福建省泉州市泉州师范学院附属中学等校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（试卷满分150分，考试时间120分钟．命题人：张婷婷 核卷人：刘雯雯）
一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列方程是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握基本概念是解题的关键．根据定义判断：只含有一个未知数，未知数的次数为1的方程，且等式两边都是整式．
【详解】解：A．，符合定义，本选项符合题意；
B．，不是一元一次方程，本项不合题意；
C．，有两个未知数，本选项不合题意；
D．，等式左边不是整式，本选项不合题意．
故选：A．
2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质1，在不等式两边同时，即可得到不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，即可得出结果，本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集．
【详解】解：，解得：，
不等式的解集在数轴上表示如下：
选项符合，
故选：．
3. 已知，下列不等式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由可得，原不等式正确，不符合题意；
B、由可得，原不等式正确，不符合题意；
C、由可得，原不等式正确，不符合题意；
D、由可得，原不等式错误，符合题意；
故选：D．
4. 解方程移项后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据等式的性质进行移项即可得到答案．
【详解】解：
移项得：，
故选：B．
5. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入方程中求出k的值即可得到答案．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解，
∴，
解得，
故选：C．
6. 已知a，b满足方程组，则a﹣b的值为（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】用②-①可直接得出答案．
【详解】解：
②-①得：；
故选A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
7. 若关于的一元一次不等式的解为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，不等式的性质，根据不等式的解集可知不等式两边同时除以a的时候，不等式得方向发生了改变，据此可得答案．
【详解】解：∵关于的一元一次不等式的解为，
∴不等式两边同时除以a的时候，不等式得方向发生了改变，
∴，
故选：B．
8. 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系．本题等量关系为：①男女生共20人；②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．
【详解】解：依题意列出方程组：．
故选D．
9. 如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A. m＞8B. m≥8C. m＜8D. m≤8
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式取解集的方法，大大小小无解，可知m和8之间的大小关系，求出m的范围即可．
【详解】解：因为不等式组无解，
即x＜8与x＞m无公共解集，
∴m≥8．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
10. 非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A. 6B. 7C. 14D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】设，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【详解】解：设，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，
∴m+n=14+7=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分．所有解答必须填写到答题卡相应的位置上）
11. 将方程2x+y＝2变成用x的代数式表示y，则y＝_____．
【答案】﹣2x+2
【解析】
【分析】将左边带x的项移到等式右边即可得出答案．
【详解】解：方程2x+y＝2，
解得：y＝﹣2x+2，
故答案为：﹣2x+2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程，掌握移项原则是关键．
12. x的3倍与5的和大于8，用不等式表示为________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】先表示出x的3倍，再表示出与5的和，最后根据大于8即可得不等式．
【详解】x的3倍为3x，
x的3倍与5的和为3x＋5，
所以x的3倍与5的和大于8为：3x＋5＞8，
故答案为：3x＋5＞8．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键语句，弄清运算的先后顺序和不等关系，从而得出不等式是关键．
13. 已知，那么_________．
【答案】5
【解析】
【分析】由已知可得，然后将所求的代数式变形为后再整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了代数式求值，属于基本题型，熟练掌握整体代入的思想方法是解答的关键．
14. 不等式的解集是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
15. 三元一次方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】由①+②+③求出x+y+z=6④，④-①求出z，④-②求出x，④-③求出y．
【详解】解：
①+②+③得：2x+2y+2z=16，
x+y+z=8④，
④-①得：z=1，
④-②得：x=4，
④-③得：y=3，
所以原方程组的解为：，
故答案为．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键．
16. 小静同学按如图所示的程序输入一个正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值有______．
【答案】或或或
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，掌握运算法则是解本题的关键．根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的正数求出．
【详解】解：依题意有，
解得：；
依题意有，
解得：；
依题意有
解得：，
依题意有；
解得：；
依题意有，
解得：（不是整数，不合题意）；
依题意有，
解得：（不合题意）；
故满足条件的的值为：或或或．
故答案：或或或．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填入答题卡的相应位置）
17. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【小问1详解】
解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
【小问2详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把原方程组的两方程相加消去y，求出x，进而求出y即可得到答案．
【详解】解；
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
19. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
20. 在等式中，当时，；当时，；
（1）求的值；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可；
（2）把代入（1）的等式中求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意可得：，
解得：；
【小问2详解】
解：因为，
所以，
所以当时，，
解得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键．
21. 已知方程组和方程组有相同的解，求，的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先解方程组得到，再把代入方程组中得到，解之即可得到答案．
【详解】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵方程组和方程组有相同的解，
∴是方程组得解，
∴，
解得．
22. 已知关于、的二元一次方程组，
（1）若，求方程组的解．
（2）若方程组的解中，求的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组：
（1）把代入原方程组得到原方程组，据此利用加减消元法解方程组即可得到答案；
（2）先解方程组得到，再由，得到，解不等式组即可得到答案．
【小问1详解】
解：当时，原方程组为，
得，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
解：
得，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为，
∵，
∴，
解得．
23. 学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
（2）有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
（3）方案三需要费用最少，最少费用是550元
【解析】
【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组，解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组，解不等式组得到解集再结合m为正整数即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得，结合函数的性质，可知w随m的增大而减小，由此即可求得答案．
【小问1详解】
解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
【小问2详解】
根据题意，得，
解得，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
【小问3详解】
设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最小值，即w（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
24. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②中，不等式组的“关联方程”是_________；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）① （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是：熟练掌握解一元一次不等式组．
（1）分别解两个方程和不等式组，根据“关联方程”的定义，即可判断求解；
（2）解不等式组和方程，将方程的解代入不等式组的解集，即可求解；
（3）解不等式组和方程，根据“不等式组有4个整数解”，的到的范围，将方程的解代入不等式组的解集，得到的范围，两者取公共部分，即可求解，
【小问1详解】
解：①，
解得：；
②，
解得：；
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组的“关联方程”是：①．
故答案为：①．
【小问2详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
，
解得：，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：由关于的方程，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组有4个整数解，
∴整数的值为1，2，3，4，
∴，
∴，
∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
∴，
解得：，
∴m的取值范围：．
25. 如图，点A和点B在数轴上分别对应数a和b，其中a和b满足，原点记作O．

（1）求a和b
（2）数轴有一对动点和分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒．
①经过多少秒后满足在点B左边且？
②另有动点从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在与之间，且满足，运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：，求符合条件m的取值范围．
【答案】（1），
（2）①经过秒后满足在点B左边且；②
【解析】
【分析】（1）移项后，根据非负数的性质求解即可；
（2）①设运动时间为t秒，根据数轴上两点间距离表示出和，再结合已知得出方程，即可求出t的值；②设的速度为每秒个单位，则对应的数为，再表示出，代入可求出，再表示出，结合已知得到，然后根据t的取值范围求出m的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，，
∴，；
【小问2详解】
解：①设运动时间为t秒，
则t秒后点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
由得：，
解得：，
即经过秒后满足在点B左边且；
②设的速度为每秒个单位，则对应的数为

，
，
解得：，
，
当，即时，
可得，
当时，即时，
可得，
运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：，
，此时，
，
，
，
即符合条件的m的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等知识，能够根据数轴特点表示出某时刻的动点所表示的数是解题是关键．