广东省深圳市实验学校中学部2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：90分钟试卷 满分：100分
说明：请考生在答题卷指定区域按要求规范作答，考试结束上交答题卷
一．选择题（共10小题）
1. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查知识点是合并同类项、去括号、同底数相乘、多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握整式的相关运算．
根据合并同类项、去括号、同底数相乘、多项式乘多项式对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：选项，，计算错误，不符合题意，选项错误；
选项，，计算错误，不符合题意，选项错误 ；
选项，，计算正确，符合题意，选项正确；
选项，，计算错误，不符合题意，选项错误．
故选：．
2. 很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为 H39的原生动物，它的最长直径也不过才米． 其中数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法定义．根据题意利用科学记数法表示方法即可得到本题答案．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作，垂足为点B，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D. 三角形两边之和大于第三边
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了垂线段的性质，根据垂线段最短进行解答即可．
【详解】解：先过A作，垂足为点，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；
故选：C．
4. 如图，点E在AD延长线上，下列条件中不能判定BC∥AD的是（ ）
A. ∠C＝∠CDEB. ∠1＝∠2C. ∠3＝∠4D. ∠C+∠ADC＝180°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可得到答案．
【详解】解：A、∵∠C＝∠CDE，∴BC//AD，故不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，∴BA//CD，故符合题意；
C、∵∠3＝∠4，∴BC//AD，故不符合题意；
D、∵∠C+∠ADC＝180°，∴BC//AD，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的判定定理：内错角两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟记定理并运用解决问题是解题的关键．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 不相交的两条直线互相平行
B. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D. 同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交
【答案】C
【解析】
【详解】分析：正确解答此题的关键是熟练掌握定理的前提条件.
详解：A.不相交两条直线互相平行，错误，应为：同一平面内：不相交的两条直线互相平行.
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误.应为：同一平面内：垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
C. 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确.
D.同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交，错误，应为：同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行、相交.
故选C.
点睛：本题考查了同一平面内，两条直线间的位置关系.
6. 下表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格：
则弹簧不挂物体时的长度为（ ）．
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格数据，设弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式为，进而求得关系式，令即可求得弹簧不挂物体时的长度．
【详解】设弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式为，
将，分别代入得，
解得
即，
将，分别代入，符合关系式，
当时，则，
故选C．
【点睛】本题考查了变量与表格，函数关系式，找到关系式是解题的关键．
7. 如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（ ）

A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据中线的性质即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查中线的性质，熟记知识点是关键．
8. 一副直角三角板按如图所示的方式放置，点E在边的延长线上，，，则的度数为（ ）

A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，，再根据平行线的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵，为直角三角板，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角度的和差计算，解题的关键是掌握三角板各个角的度数；两直线平行，内错角相等．
9. ，两地相距，甲、乙两辆汽车匀速行驶从地出发到地，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法中错误的（ ）

①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
②甲出发后被乙追上；
③甲比乙晩到；
④甲车行驶或，甲，乙两车相距；
A. 序号①B. 序号②C. 序号③D. 序号④
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，可得到乙车行驶的速度是80km/h；根据图象可得当乙到达B地时，甲乙相距100km，从而得到甲比乙晚到h；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达B地时和当乙车到达B地后时甲，乙两车相距80km，进行求解判断即可．
【详解】解：由图可得，甲车行驶的速度是
根据图象可知：甲先出发1h，甲出发4h后被乙追上，
∴，
∴
即乙车行驶的速度是80km/h，故选项A，B正确；
由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km，
∴甲比乙晚到h，故选项C正确；
由图可得，当乙车在甲车前，且未到达B地时，则，
解得：，
当乙车到达B地后时，，
解得：，
∴甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km，故选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的图象、能从函数图象的获取准确信息和灵活利用数形结合思想解答是解题的关键．
10. 如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，先根据，求出，设，得出，
，，即可求出结果．
【详解】解：连接，
，
，
∴，
设，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11. 如图，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质的运用，掌握以上知识是解题的关键．
12. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 _______．
【答案】17
【解析】
【分析】等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13. 已知，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是已知式子的值，求代数式、幂的乘方、同底数幂相乘，解题关键是熟练掌握幂的乘方．
根据幂的乘方可得，据此即可由同底数幂相乘求解．
【详解】解：，
．
故答案为：．
14. 如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______．
【答案】110°##110度
【解析】
【分析】根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，再根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，
∵∠BCM=∠MAN+∠ABC，
∴∠BCM=110°．
故答案：110°
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，三角形外角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，三角形外角的性质是解题的关键．
15. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则______．
【答案】##20度
【解析】
【分析】过点C作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
又，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先算乘方，再算加减即可求解．
（2）先将写成，再利用平方差公式进行计算即可．
（3）先算乘方，再算乘除，后算加减即可解答．
（4）先运用完全平方公式计算，用多项式乘多项式计算，再去括号，合并同类项即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式、实数的运算、整式的混合运算、0指数幂、负整数指数幂，准确熟练的进行计算是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式等运算法则是解题的关键．
根据平方差公式、完全平方公式计算，再计算括号内的，然后根据多项式除以单项式进行化简，最后将，代入计算即可．
【详解】解：
当，时，原式．
18. 看图填空：已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，
求证：AD平分∠BAC．

证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（ 已知 ）
∴∠ADC=90°，∠EGC=90°（ ）
∴∠ADC=∠EGC（等量代换）
∴ADEG（ ）
∴∠1=∠2（ ）
∠E=∠3（ ）
又∵∠E=∠1（ 已知）
∴∠2=∠3（ ）
∴AD平分∠BAC（ ）．
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义
【解析】
【分析】根据垂直定义得到∠ADC=∠EGC，进而得到ADEG，∠1=∠2，∠E=∠3，再根据∠E=∠1即可得到∠2=∠3，问题得证．
【详解】∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC=90°，∠EGC=90°（垂直的定义），
∴∠ADC=∠EGC（等量代换），
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行 ），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），
∠E=∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠E=∠1（ 已知），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，垂直的定义，角平分线的定义等知识，熟知相关定义和平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
19. 如图，在中，于D，平分，与交于点F，求．

【答案】
【解析】
【分析】首先利用三角形的内角和求出，然后利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵于D，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
20. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若，且c为偶数．求的周长．
（2）化简：．
【答案】（1）的周长为11或13
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答．
【小问1详解】
解：，
，即，
由于c是偶数，则或6，
当时，的周长为，
当时，的周长为．
综上所述，的周长为11或13．
【小问2详解】
解：的三边长为a，b，c，
，
．
21. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】（1）①若，，则的值为 ；
②若，则 ；
【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22．
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键．
（1）①利用计算即可；
②令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可；
（2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积．
【详解】解：（1）①由题意可知，，
，，
，
故答案为：20；
②令，，
，，
，
故答案为：13；
（2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是22．
22. 【基础探究】
（1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数；
（2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为 ；
（3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ；
【问题迁移】
（4）如图4，在中，，、分别平分、．则 ；
【拓展深化】
如图，在中，D、E是、上的点，设，．
（5）如图5，、分别平分、．用含m、n的式子表示的度数为 ；
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【解析】
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质进行求解即可；
（2）设，由（1）可知：，再根据，即可得出答案；
（3）设，由（1）可知：，，根据角平分线的定义，进行求解即可；
（4）根据三角形内角和定理和角平分线的定义进行求解即可；
（5）延长与的延长线交于点，求出，由（4）可知：，然后求出结果即可．
【详解】解：（1）过点作，如图1所示：
，
，
，
，
即，
，
；
故答案为：．
（2）设，如图2所示：
的平分线与的平分线交于点，
，
，由（1）可知：，
，
，
，
由三角形的内角和定理得：，
，
，
；
故答案：．
（3）设，如图3所示：
、分别平分、，
，，，，
，由（1）可知：，，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
（4），，
，
、分别平分、，
，
，
，
；
（5）延长与的延长线交于点，如图5所示：
，
，
，
，
、分别平分、，
由（4）可知：，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行公理的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键．所挂物体重量x(kg)
1
2
3
4
5
弹簧长度y(cm)
10
12
14
16
18