广东省深圳市展华实验学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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总计：120分 时间：90分钟
一、选择题（请将正确的答案填入下面相应的表格内，否则不得分．每小题3分，共36分）
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了非零数的零指数幂，根据任何非零数的零指数都等于即可，解题的关键是熟练掌握．
【详解】解：，
故选：．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，则错误，故不符合题意；
B、，则错误，故不符合题意；
C、，则正确，故符合题意；
D、，则错误，故不符合题意；
故选C．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，根据运算法则即可．
【详解】解：．
故选：C．
4. 用科学记数方法表示，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据科学记数法的表示较小的数为，可知a=9.07，n=-5.
故选：B
【点睛】本题考查科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
5. 己知是，则的补角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了补角的定义，根据补角的定义即可求解，解题的关键是熟知补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角．
【详解】∵是，
∴的补角是，
故选：．
6. 下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角的概念，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，根据对顶角的概念判断即可．
【详解】A．图中和是对顶角，符合题意；
B．图中和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意；
C．图中和没有公共顶点，不是对顶角，故不符合题意；
D．图中和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意；
7. 下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数，即可得出答案．
【详解】A、（y-x）（x+y）中x与-x互相反数，y与y相等，故能进行平方差公式计算，故此选项错误；
B、（2x-y）（-y-2x）中-y与-y相等，2x与-2x互为相反数，故能进行平方差公式计算，故此选项错误；
C、（x-3y）（-3y+x）中x与x相等，-3y与-3y相等，故不能进行平方差公式计算，故此选项正确；
D、（4x-5y）（5y+4x）中4x与4x相等，-5y与5y互为相反数，故能进行平方差公式计算，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的运算性质，根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数是解决问题的关键．
8. 已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A. 20°B. 30°C. 45°D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等计算即可．
【详解】因为，所以∠2=∠1+30°，
所以∠2=30°+20°=50°，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
9. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晩，乌龟还是先到达终点、用、分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，乌龟的运用图像是正比例函数，兔子的运动图像是分段函数，且分为三段，其特点是第一段正比例函数且图像更靠近y轴，第二段是平行x轴的线段，且线段的两个端点位于乌龟图像的两侧；第三段为一次函数，但是图像没有交点，根据这些信息判断即可．
【详解】解：根据题意，乌龟的运用图像是正比例函数，兔子的运动图像是分段函数，且分为三段，其特点是第一段正比例函数且图像更靠近y轴，第二段是平行x轴的线段，且线段的两个端点位于乌龟图像的两侧；第三段为一次函数，但是图像没有交点，根据这些信息判断，而且乌龟比兔子早到，故A，B，C不符合题意，符合描述的只有D选项．
故选D．
【点睛】本题主要考查函数图象的实际应用，能够熟练的把文字信息转化为图象的信息是解题关键．
10. 如图，海平面上有两艘轮船、，则由测得的方向应是（ ）
A. 南偏东B. 南偏东C. 北偏西D. 北偏西
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的知识点是方向角，根据方位角的概念，看图正确表示出方位角，即可求解，从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解题的关键．
【详解】根据方位角的概念可知，，
∴，
∴由测得的方向应该是南偏东，
故选：．
11. 下列命题：①同位角相等：②两点之间，线段最短：③相等的角是对顶角；④同角或等角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线；⑥任何数的零次幂为1．正确的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用补角的定义、对顶角的性质、零次幂的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①两直线被第三直线所截，同位角相等，不正确，假命题；、
②两点之间，线段最短，正确，为真命题；
③相等的角是对顶角，不正确，是假命题；
④同角或等角的补角相等，正确，为真命题；
⑤同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，错误，为假命题；
⑥任何不为零的数的零次幂为1，不正确，是假命题；
故选：A．
12. 计算：如图，“三角”表示，方框表示，求的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查整式的乘法，根据题意列算式，再根据整式的乘法法则计算可求解．
【详解】解：由题意得
．
故答案选：B
二、填空题：（每小题3分，共12分）
13. 长方形的面积为，如果它的长为，则它的宽为___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的除法，直接利用整式的除法运算法则计算进而得出它的宽．正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：∵长方形的面积为，它的长为，
∴它的宽为：．
故答案为：．
14. 某人开车由深圳出发前往的目的地广州，车速为时，则他距广州的路程与行驶的时间小时之间的关系式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数关系式，根据两地相距，减去汽车行走的路程即可，解题的关键是正确理解路程，速度，时间的关系．
【详解】解：由题意得，他距广州的路程与行驶的时间小时之间的关系式为，
，
故答案为：．
15. 如图，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s(m)和t(s)分别表示运动路程和时间，根据图象，判断快者的速度比慢者的速度每秒快____________.
【答案】1.5m
【解析】
【详解】根据图象可知慢者8秒走了（64-12）米，快者8秒走了64米，由此求出各自的速度即可求出答案．
解：因为慢者8秒走了64-12=52米，快者8秒走了64米，
所以64÷8-52÷8=1.5m．
故答案为1.5．
16. 如图，已知，现将一直角放入图中，其中，交于点E，交于点．若，则的度数为_____．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，过作，根据平行线的性质和角度和差即可求解，掌握作平行线的方法、平行线的判定及性质是解题的关键．
【详解】如图，过作，

∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
三、计算题
17. 计算题：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算，幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法法则，多项式乘以多项式的法则以及平方差公式，熟练掌握运算法则和乘法公式是解本题的关键．
（1）根据负整数指数幂、整数指数幂、零指数幂幂及绝对值的知识，得出各部分的最简值，继而合并运算即可．
（2）利用平方差公式计算即可
（3）根据单项式乘以单项式的法则计算即可．
（4）根据多项式除以单项式的法则计算即可
（5）根据单项式乘以单项式以及除单项式的法则计算即可，可得答案．
（6）根据多项式乘以单项式的法则计算即可．
（7）根据多项式乘以多项式的混合运算法则计算即可
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
【小问3详解】
【小问4详解】
【小问5详解】
【小问6详解】
【小问7详解】
四、解答题（共计44分）
18. 化简求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式以及整式的加减运算、乘除运算进行化简，然后将的值代入即可求出答案．
详解】原式
，
当时，
原式
．
19. 说理填空题：如图，已知，，求证：
证明：∵（ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
又∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】已知；；内错角相等，两直线平行；1；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，首先根据可证明，进而可证明，然后再结合条件可得，然后可证明．
【详解】证明：（已知），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
20. 如图：已知：，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查了平行线的性质，由两直线平行，同位角相等求得的度数为．
【详解】解；如图所示：
，
，
又，
．
21. 作图题：
（1）在图①中，作过点P作直线，垂足为H：作直线；
（2）请直接写出图①中三角形的面积是 平方单位；
（3）图②中过点P作直线（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】（1）见解析；
（2）11； （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了两直线平行的判定，尺规作图作出相等角的作法，熟记平行线的判定定理，尺规作图的步骤是解题关键．
（1）利用网格的特点作出图形即可；
（2）利用割补法即可求解；
（3）根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出即可解决问题．
【小问1详解】
解：直线和直线即为所作，
；
【小问2详解】
解：三角形的面积=
平方单位；
故答案为：11；
【小问3详解】
解：如图，直线即为所求．
．
22. 已知动点P以每秒2cm的速度沿如图所示的边框按从的路径移动，相应的的面积S关于时间t的函数图象如图所示，若，试回答下列问题．
（1）此题的自变量是 ，因变量是 ．
（2）如图甲，的长是 cm；图甲图形面积是 cm．
（3）如图乙，图中的a是 ，b是 ．
【答案】（1）时间t；面积S
（2）8；60 （3）24；17
【解析】
【分析】此题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
（1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和面积；
（2）根据函数图象可判断出、的长度，进一步计算即可求解；
（3）根据三角形的面积计算公式，进行求解．
【小问1详解】
解：根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和的面积；
故答案为：时间t；面积S；
【小问2详解】
解：已知当在上时，以为底的三角形的高在不断增大，到达点时，开始不变，由第二个图得，
在上移动了4秒，
．
在上移动了2秒，
，
在上移动了3秒，
，
，
，
∴图甲图形面积是
故答案为：8；60；
【小问3详解】
解：由图得，是点运行4秒时的面积，
，
为点走完全程的时间：，
，．
故答案为：24；17．
23. 在学习《整式的乘除》时，对于整式乘法公式的验证，我们经常采用“算两次”的思想．现在有两张大小不一的正方形卡片，边长分别为a、b，小明同学通过用它们进行不同的拼接，验证了两个常见的整式乘法公式，具体拼接方法如下：
（1）若拼接方法如图1所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．
（2）若拼接方法如图2所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．
（3）拓展应用（下列两题，请任意选择一题作答即可）：
①若拼接方法如图3所示，且，则与的面积之和为______________．
②若拼接方法如图4所示，且，则与的面积之差为______________．
【答案】（1）a2﹣b2；（a﹣b）（a+b）；a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
（2）（a+b）2﹣2ab；a2+b2；（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（3）①12；②12
【解析】
【分析】（1）分别用不同的方法表示出阴影部分的面积，从而可求解；
（2）分别用不同的方法表示出阴影部分的面积，从而可求解；
（3）①所求的面积可看成是两个正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和；
②分别表示出△BEF的面积，△ACD的面积，再相减即可．
【小问1详解】
解：阴影部分面积为：a2﹣b2，
还可以表示为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b），
则有：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
故答案为：a2﹣b2；（a﹣b）（a+b）；a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
【小问2详解】
解：阴影部分面积为：（a+b）2﹣2ab，
还可以表示为：a2+b2，
则有：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
故答案为：（a+b）2﹣2ab；a2+b2；（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
【小问3详解】
解：①阴影部分面积为：
a2+b2﹣[a（a+b）+b2]
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝（a+b）2﹣ab﹣ab
＝（a+b）2﹣ab，
∵a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝×62﹣×4
＝18﹣6
＝12；
即△ABC与△ACD的面积之和为12．
故答案为：12；
②S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）+b（a﹣b）＝，
S△ACD＝a2+b2﹣a（a﹣b）﹣a（a+b）﹣b2＝b2，
∴△BEF与△ACD的面积之差为：a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝（a+b）（a﹣b），
∵a+b＝6，a﹣b＝4，
∴原式＝×6×4
＝12．
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景，解答的关键结合图形分析清楚所求的面积可看作是规则图形的和还是差．
24. 观察：
22﹣12＝（2＋1）（2﹣1）＝2＋1＝＝3；
42﹣32＋22﹣12＝（4＋3）（4﹣3）＋（2＋1）（2﹣1）＝4＋3＋2＋1＝＝10；
…
探究：
（1）82﹣72＋62﹣52＋42﹣32＋22﹣12＝ （直接写答案）；
（2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2＋（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2＋…＋22﹣12的值；
应用：
（3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π）
【答案】（1）36
（2）2n2＋n
（3）55πcm2
【解析】
【分析】（1）根据规律计算即可；
（2）根据规律计算即可；
（3）根据圆的面积公式和规律计算即可．
【详解】解：（1）82﹣72＋62﹣52＋42﹣32＋22﹣12＝＝36，
故答案为：36；
（2）（2n）2﹣（2n﹣1）2＋（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2＋…＋22﹣12＝＝2n2＋n；
（3）102π﹣92π＋…﹣32π＋22π﹣π，
＝（102﹣92＋…﹣32＋22﹣1）π，
＝（10﹣9＋…＋3＋2＋1）π，
＝55π（cm2）．
【点睛】本题主要考查了数字图形的规律题，准确计算是解题的关键．