广东省东莞市南城开心实验学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 实数，，，，，中，无理数的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义逐一判断即可．
【详解】∵-8，，0，是有理数，，是无理数；
故答案选：C．
【点睛】此题考查无理数的定义：无限不循环小数．
2. 如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．关键是掌握平行线的判定定理．
【详解】解：，
，故选项A不合题意；
，
，不能判定，故选项B符合题意；
，
，故选项C不合题意；
∵，
，故选项D不合题意．
故选：B．
3. 下列各式中，正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是算术平方根、平方根、立方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
依据算术平方根、平方根、立方根的性质求解即可．
【详解】A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：D．
4. 下列说法不正确的是（ ）
A. 的平方根与算术平方根都是B. 立方根等于本身的是
C. 没有平方根D. 的平方根是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的知识，根据算术平方根、平方根和立方根的定义，逐一判断即可，解题的关键是掌握算术平方根，平方根和立方根的定义．
【详解】解：、的平方根与算术平方根都是，该说法正确，不合题意；
、立方根等于本身的是，该说法不正确，符合题意；
、没有平方根，该说法正确，不合题意；
、的平方根是，该说法正确，不合题意；
故选：．
5. 用加减法解方程组 时，①×2-②得（ ）
A. 3x=-1B. -2x=13C. 17x=-1D. 3x=17
【答案】D
【解析】
【详解】①×2-②，得2（5x+y）-（7x+2y）=2×4-（-9），
去括号，得10x+2y-7x-2y=2×4+9，
化简，得3x=17．
故选：D
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，利用加减消元法或代入消元法求解即可.
6. 将点先向右平移7个单位，再向下平移5个单位，得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】让点的横坐标加7，纵坐标减5即可得到平移后点的坐标．
【详解】解：点先向右平移7个单位，再向下平移5个单位，得到的点坐标是，即，
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
7. 下列命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②内错角相等；③在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；④相等的角是对顶角． 其中，真命题有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行公理及其推论可判断①，根据内错角的定义即可判断②，根据平行线的判定方法，即同旁内角互补即可判定③，根据对顶角的定义即可判定④．
【详解】解：由平行公理及其推论可知①正确；
在两直线平行时，内错角才相等，故②错误；
若两条直线都垂直与同一条直线，则同旁内角互补，可以判定这两条直线平行，故③正确；
对顶角相等，但并不是相等的角都是对顶角，故④错误；
只有①③正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行公理及其推论，内错角和对顶角的定义和大小关系，以及平行线的判定，解决本题的关键是熟练掌握每一个概念的定义．
8. 已知关于的二元一次方程组的解为，则的值是（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：把代入方程组，
得：，
解得：，
，
故选B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于、的方程组是解此题的关键．
9. 若，，且，则的值等于（ ）
A 1或5B. 1或C. 或D. 或5
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的意义以及乘方的逆运算得出的值，代入求值即可，注意分类讨论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
当时，；
当时，；
综上，的值等于或，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，乘方的逆运算等知识点，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 ， ， ， ， ， ……则点 的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．
【详解】解： 由的坐标 可得：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，当下标除以3后有余数且商为奇数时，坐标在第四象限，纵坐标为；当下标除以3后有余数且商为偶数时，坐标在第二象限，纵坐标为1。
由 可得规律：
∵，
∴
∴点的坐标是，
故选：B．
【点睛】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，关键是找到循环规律．
二、填空题（共7题，每题4分，共28分）
11. 命题：相等的角是对顶角的题设为___________，结论为：___________．
【答案】 ①. 两个角相等 ②. 这两个角对顶角
【解析】
【分析】任何一个命题都可以写成如果…，那么…的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
【详解】解：命题“相等的角是对顶角”可写成：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
∴题设是：两个角相等，结论是：这两个角是对顶角，
故答案为：两个角相等；这两个角是对顶角．
【点睛】本题考查的是命题的题设与结论，解答此题目只要把命题写成如果…，那么…的形式，便可解答．
12. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估算，代数式求值，先利用平方根、立方根的定义、夹逼法求出的值，再把它们的值代入代数式计算即可求解，利用平方根、立方根的定义、夹逼法求出的值是解题的关键．
【详解】解：∵的平方根是，的立方根是，
∴，，
∴，，
∵，是的整数部分，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 若，则的值为_______．
【答案】或4
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根和立方根的相关知识．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，记作：．任何正数的平方根有两个，它们互为相反数；数的平方根仍旧是零；负数没有平方根．
根据平方根和立方根的知识可知，或，最后将所求得的值代入中进行计算即可．
【详解】解：由，得
由，得或，
将、代入可得，
将、代入可得，
故答案为：或4．
14. 已知点，它与点在同一条平行于x轴的直线上，且，那么点N的坐标是_______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，可得，再分两种情况：点N在点M右侧时和左侧讨论，即可求解．
【详解】∵点，它与点在同一条平行于x轴的直线上，
∴，
∵，
∴当点N在点M右侧时，，
此时，点N的坐标是；
当点N在点M左侧时，，
此时，点N的坐标是；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键．
15. 如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为_____．
【答案】45°##45度
【解析】
【分析】反向延长DE交BC于M，如图，先根据平行线的性质求出∠BMD的度数，进而可得∠CMD的度数，然后利用三角形的外角定理解答即可．
【详解】解：反向延长DE交BC于M，如图，
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝75°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．
16. 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝65°，那么∠2等于_____．
【答案】50°
【解析】
【分析】根据平行线的性质计算即可；
【详解】解：如图所示，由折叠可得，∠3＝∠1＝65°，
∴∠CEG＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠CEG＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中（以1cm为单位长度），过点（0，5）的直线垂直于y轴，点M（12，5）为直线上一点，若点P从点M出发，以4cm/s的速度沿直线MA向左移动；点Q从原点同时出发，以2cm/s的速度沿x轴向右移动，则当PQ∥y轴时，点P和点Q运动了 ___s．
【答案】2
【解析】
【分析】设当PQ//y轴时，点P和点Q运动了t秒，分别写出点P与点Q的坐标，根据与y轴平行的直线上的点的横坐标得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】设当PQ//y轴时，点P和点Q运动了t秒，
则MP=4tcm，OQ=2tcm ，
∴AP=AM-MP=(12-4t)cm，
∴P（12﹣4t，5），Q（2t，0），
∵PQ//y轴，
∴12﹣4t＝2t，解得t＝2．
即当PQ//y轴时，点P和点Q运动了2s．
故答案为：2．
点睛】本题是坐标与图形问题，考查了解一元一次方程等知识，关键是由与y轴平行的直线上的点的横坐标相等得到相应的方程．
三、解答题（共3题，每题6分，共18分）
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合计算，熟练掌提相应的运算法则是解题的关键；
利用算术平方根，立方根定义，绝对值，乘方的性质进行计算，再合并即可得到结果；
【详解】
．
19. 解方程组
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）将原方程变形为，再利用加减消元法进行求解即可．
【小问1详解】
解：
由得：，解得：，
把代入①中得：，解得：，
故原方程组的解是：．
【小问2详解】
解：原方程变形为：，
由得：，解得：，
把代入①中得：，解得：，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握与运用．
20. 已知关于的方程组的解满足
（1）求的值；
（2）化简：．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】将方程组的两个方程相减可得，再将代入即可求出的值；
将的值代入后，再根据绝对值的意义化简即可．
【小问1详解】
解：，
得，，即，
将代入得，，
解得，；
【小问2详解】
当时，
原式

．
【点睛】本题考查二元一次方程组，绝对值，掌握二元一次方程组的解法以及绝对值的化简方法是正确解答的前提．
四、解答题（共3题，每小题8分，共24分）
21. 如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析过程，点
（2）点
（3）
【解析】
【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．．
（1）根据平移规则，画出，进而写出点的坐标即可；
（2）根据平移规则，写出的坐标即可；
（3）分割法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
如图所示：
∴点；
【小问2详解】
∵向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，
∴点；
【小问3详解】
．
22. 在平面直角坐标系中，已知点
（1）若M在x轴上，求m的值
（2）若点M在第二象限内，求m的取值范围；
（3）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值．
【答案】（1）3；（2）m＞3；（3）8或-2
【解析】
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征得到m-3=0，解得即可；
（2）根据第二象限的点的坐标特征得到m-3＞0，解得即可；
（3）根据题意得到m-3=±5，解得即可．
【详解】解：（1）∵点M（-5，m-3）在x轴上，
∴m-3=0，
∴m=3；
（2）∵点M（-5，m-3）在第二象限内，
∴m-3＞0，
∴m＞3；
（3）∵点M到x轴，y轴距离相等，
∴m-3=±5，
∴m=8或m=-2．
【点睛】本题考查了点的坐标，解一元一次不等式，解一元一次方程，根据点的坐标特征得到等式或不等式是解题的关键．
23. 已知：如图，，．
（1）判断GD和CA的位置关系，并说明理由
（2）若DG平分，且，求的度数．
【答案】（1）GDCA，理由见解析；
（2）40°．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质即可得出∠1+∠ACD＝180°，再根据条件∠1+∠2＝180°，即可得到∠ACD＝∠2，进而判定GDCA．
（2）根据平行线的性质，得到∠2＝∠ACD＝40°，根据角平分线的定义，可得到∠BDG＝∠2＝40°，即再根据平行线的性质即可得出∠A的度数．
【小问1详解】
解：GDCA．
理由：∵EFCD，
∴∠1+∠ACD＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠ACD＝∠2，
∴GDCA；
【小问2详解】
解：∵GDCA，
∴∠2＝∠ACD＝40°，
∵DG平分∠CDB，
∴∠BDG＝∠2＝40°，
∵GDCA，
∴∠A＝∠BDG＝40°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的综合应用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
五、解答题（共2题，每小题10分，共20分）
24. 定义：对于一个有理数x，我们把称作x的对称数．若，则；若，则．例：，．
（1）求，的值；
（2）已知有理数，，且满足，试求代数式的值；
（3）解方程：．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题中的新定义列式计算即可；
（2）根据题中的新定义列式求出，然后整体代入计算即可；
（3）分和两种情况，分别根据新定义得出方程，再求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当时，方程为：，
解得：；
当时，方程为：，
解得：，
故方程的解为或．
【点睛】本题考查了新定义，代数式求值，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键．
25. 在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动．
【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为_________；
【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线．若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，的值是多少？
【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，求出所有满足条件的值．（请直接写出满足条件的值）
【答案】（1）；（2）40或100；（3）15或60或105
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理：
（1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到；
（2）当在上方时，延长交于T，先由平行线性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可；
（3）分解析中三种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴
∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，当在上方时，延长交于T，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在下方时，只需要在旋转秒的基础上再旋转180度即有
∴；
综上所述，当旋转到时，的值是40或100；
（3）如图，当时，
设直线与，分别交于P，Q，
此时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：；

如图，当时，
延长，，分别与交于P，Q，
此时，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
解得：；

如图所示，当时，设直线分别交于P、T ，
此时，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得
综上：所有满足条件的t的值为15或60或105．