精品解析：广东省深圳市龙华区龙华区高峰学校2021-2022学年九年级下学期第三次月考数学试题

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1. 的平方根是（ ）
A. ±8B. ±4C. ±2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根性质求出，再求出4的平方根即可.
【详解】∵，
∴4的平方根是±2.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键.
2. 下列各数中1.414，，，，，，，2.10110010001，无理数的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数）进行判断即可选出正确选项．
详解】有理数：1.414，，，2.10110010001；
无理数：，，，；
故选：C
【点睛】本题考查了无理数的定义，值得注意的是和无法开出的根式都属于无理数．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同类项的概念可判断A，由多项式乘以多项式可判断B，由完全平方公式可判断C，由多项式除以单项式可判断D，从而可得答案.
【详解】解：不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是合并同类项，整式的乘法运算，多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，多项式除以单项式，掌握以上基础运算是解本题的关键.
4. 如图，为圆的直径，点在的延长线上，，与圆相切，切点分别为，，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连结OC，OD，根据切线性质得出∠PCO=∠PDO=90°，先证Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），得出∠COP=∠DOP=，根据圆周角定理得出∠COD=2∠CBD，可求，利用勾股定理求即可．
【详解】解：连结OC，OD，
∵，与圆相切，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
在Rt△PCO和Rt△PDO，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴∠COP=∠DOP=，
∵∠COD=2∠CBD，
∴，
∵AB=4，
∴OA=OC=2，
在Rt△PCO中根据勾股定理，
∴．
故选择C．
【点睛】本题考查切线性质，三角形全等判定与性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，掌握切线性质，三角形全等判定与性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义是解题关键．
5. 二次函的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc>0；②4a+2b+c<0；③若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为-3，5；④3a+c=0．上述结论中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质依次判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴①错误；
∵抛物线经过点，对称轴为，
∴抛物线经过点；
∴当时，，
∴4a+2b+c>0，
∴②错误；
∵抛物线过，
∴点关于对称轴为对称的点也在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3，5，
∴③正确；
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴，
∴④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，待定系数法，二次函数与坐标轴的交点，利用特殊值代入得到特殊的式子是解题的关键．
二、填空题（共5题，每题5分，共25分）
6. 若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，则ab＝_____．
【答案】或
【解析】
【分析】根据完全平方公式的形式可知，求解即可．
【详解】解：∵x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，
∴，
解得：b＝3或﹣1，
当a＝﹣3，b＝3时，ab＝（﹣3）3＝﹣27，
当a＝﹣3，b＝﹣1时，ab＝（﹣3）﹣1，
故答案为：﹣27或．
【点睛】本题考查了完全平方公式，根据公式形式得到是解题关键．
7. 若某正多边形的一条边长是4，一个外角为45°，则该正多边形的周长为_____．
【答案】32
【解析】
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数即可得到答案．
【详解】解：∵正多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8，
∴该正多边形的周长=8×4=32，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．
8. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3又∵∠C=90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO=DO，∴矩形OECD是正方形，设EO=x，则EC=CD=x，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2故（x+2）2+（x+3）2=52，解得：x=1，∴BC=3，AC=4，∴S△ABC=×3×4=6.故答案为：6．
【点睛】本题主要考查三角形内切圆与内心，根据题意得出四边形OECF是正方形以及运用方程思维和勾股定理进行分析是解题的关键．
9. 图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于 _____．
【答案】
【解析】
【分析】连接OA、OC，根据垂径定理，C是弧AB的中点可知，OC垂直AB，∠D=30°，可知∠AOC=60°，再用三角函数关系就可以求出OE的长；
【详解】：如图，
连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，AB＝6，
∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝AE•tan30°＝3，
故圆心O到弦AB的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角圆心角的关系和三角函数关系求边长；熟练掌握圆周角与圆心角的关系和垂径定理是解决本题的关键．
10. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，则线段DH长度的最小值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠l=∠2，利用“SAS"证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O，D，H三点共线时， DH的长度最小．
【详解】解：取AB的中点O，连接OH、OD，如图：
在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
∵O为AB的中点，
∴OH＝AOAB＝3，
在Rt△AOD中，OD＝3，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝33．
故答案为：33．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等知识，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．
三、解答题（第11题6+6＝12分，第12题12分，第13题12分，第14题6+8＝14分，共50分）
11. （1）计算：﹣12018|1|；
（2）先化简，再求值：（2x﹣3）2﹣（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝cs60°．
【答案】（1）；（2）﹣2x2﹣2x+25，
【解析】
【分析】（1）运用幂的运算、二次根式、绝对值、立方根的计算法则即可得到答案；
（2）利用完全平方公式、平方差公式和整式的乘法先化简，再利用特殊角的三角函数值代入即可得到答案；
【详解】解：（1）原式＝﹣1+5﹣（1）﹣2﹣3
＝41﹣5
．
（2）原式＝4x2﹣12x+9﹣（x2﹣16）+10x﹣5x2
＝4x2﹣12x+9﹣x2+16+10x﹣5x2
＝﹣2x2﹣2x+25，
当x＝cs60°时，
原式＝﹣2225
1+25
．
【点睛】本题考查幂运算、二次根式、绝对值、立方根的计算，完全平方公式、平方差公式和特殊角的三角函数值的化简求值；掌握实数的运算法则是解决本题的关键．
12. 在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元/件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）；（2）当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
（2）设线上和线下月利润总和为w元，则w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得
解得
∴与的函数关系式为．
（2）设商家线上和线下的月利润总和为元，则可得
=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）
=-100x2+3800x-28800
=，
因为-100<0，
所以当x=19时，w有最大值，为7300，
所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式等知识；弄清题意，找准各量间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13. 如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，半径OE⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OE的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC＝2AD，AB＝10．求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，利用全等三角形的判定和性质可得，，根据切线的判定即可证明；
（2）由等腰三角形的性质可得，利用切线长定理得出，根据等边三角形的判定和性质可得，，由三角形内角和定理及直角三角形的性质可得，，根据勾股定理得出，结合图形可得阴影部分面积等于三角形面积减去扇形BOC的面积即可得．
【小问1详解】
证明：连接OC，
∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴，
∵于点D，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∴，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
小问2详解】
解：∵于点D，，
∴，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
，
．
【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，切线长定理，勾股定理解三角形，直角三角形的性质，扇形的面积公式等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
14. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．
（1）若点A（﹣4，0），点B（16，0），求C点坐标和函数关系式．
（2）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，P点坐标为（4，0）或（，0）或（0，56）或（，0）
【解析】
【分析】（1）由题意可知圆的圆心坐标为G（6，0），半径为10，则CG＝10，可求C（0，8），再将A（﹣4，0），B（16，0）代入y＝ax2+bx+8，即可求得解析式；
（2）由对称性可求出D（12，8），分四种情况讨论：①如图1，当∠CPB＝∠CDB时，△BCD∽△CBP；②如图2，当∠CDB＝∠CPB时，△BCD∽△PBC；③如图3，当P点在BD的延长线上时，△BCD∽△BPC；④如图4，当∠DCB＝∠PBC时，△BCD∽△PBC，求出点P坐标即可．
【小问1详解】
解：∵A（﹣4，0），B（16，0），
∴AB＝20，AB的中点G（6，0），
∴CG＝10，
令x＝0，则y＝c，
∴C（0，c），
∴36+c2＝100，
∴c＝±8，
∵c＞0，
∴c＝8，
∴C（0，8），
将A（﹣4，0），B（16，0）代入y＝ax2+bx+8，
∴，
解得，
∴yx2x+8；
【小问2详解】
坐标轴上存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，理由如下：
∵yx2x+8（x﹣6）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，
∵⊙G的圆心为（6，0），
∴C点与D点关于直线x＝6对称，
∴D（12，8），
∴CD＝12，
∵B（16，0），C（0，8），
∴BD＝4，BC＝8，
当P点在x轴上，BP∥CD，
∴∠BCD＝∠CBP，
①如图1，当∠CPB＝∠CDB时，△BCD∽△CBP，
∴∠DBC＝∠BCP，
∴四边形CDBP是平行四边形，
∴CD＝BP＝12，
∴P（4，0）；
②如图2，当∠CDB＝∠CPB时，△BCD∽△PBC，
∴，
∴，
∴PB，
∴P（，0）；
当P点在y轴上时，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，
∵CO⊥AB，AC⊥BC，
∴∠CAO＝∠BCO，
∴∠OCB+∠CDB＝180°，
∴∠PCB＝∠CDB，
③如图3，当P点在BD的延长线上时，△BCD∽△BPC，
∴，
∴，
∴CP＝48，
∴P（0，56）；
④如图4，当∠DCB＝∠PBC时，△BCD∽△PBC，
∴，
∴，
∴PC，
∴P（，0）；
综上所在：P点坐标为（4，0）或（，0）或（0，56）或（，0）．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，圆的性质，三角形相似的判定及性质是解题关键．