到卫星的点的纬度最大值为．
信息四：卫星信号覆盖地球表面的表面积为．
若卫星信号的覆盖面积与地球表面积之比为，根据以上信息，h为多少？（用含r的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，考查对题目的阅读能力和理解能力，由题意，地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，求解，根据卫星信号的覆盖面积与地球表面积之比为列方程计算即可．
【详解】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，过作圆的切线，线段交圆于点，如图，
则，
则，
又，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，正方形中，点E为边的上一动点，作交、分别于P、F点，连接．
（1）若点E为的中点，，，求的长；
（2）若正方形边长为4，直接写出的最小值 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质结合题意易证，得出，从而可推出点为的中点．延长到，使得，连接，易证，得出，，从而推出，是等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，即可求解；
（2）取的中点，连接，，根据勾股定理可求出．再结合三角形三边关系的应用可得出当、、共线时，的值最小，最小值为．
【小问1详解】
解： 四边形是正方形，
，．
，
，
，，
．
在和中，，
，
．
，，
，
点为的中点．
延长到，使得，连接，如图，
，
．
又，分别是，的中点，
．
在和中，，
，
，．
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
【小问2详解】
解：如图，取的中点，连接，，
，
，
．
，
、、共线时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．正确作出辅助线是解题关键．
23. 某数学小组在“探究密闭容器内容器体积与气体密度关系”实验中，固定密闭容器内一定质量的二氧化碳，得到下表中体积与密度的几组对应值．根据学习函数的经验，他们对体积与密度之间的函数关系进行探究．
（1）根据表中数据，求密度关于体积的函数解析式并求出a的值．
（2）若直线与上述探究的函数图像交于点A，B（点A在点B的左边），在段的双曲线上是否存在点D，使得的面积最大．若存在，求出点D，若不存在，说明理由．
【答案】（1），
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）通过观察表格的数据可发现即可得到解析式，把代入即可求出a的值；
（2）先求出的A，B坐标，过作轴交于，设则，求出的面积，求最大值即可．
【小问1详解】
由表格可得，
∴，
当时；
【小问2详解】
如图所示
解方程组，
解得，
，
设，其中，
过作轴交于，
设，
，
整理得，
∵有解，
∴
∴或，
∵，
，
∴，
∴当时取最大值，此时，
．
24. 已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是外一点，连接、和，且．
【问题背景】（1）如图1，若，，求证：；
【问题拓展】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长和交于点，和交于点，求证：；
【问题迁移】（3）如图3，连接和，点是的中点，连接和，若，，，，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质及平行线的性质得出，根据角的和差关系得出，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，，可得四边形是菱形，根据菱形的性质及平行线的性质得出，在上取一点，使，连接，则，即可得出，，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（3）连接，延长到点使，连接，过点作于点，先证明四边形是菱形，利用证明，即可证明是等边三角形，利用证明，得出，即可利用证明，得出，，根据中位线的性质及含角的直角三角形的性质得出平行四边形为矩形，利用勾股定理求出，，，再次利用勾股定理得出，即可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
如图，在上取一点，使，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，延长到点使，连接，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵点是的中点，，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形为矩形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定等，通过作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25 综合与探究
如图1，抛物线与x轴交于点A和点B．点B的坐标是，与y轴交于点，点D在抛物线上运动、作直线AC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图2，D是直线下方抛物线上的动点，连接交于点E、当时，求点D的横坐标；
（3）连接和，当的面积是4时、请直接写出符合条件的点D的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；点的坐标为
（2）点D的横坐标为或
（3）点D的坐标为或或
【解析】
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，平行线分线段成比例定理，以及二次函数综合：
（1）把，代入求出b，c的值，即可得抛物线的解析式，令，求出的值，即可得出点的坐标；
（2）过点D作轴于点F，过点E作轴于点G，得出由平行线分线段成比例定理可得出设D点的坐标为，求得及直线的解析式为，把点E代入求得m的值即可解决问题；
（3）分点D在的上方和下方两种情况讨论：当点D在的下方时：连接，设，根据列式求出n的值即可；当点D在的上方时，先求出直线的解析式，并求出直线与x轴的交点坐标，再根据列式求出n的值即可
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
令，则
解得，
∴点的横坐标为；
∴点的坐标为；
【小问2详解】
解：过点D作轴于点F，过点E作轴于点G，如图，
∵，
∴
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴
∵D在抛物线上，
∴设D点的坐标为，
∵D是直线下方抛物线上动点，
∴，
∴
∴
∴E点坐标为，即
设直线的解析式为，
把,代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点E在直线上，
∴
整理得，，
解得，，
当时，；
当时，；
∴点D的横坐标为或；
【小问3详解】
解：①当点D在的下方时，如图，连接，
设，
∴点D到x轴的距离为，到y轴的距离为，
∵，
∴
，
整理得，
解得，，
当时，
∴点D坐标为；
②当点D在的上方时，设，如图，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为
∴当时，，
∵
∴，
整理得，，
解得，（负值舍去），
当时，；
∴点D的坐标为；
设，如图，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为
∴当时，，
∵
∴，
整理得，，
解得，（正值舍去），
当时，；
∴点D的坐标为；
综上，点D的坐标为或或…
2
3
4
5
6
…
…
6
4
a
2.4
2
…