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2023-2024学年山东省聊城市阳谷县四校八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省聊城市阳谷县四校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在实数：3.14，32，2.1231223…(1和3之间的2逐次加1个)， 8，4，π3，227中，无理数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.下列说法中正确的是( )
A. 和数轴上一一对应的数是有理数B. 数轴上的点可以表示所有的实数
C. 带根号的数都是无理数D. 不带根号的数都是有理数
3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ (a+b)2的结果是( )
A. −2a−bB. 2a−bC. −bD. b
4.若 18与最简二次根式 m+1能合并，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.一个正数的两个平方根分别是2a−5和−a+1，则a的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 9
6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若OA=4，S菱形ABCD=24，则OE的长为( )
A. 2B. 3C. 32D. 4
7.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=12，BD=16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合.过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于( )
A. 3.6B. 4.8C. 5D. 6
8.若不等式组x+a>01−x2≥x3−4无解，则实数a的取值范围是( )
A. a>−6B. a≥−6C. a<−6D. a≤−6
9.若关于x的不等式组12(3x−2)≤x+15x+3>a−2x，有且仅有五个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为( )
A. 0B. −1C. −3D. −7
10.某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款.如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品( )
A. 10件B. 11件C. 12件D. 13件
11.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为( )
A. 6cm2
B. 7.5cm2
C. 10cm2
D. 12cm2
12.如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF//CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH.下列结论：①∠EFH=45°；②△AHD≌△EHF；③∠AEF+∠HAD=45°；④若BEEC=2，则S△BEGS△GFH=8.其中结论正确的是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ①④D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.计算2 12−6 13+ 27的结果是______．
14.若关于x，y的二元一次方程组4x−2y=8+a3y−2x=1的解满足2x+y>5，则a的取值范围是______．
15.若x，y为实数，y= x2−4+ 4−x2+1x−2，则4y−3x的平方根是______．
16.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=8，BC=10，则线段EF的长为 ．
17.如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.P为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
18.(1)解不等式：x+12−4x−56≥1，并在数轴上表示出它的解集．
(2)解不等式组5x+2<3(x+2)x−12≤2x−13，并求不等式组的整数解．
四、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)3−8− 116+31−6364；
(2) 81+3−64+| 3−2|+ 3；
20.(本小题8分)
如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H是BD，AC的中点．
求证：EF和GH互相平分．
21.(本小题8分)
已知：如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．
求证：
(1)四边形AFBE是矩形；
(2)MN//BC．
22.(本小题8分)
已知，关于x的不等式组x+1>mx−1≤n有解．
(1)若不等式的解集与1−2x<53x−12≤4的解集相同，求m+n的值；
(2)若不等式组恰好只有4个整数解．
①若m=−1，求n的取值范围；
②若n=2m，则m的取值范围为______．
23.(本小题8分)
某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．
(1)求A、B两种纪念品的每件进价分别为多少元；
(2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备购进A、B两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，求该商店最多购进A种纪念品多少件．
24.(本小题9分)
【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股4=12×(9−1)，弦5=12×(9+1)；
当勾为5时，股12=12×(25−1)，弦13=12×(25+1)；
当勾为7时，股24=12×(49−1)，弦25=12×(49+1)．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股=______，弦=______．
【问题解决】
(2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a=2m，b=m2−1，c=m2+1(m为大于1的整数)，则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
(3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
25.(本小题12分)
【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第101页的练习中的第3题．
点P是矩形边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15.求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和.(提示：记对角线AC和BD的交点为点O，连结OP)．
【问题解决】小明发现：如图①，连结OP，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E、F，利用矩形对角线的性质，通过S△AOP+S△DOP=S△AOD，便可求出PE+PF的值，请你运用小明发现的方法，求出点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和，并写出解答过程．
【规律应用】如图②，当点P是矩形边AB上任意一点时，PE+PF= ______．
【规律探究】如图③，当点P是AD延长线上任意一点时，则PE和PF之间的数量关系是______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：3.14是有限小数，是有理数；
32是无限不循环小数，是无理数；
2.1231223…(1和3之间的2逐次加1个)，是无限不循环小数，是无理数；
8是无限不循环小数，是无理数；
4是整数，是有理数；
π3是无限不循环小数，是无理数；
227是分数，是有理数，
综上所述：无理数共有4个．
故选：C．
根据无理数的定义，即无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环依次判断即可．
本题考查实数的分类．掌握无理数的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、实数和数轴上的点一一对应，原说法错误，不符合题意；
B、数轴上的点可以表示所有的实数，正确，符合题意；
C、带根号的数且开方开不尽的数都是无理数，如 4是有理数，原说法错误，不符合题意；
D、不带根号的分数、小数和无限循环小数都是有理数，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
分别根据实数和数轴的关系、有理数和无理数的定义解答即可．
此题主要考查了实数、无理数、有理数之间的关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．
3.【答案】A
【解析】解：∵a<0|b|，
∴a<0，a+b<0，
∴|a|+ (a+b)2
=|a|+|a+b|
=−a−(a+b)
=−2a−b．
故选：A．
根据a<0|b|解答即可．
本题考查二次根式的性质与化简等，掌握数轴上数的特征及二次根式的性质是本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解： 18=3 2，
∵ 18与最简二次根式 m+1能合并，
∴m+1=2，
∴m=1．
故选：B．
18=3 2， m+1能与3 2合并，则m+1=2，进而可求出m的值．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的特点是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
5.【答案】C
【解析】解：由题可知，
2a−5+(−a+1)=0，
解得a=4．
故选：C．
根据平方根的定义进行解题即可．
本题考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD，
∴∠AOB=90°，AC=OA+OC=4+4=8，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=24，
∴12×8BD=24，
解得BD=6，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠BED=90°，
∴OE=12BD=3，
故选：B．
由菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD，则∠AOB=90°，AC=8，由S菱形ABCD=12×8BD=24，求得BD=6，由DE⊥AB于点E，得∠BED=90°，所以OE=12BD=3，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、根据面积等式求线段的长度、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识与方法，正确地求出对角线BD的长是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，BO=12BD=8，OC=12AC=6，
∴BC= OB2+OC2= 64+36=10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE=OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC=12OB×OC=12BC×OP，
∴OP=6×810=4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=12BD=8，OC=12AC=6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF=OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：x+a>0①1−x2≥x3−4②，
由①得，x>−a，
由②得，x≤6，
∵不等式组无解，
∴−a≥6，解得a≤−6．
故选：D．
先把a当作已知条件求出不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出a的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由不等式组可知：x≤4且x>a−37，
∵x有且只有5个整数解，
∴−1≤a−37<0，
∴−4≤a<3，
∵a是整数，
∴a=−4，−3，−2，−1，1，2．
∴所有满足条件的整数a之和为−7．
故选：D．
根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出a的范围，从而确定的a的可能值．
本题考查学生的计算能力以及推理能，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出a的范围，本题属于中等题型．
10.【答案】C
【解析】解：设小颖可以购买x件该商品，
依题意得：4×5+4×0.8(x−5)≤44，
解得：x≤252，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为12，
∴小颖最多可以购买该商品12件．
故选：C．
设小颖可以购买x件该商品，利用总价=单价×数量，结合总价不超过44元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3cm，AD=9cm，
∴∠A=90°，AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠得BE=DE，∠DEF=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∵AB2+AE2=BE2，且AE=9−DE=9−BE，
∴32+(9−BE)=BE2，
解得BE=5，
∴BF=BE=5cm，
∴S△BEF=12BF⋅AB=12×5×3=7.5(cm2)，
故选：B．
由矩形的性质得∠A=90°，AD//BC，则∠DEF=∠BFE，由折叠得BE=DE，∠DEF=∠BEF，所以∠BFE=∠BEF，根据勾股定理列方程得32+(9−BE)=BE2，则BF=BE=5cm，即可求得△BEF的面积为7.5cm2，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，根据勾股定理列方程求出BE的长是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：①在正方形ABCD中，∠ADC=∠C=90°，∠ADB=45°，
∵EF//CD，
∴∠EFD=90°，
∴四边形EFDC是矩形．
在Rt△FDG中，∠FDG=45°，
∴FD=FG，
∵H是DG中点，
∴∠EFH=12∠EFD=45°
故①正确；
②∵四边形ABEF是矩形，
∴AF=EB，∠BEF=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG=∠EGB=45°，
∴BE=GE，
∴AF=EG．
在Rt△FGD中，H是DG的中点，
∴FH=GH，FH⊥BD，
∵∠AFH=∠AFE+∠GFH=90°+45°=135°，
∠EGH=180°−∠EGB=180°−45°=135°，
∴∠AFH=∠EGH，
∴△AFH≌△EGH(SAS)，
∴EH=AH，
∵EF=AD，FH=DH，
∴△EHF≌△AHD(SSS)，
故②正确；
③∵△EHF≌△AHD，
∴∠EHF=∠AHD，
∴∠AHE=∠DHF=90°，
∵AH=EH，
∴∠AEH=45°，
即∠AEF+∠HEF=45°，
∵∠HEF=∠HAD，
∴∠AEF+∠HAD=45°，
故③正确；
④如图，过点H作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，
设EC=FD=FG=x，则BE=AF=EG=2x，
∴BC=DC=AB=AD=3x，HM=12x，AM=52x，HN=52x，
∴AH2=(52x)2+(12x)2=132x2，
∴S△BEHS△AHE=12BE⋅HN12AH2=8，
故④正确；
故选：A．
①根据正方形的性质证明∠ADB=45°，进而得△DFG为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH=12∠EFD=45°，故①正确；
②根据矩形性质得AF=EB，∠BEF=90°，再证明△AFH≌△EGH得EH=AH，进而证明△EHF≌△AHD，故②正确；
③由△EHF≌△AHD得∠EHF=∠AHD，怀AH=EH得∠AEF+∠HEF=45°，进而得∠AEF+∠HAD=45°，故③正确；
④如图，过点H作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，设EC=FD=FG=x，则BE=AF=EG=2x，BC=DC=AB=AD=3x，HM=12x，AM=52x，HN=52x，由勾股定理得AH2，再由三角形的面积公式得S△BEHS△AHE，便可判断④的正误，
本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题．
13.【答案】5 3
【解析】解：原式=4 3−2 3+3 3=5 3，
故答案为：5 3．
首先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握计算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
14.【答案】a>−4
【解析】解：两方程相加得2x+y=9+a，
∵2x+y>5，
∴9+a>5，
则a>−4，
故答案为：a>−4．
两方程相加得2x+y=9+a，由2x+y>5，知9+a>5，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
15.【答案】± 5
【解析】解：∵ x2−4与 4−x2同时成立，
∴x2−4≥04−x2≥0故只有x2−4=0，即x=±2，
又∵x−2≠0，
∴x=−2，y=1x−2=−14，
4y−3x=−1−(−6)=5，
故4y−3x的平方根是± 5．
故答案：± 5．
要求4y−3x的平方根，一要先求出x，y的值，要求x、y的值就要根据： x2−4与 4−x2同时成立，根号里的数一定是0.依此来求x、y的值．
根据 x2−4与 4−x2同时成立，得到x的值是解答本题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=8，D为AB中点，
∴DF=12AB=AD=BD=4，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE//BC，
∵AD=DB，
∴AE=EC，
∴DE=12BC=5，
∴EF=DE−DF=5−4=1，
故答案为：1．
根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=12AB=AD=BD=4且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE//BC，进而可得DE=5，由EF=DE−DF可得答案．
本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，
根据轴对称性质可知，PN=PN′，N′为OC的中点，
∴PM−PN=PM−PN′≤MN′，
当P，M，N′三点共线时，取“=”，
过O作OE⊥BC于点E，可得BE=CE，
∵BM=6，BC=AB=8，
∴MN′为△OEC的中位线，
∴MN′//OE//AB//CD，∠CMN′=90°，
∵∠N′CM=45°，
∴△N′CM为等腰直角三角形，CM=MN′，
∵正方形边长为8，BM=6，
∴CM=BC−BM=8−6=2，
∴CM=MN′=2，
即PM−PN的最大值为2，
故答案为：2．
以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，依据PM−PN=PM−PN′≤MN′，可得当P，M，N′三点共线时，取“=”，过O作OE⊥BC于点E，即可得出MN′//OE//AB//CD，∠CMN′=90°，得到△N′CM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN′=2．
本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决即可．
18.【答案】解：(1)去分母得：3(x+1)−(4x−5)≥6，
去括号得：3x+3−4x+5≥6，
移项得：3x−4x≥6−3−5，
合并同类项得：−x≥−2，
系数化为1得：x≤2，
解集在数轴上表示出来为：
；
(2)5x+2<3(x+2)①x−12≤2x−13②，
解不等式①，得：x<2，
解不等式②，得：x≥−1，
∴不等式组解集为：−1≤x<2，
∴不等式组的整数解为−1，0，1．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式、解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集有关知识
(1)不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，问题可解
19.【答案】解：(1)原式=−2−14+3164
=−2−14+14
=−2；
(2)原式=9−4+2− 3+ 3
=7．
【解析】(1)直接利用立方根的性质以及算术平方根的定义分别化简，进而得出答案；
(2)直接利用立方根的性质以及算术平方根的定义、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】证明：连接FG、GE、EH、HF，如图所示．
∵E是四边形ABCD的边AD的中点，G是BD的中点．
∴AE=DE，DG=BG，
∴EG//AB，EG=12AB．
同理，HF//AB，HF=12AB．
∴EG//HF，EG=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF和HG互相平分．
【解析】连接FG、GE、EH、HF，EG、HF分别是△ADB、△ABC的中位线，由中位线的性质可推出EG//HF，EG=HF，此时，便可证明四边形GEHF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握三角形中位线的性质是关键．
21.【答案】
证明：(1)∵BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°．
∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四边形AEBF为矩形；
(2)∵四边形AEBF为矩形，
∴BM=MA=ME，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5
∴ME//BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵M是AB的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN//BC．
【解析】(1)由BF、BE是角平分线可得∠EBF是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形AEBF是矩形；
(2)由矩形的性质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5，可得MF//BC，进而可得△AMN∽△ABC，那么MN//BC．
综合考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；用到的知识点为：有3个角是直角的四边形是矩形；矩形的对角线平分且相等；相似三角形的对应边成比例．
22.【答案】解：(1)解不等式组1−2x<53x−12≤4，得−2解不等式x+1>m，得x>m−1，
解不等式x−1≤n，得x≤n+1，
由题意得m−1=−2，n+1=3，
解得m=−1，n=2；
(2)①m=−1时，关于x的不等式组x+1>mx−1≤n的解集为−2∵不等式组恰好只有4个整数解，
∴4个整数解是−1，0，1，2，
∴2≤n+1<3，
∴1≤n<2；
②n=2m时，关于x的不等式组x+1>mx−1≤n的解集为m−12m+1−(m−1)=m+2，
∵不等式组恰好只有4个整数解，
∴4≤m+2<5，
∴2≤m<3．
故答案为：2≤m<3．
【解析】【分析】
此题主要考查了一元一次不等式组的解法与不等式的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
(1)先求出不等式组1−2x<53x−12≤4的解集，再根据两个不等式组同解得出关于m、n的方程，即可求解；
(2)①由m=−1得出不等式组x+1>mx−1≤n的解集为−2②由n=2m，得出不等式组x+1>mx−1≤n的解集为m−123.【答案】(1)解：设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元．
根据题意 得7x+8y=38010x+6y=380 解得 x=20y=30
∴A种纪念品每件进价20元，B种纪念品每件进价为30元；
(2)解：设该商店购进A种纪念品a件
根据题意 得 5a+7(40−a)≥216 解得 a≤32
∴该商店最多购进A种纪念品32件
【解析】(1)设A、B两种纪念品每件的进价分别为x元，y元，根据用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件，列方程组求解；
(2)设买A纪念品a件，根据该商店准备购进A、B两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，列出不等式，然后求出即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
24.【答案】解：(1)12(n2−1)，12(n2+1)；
(2)∵a=2m，b=m2−1，c=m2+1(m表示大于1的整数)
∴a2+b2=(2m)2+(m2−1)2
=4m2+m4−2m2+1
=m4+2m2+1
=(m2+1)2=c2，
∴a2+b2=c2
∴a、b、c为勾股数；
(3)∵弦与股的差为1，2a2+2a+1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，
∴股为2a2+2a，
∵(2a2+2a+1)2−(2a2+2a)2
=(2a2+2a+1−2a2−2a)(2a2+2a+1+2a2+2a)
=4a2+4a+1
=(2a+1)2，
∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a； 2a+1．
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股数，新定义问题，考查整式的运算，属于中档题．
(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；
(2)根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案；
(3)根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案．
【解答】
解：(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；
故答案为：12(n2−1)，12(n2+1)；
(2)(3)见答案；
25.【答案】12017 PF−PE=12017
【解析】解：【问题解决】如图①，
∵AB=8，BC=15，
∴AC= AB2+BC2= 82+152=17，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=17，AO=CO=172，BO=DO=172，
∵S△APO+S△PDO=S△AOD，
∴12×AO×PE+12×DO×PF=14×AB×BC，
∴12×172(PE+PF)=14×8×15，
∴PE+PF=12017；
【规律应用】如图②，连接OP，
∵S△APO+S△PDO=S△AOB，
∴12×AO×PE+12×BO×PF=14×AB×BC，
∴12×172(PE+PF)=14×8×15，
∴PE+PF=12017；
故答案为：12017；
【规律探究】PF−PE=12017，理由如下：
如图③，连接OP，
∵S△APO−S△PDO=S△AOD，
∴12×AO×PF−12×DO×PE=14×AB×BC，
∴12×172(PF−PE)=14×8×15，
∴PF−PE=12017；
故答案为：PF−PE=12017．
【问题解决】通过S△AOP+S△DOP=S△AOD，便可求出PE+PF的值；
【规律应用】通过S△AOP+S△BOP=S△AOB，便可求出PE+PF的值；
【规律探究】通过S△APO−S△PDO=S△AOD，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
1.在实数：3.14，32，2.1231223…(1和3之间的2逐次加1个)， 8，4，π3，227中，无理数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.下列说法中正确的是( )
A. 和数轴上一一对应的数是有理数B. 数轴上的点可以表示所有的实数
C. 带根号的数都是无理数D. 不带根号的数都是有理数
3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ (a+b)2的结果是( )
A. −2a−bB. 2a−bC. −bD. b
4.若 18与最简二次根式 m+1能合并，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.一个正数的两个平方根分别是2a−5和−a+1，则a的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 9
6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若OA=4，S菱形ABCD=24，则OE的长为( )
A. 2B. 3C. 32D. 4
7.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=12，BD=16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合.过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于( )
A. 3.6B. 4.8C. 5D. 6
8.若不等式组x+a>01−x2≥x3−4无解，则实数a的取值范围是( )
A. a>−6B. a≥−6C. a<−6D. a≤−6
9.若关于x的不等式组12(3x−2)≤x+15x+3>a−2x，有且仅有五个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为( )
A. 0B. −1C. −3D. −7
10.某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款.如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品( )
A. 10件B. 11件C. 12件D. 13件
11.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为( )
A. 6cm2
B. 7.5cm2
C. 10cm2
D. 12cm2
12.如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF//CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH.下列结论：①∠EFH=45°；②△AHD≌△EHF；③∠AEF+∠HAD=45°；④若BEEC=2，则S△BEGS△GFH=8.其中结论正确的是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ①④D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.计算2 12−6 13+ 27的结果是______．
14.若关于x，y的二元一次方程组4x−2y=8+a3y−2x=1的解满足2x+y>5，则a的取值范围是______．
15.若x，y为实数，y= x2−4+ 4−x2+1x−2，则4y−3x的平方根是______．
16.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=8，BC=10，则线段EF的长为 ．
17.如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.P为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
18.(1)解不等式：x+12−4x−56≥1，并在数轴上表示出它的解集．
(2)解不等式组5x+2<3(x+2)x−12≤2x−13，并求不等式组的整数解．
四、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)3−8− 116+31−6364；
(2) 81+3−64+| 3−2|+ 3；
20.(本小题8分)
如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H是BD，AC的中点．
求证：EF和GH互相平分．
21.(本小题8分)
已知：如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．
求证：
(1)四边形AFBE是矩形；
(2)MN//BC．
22.(本小题8分)
已知，关于x的不等式组x+1>mx−1≤n有解．
(1)若不等式的解集与1−2x<53x−12≤4的解集相同，求m+n的值；
(2)若不等式组恰好只有4个整数解．
①若m=−1，求n的取值范围；
②若n=2m，则m的取值范围为______．
23.(本小题8分)
某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．
(1)求A、B两种纪念品的每件进价分别为多少元；
(2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备购进A、B两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，求该商店最多购进A种纪念品多少件．
24.(本小题9分)
【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股4=12×(9−1)，弦5=12×(9+1)；
当勾为5时，股12=12×(25−1)，弦13=12×(25+1)；
当勾为7时，股24=12×(49−1)，弦25=12×(49+1)．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股=______，弦=______．
【问题解决】
(2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a=2m，b=m2−1，c=m2+1(m为大于1的整数)，则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
(3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
25.(本小题12分)
【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第101页的练习中的第3题．
点P是矩形边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15.求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和.(提示：记对角线AC和BD的交点为点O，连结OP)．
【问题解决】小明发现：如图①，连结OP，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E、F，利用矩形对角线的性质，通过S△AOP+S△DOP=S△AOD，便可求出PE+PF的值，请你运用小明发现的方法，求出点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和，并写出解答过程．
【规律应用】如图②，当点P是矩形边AB上任意一点时，PE+PF= ______．
【规律探究】如图③，当点P是AD延长线上任意一点时，则PE和PF之间的数量关系是______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：3.14是有限小数，是有理数；
32是无限不循环小数，是无理数；
2.1231223…(1和3之间的2逐次加1个)，是无限不循环小数，是无理数；
8是无限不循环小数，是无理数；
4是整数，是有理数；
π3是无限不循环小数，是无理数；
227是分数，是有理数，
综上所述：无理数共有4个．
故选：C．
根据无理数的定义，即无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环依次判断即可．
本题考查实数的分类．掌握无理数的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、实数和数轴上的点一一对应，原说法错误，不符合题意；
B、数轴上的点可以表示所有的实数，正确，符合题意；
C、带根号的数且开方开不尽的数都是无理数，如 4是有理数，原说法错误，不符合题意；
D、不带根号的分数、小数和无限循环小数都是有理数，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
分别根据实数和数轴的关系、有理数和无理数的定义解答即可．
此题主要考查了实数、无理数、有理数之间的关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．
3.【答案】A
【解析】解：∵a<0
∴a<0，a+b<0，
∴|a|+ (a+b)2
=|a|+|a+b|
=−a−(a+b)
=−2a−b．
故选：A．
根据a<0
本题考查二次根式的性质与化简等，掌握数轴上数的特征及二次根式的性质是本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解： 18=3 2，
∵ 18与最简二次根式 m+1能合并，
∴m+1=2，
∴m=1．
故选：B．
18=3 2， m+1能与3 2合并，则m+1=2，进而可求出m的值．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的特点是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
5.【答案】C
【解析】解：由题可知，
2a−5+(−a+1)=0，
解得a=4．
故选：C．
根据平方根的定义进行解题即可．
本题考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD，
∴∠AOB=90°，AC=OA+OC=4+4=8，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=24，
∴12×8BD=24，
解得BD=6，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠BED=90°，
∴OE=12BD=3，
故选：B．
由菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD，则∠AOB=90°，AC=8，由S菱形ABCD=12×8BD=24，求得BD=6，由DE⊥AB于点E，得∠BED=90°，所以OE=12BD=3，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、根据面积等式求线段的长度、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识与方法，正确地求出对角线BD的长是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，BO=12BD=8，OC=12AC=6，
∴BC= OB2+OC2= 64+36=10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE=OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC=12OB×OC=12BC×OP，
∴OP=6×810=4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=12BD=8，OC=12AC=6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF=OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：x+a>0①1−x2≥x3−4②，
由①得，x>−a，
由②得，x≤6，
∵不等式组无解，
∴−a≥6，解得a≤−6．
故选：D．
先把a当作已知条件求出不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出a的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由不等式组可知：x≤4且x>a−37，
∵x有且只有5个整数解，
∴−1≤a−37<0，
∴−4≤a<3，
∵a是整数，
∴a=−4，−3，−2，−1，1，2．
∴所有满足条件的整数a之和为−7．
故选：D．
根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出a的范围，从而确定的a的可能值．
本题考查学生的计算能力以及推理能，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出a的范围，本题属于中等题型．
10.【答案】C
【解析】解：设小颖可以购买x件该商品，
依题意得：4×5+4×0.8(x−5)≤44，
解得：x≤252，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为12，
∴小颖最多可以购买该商品12件．
故选：C．
设小颖可以购买x件该商品，利用总价=单价×数量，结合总价不超过44元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3cm，AD=9cm，
∴∠A=90°，AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠得BE=DE，∠DEF=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∵AB2+AE2=BE2，且AE=9−DE=9−BE，
∴32+(9−BE)=BE2，
解得BE=5，
∴BF=BE=5cm，
∴S△BEF=12BF⋅AB=12×5×3=7.5(cm2)，
故选：B．
由矩形的性质得∠A=90°，AD//BC，则∠DEF=∠BFE，由折叠得BE=DE，∠DEF=∠BEF，所以∠BFE=∠BEF，根据勾股定理列方程得32+(9−BE)=BE2，则BF=BE=5cm，即可求得△BEF的面积为7.5cm2，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，根据勾股定理列方程求出BE的长是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：①在正方形ABCD中，∠ADC=∠C=90°，∠ADB=45°，
∵EF//CD，
∴∠EFD=90°，
∴四边形EFDC是矩形．
在Rt△FDG中，∠FDG=45°，
∴FD=FG，
∵H是DG中点，
∴∠EFH=12∠EFD=45°
故①正确；
②∵四边形ABEF是矩形，
∴AF=EB，∠BEF=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG=∠EGB=45°，
∴BE=GE，
∴AF=EG．
在Rt△FGD中，H是DG的中点，
∴FH=GH，FH⊥BD，
∵∠AFH=∠AFE+∠GFH=90°+45°=135°，
∠EGH=180°−∠EGB=180°−45°=135°，
∴∠AFH=∠EGH，
∴△AFH≌△EGH(SAS)，
∴EH=AH，
∵EF=AD，FH=DH，
∴△EHF≌△AHD(SSS)，
故②正确；
③∵△EHF≌△AHD，
∴∠EHF=∠AHD，
∴∠AHE=∠DHF=90°，
∵AH=EH，
∴∠AEH=45°，
即∠AEF+∠HEF=45°，
∵∠HEF=∠HAD，
∴∠AEF+∠HAD=45°，
故③正确；
④如图，过点H作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，
设EC=FD=FG=x，则BE=AF=EG=2x，
∴BC=DC=AB=AD=3x，HM=12x，AM=52x，HN=52x，
∴AH2=(52x)2+(12x)2=132x2，
∴S△BEHS△AHE=12BE⋅HN12AH2=8，
故④正确；
故选：A．
①根据正方形的性质证明∠ADB=45°，进而得△DFG为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH=12∠EFD=45°，故①正确；
②根据矩形性质得AF=EB，∠BEF=90°，再证明△AFH≌△EGH得EH=AH，进而证明△EHF≌△AHD，故②正确；
③由△EHF≌△AHD得∠EHF=∠AHD，怀AH=EH得∠AEF+∠HEF=45°，进而得∠AEF+∠HAD=45°，故③正确；
④如图，过点H作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，设EC=FD=FG=x，则BE=AF=EG=2x，BC=DC=AB=AD=3x，HM=12x，AM=52x，HN=52x，由勾股定理得AH2，再由三角形的面积公式得S△BEHS△AHE，便可判断④的正误，
本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题．
13.【答案】5 3
【解析】解：原式=4 3−2 3+3 3=5 3，
故答案为：5 3．
首先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握计算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
14.【答案】a>−4
【解析】解：两方程相加得2x+y=9+a，
∵2x+y>5，
∴9+a>5，
则a>−4，
故答案为：a>−4．
两方程相加得2x+y=9+a，由2x+y>5，知9+a>5，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
15.【答案】± 5
【解析】解：∵ x2−4与 4−x2同时成立，
∴x2−4≥04−x2≥0故只有x2−4=0，即x=±2，
又∵x−2≠0，
∴x=−2，y=1x−2=−14，
4y−3x=−1−(−6)=5，
故4y−3x的平方根是± 5．
故答案：± 5．
要求4y−3x的平方根，一要先求出x，y的值，要求x、y的值就要根据： x2−4与 4−x2同时成立，根号里的数一定是0.依此来求x、y的值．
根据 x2−4与 4−x2同时成立，得到x的值是解答本题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=8，D为AB中点，
∴DF=12AB=AD=BD=4，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE//BC，
∵AD=DB，
∴AE=EC，
∴DE=12BC=5，
∴EF=DE−DF=5−4=1，
故答案为：1．
根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=12AB=AD=BD=4且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE//BC，进而可得DE=5，由EF=DE−DF可得答案．
本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，
根据轴对称性质可知，PN=PN′，N′为OC的中点，
∴PM−PN=PM−PN′≤MN′，
当P，M，N′三点共线时，取“=”，
过O作OE⊥BC于点E，可得BE=CE，
∵BM=6，BC=AB=8，
∴MN′为△OEC的中位线，
∴MN′//OE//AB//CD，∠CMN′=90°，
∵∠N′CM=45°，
∴△N′CM为等腰直角三角形，CM=MN′，
∵正方形边长为8，BM=6，
∴CM=BC−BM=8−6=2，
∴CM=MN′=2，
即PM−PN的最大值为2，
故答案为：2．
以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，依据PM−PN=PM−PN′≤MN′，可得当P，M，N′三点共线时，取“=”，过O作OE⊥BC于点E，即可得出MN′//OE//AB//CD，∠CMN′=90°，得到△N′CM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN′=2．
本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决即可．
18.【答案】解：(1)去分母得：3(x+1)−(4x−5)≥6，
去括号得：3x+3−4x+5≥6，
移项得：3x−4x≥6−3−5，
合并同类项得：−x≥−2，
系数化为1得：x≤2，
解集在数轴上表示出来为：
；
(2)5x+2<3(x+2)①x−12≤2x−13②，
解不等式①，得：x<2，
解不等式②，得：x≥−1，
∴不等式组解集为：−1≤x<2，
∴不等式组的整数解为−1，0，1．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式、解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集有关知识
(1)不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，问题可解
19.【答案】解：(1)原式=−2−14+3164
=−2−14+14
=−2；
(2)原式=9−4+2− 3+ 3
=7．
【解析】(1)直接利用立方根的性质以及算术平方根的定义分别化简，进而得出答案；
(2)直接利用立方根的性质以及算术平方根的定义、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】证明：连接FG、GE、EH、HF，如图所示．
∵E是四边形ABCD的边AD的中点，G是BD的中点．
∴AE=DE，DG=BG，
∴EG//AB，EG=12AB．
同理，HF//AB，HF=12AB．
∴EG//HF，EG=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF和HG互相平分．
【解析】连接FG、GE、EH、HF，EG、HF分别是△ADB、△ABC的中位线，由中位线的性质可推出EG//HF，EG=HF，此时，便可证明四边形GEHF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握三角形中位线的性质是关键．
21.【答案】
证明：(1)∵BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°．
∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四边形AEBF为矩形；
(2)∵四边形AEBF为矩形，
∴BM=MA=ME，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5
∴ME//BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵M是AB的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN//BC．
【解析】(1)由BF、BE是角平分线可得∠EBF是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形AEBF是矩形；
(2)由矩形的性质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5，可得MF//BC，进而可得△AMN∽△ABC，那么MN//BC．
综合考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；用到的知识点为：有3个角是直角的四边形是矩形；矩形的对角线平分且相等；相似三角形的对应边成比例．
22.【答案】解：(1)解不等式组1−2x<53x−12≤4，得−2
解不等式x−1≤n，得x≤n+1，
由题意得m−1=−2，n+1=3，
解得m=−1，n=2；
(2)①m=−1时，关于x的不等式组x+1>mx−1≤n的解集为−2
∴4个整数解是−1，0，1，2，
∴2≤n+1<3，
∴1≤n<2；
②n=2m时，关于x的不等式组x+1>mx−1≤n的解集为m−1
∵不等式组恰好只有4个整数解，
∴4≤m+2<5，
∴2≤m<3．
故答案为：2≤m<3．
【解析】【分析】
此题主要考查了一元一次不等式组的解法与不等式的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
(1)先求出不等式组1−2x<53x−12≤4的解集，再根据两个不等式组同解得出关于m、n的方程，即可求解；
(2)①由m=−1得出不等式组x+1>mx−1≤n的解集为−2
根据题意 得7x+8y=38010x+6y=380 解得 x=20y=30
∴A种纪念品每件进价20元，B种纪念品每件进价为30元；
(2)解：设该商店购进A种纪念品a件
根据题意 得 5a+7(40−a)≥216 解得 a≤32
∴该商店最多购进A种纪念品32件
【解析】(1)设A、B两种纪念品每件的进价分别为x元，y元，根据用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件，列方程组求解；
(2)设买A纪念品a件，根据该商店准备购进A、B两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，列出不等式，然后求出即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
24.【答案】解：(1)12(n2−1)，12(n2+1)；
(2)∵a=2m，b=m2−1，c=m2+1(m表示大于1的整数)
∴a2+b2=(2m)2+(m2−1)2
=4m2+m4−2m2+1
=m4+2m2+1
=(m2+1)2=c2，
∴a2+b2=c2
∴a、b、c为勾股数；
(3)∵弦与股的差为1，2a2+2a+1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，
∴股为2a2+2a，
∵(2a2+2a+1)2−(2a2+2a)2
=(2a2+2a+1−2a2−2a)(2a2+2a+1+2a2+2a)
=4a2+4a+1
=(2a+1)2，
∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a； 2a+1．
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股数，新定义问题，考查整式的运算，属于中档题．
(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；
(2)根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案；
(3)根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案．
【解答】
解：(1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；
故答案为：12(n2−1)，12(n2+1)；
(2)(3)见答案；
25.【答案】12017 PF−PE=12017
【解析】解：【问题解决】如图①，
∵AB=8，BC=15，
∴AC= AB2+BC2= 82+152=17，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=17，AO=CO=172，BO=DO=172，
∵S△APO+S△PDO=S△AOD，
∴12×AO×PE+12×DO×PF=14×AB×BC，
∴12×172(PE+PF)=14×8×15，
∴PE+PF=12017；
【规律应用】如图②，连接OP，
∵S△APO+S△PDO=S△AOB，
∴12×AO×PE+12×BO×PF=14×AB×BC，
∴12×172(PE+PF)=14×8×15，
∴PE+PF=12017；
故答案为：12017；
【规律探究】PF−PE=12017，理由如下：
如图③，连接OP，
∵S△APO−S△PDO=S△AOD，
∴12×AO×PF−12×DO×PE=14×AB×BC，
∴12×172(PF−PE)=14×8×15，
∴PF−PE=12017；
故答案为：PF−PE=12017．
【问题解决】通过S△AOP+S△DOP=S△AOD，便可求出PE+PF的值；
【规律应用】通过S△AOP+S△BOP=S△AOB，便可求出PE+PF的值；
【规律探究】通过S△APO−S△PDO=S△AOD，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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