精品解析：广东省深圳市龙华区潜龙学校2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2021-2022学年广东省深圳市龙华区潜龙学校八年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1. 垃圾分类人人有责．下列垃圾分类标识是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．

【详解】A. 不是中心对称图形，不符合题意；

B.是中心对称图形，符合题意；

C. 不是中心对称图形，不符合题意；

D. 不是中心对称图形，不符合题意；

故选B

【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．

2. 已知x＞y，则下列不等式成立的是（　　）

A. 3x＜3y B. x﹣3＜y﹣3 C. ﹣2x＞﹣2y D. x+5＞y+5

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质逐项排查即可．

【详解】解：A.∵x＞y，

∴3x＞3y故本选项不符合题意；

B.∵x＞y，

∴x﹣3＞y﹣3，故本选项不符合题意；

C.∵x＞y，

∴﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意；

D.∵x＞y，

∴x+5＞y+5，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式左右两边同加（减）一个非零数，不等号的方向不变成为解答本题的关键．

3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用分解因式的定义分析即可解答．

【详解】解：A． 是整式乘法运算，故此选项错误；

B．不符合分解因式的定义，故此选项错误；

C．是分解因式，符合题意；

D．不符合分解因式定义，故此选项错误．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．

4. 已知点A（2-a，a+1）在第一象限，则a的取值范围是（     ）

A. a>2 B. -1<a<2 C. a<-1 D. a<1

【答案】B

【解析】

【分析】根据第一象限的点的横、纵坐标均大于0，建立不等式，求解可得答案.

【详解】解：因为点A在第一象限，

所以2－a＞0且a +1＞0，

解得－1＜a＜2，

故选：B.

5. 若分式的值为0，则x的值为（　　）

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】利用分式的值为零，则分子为零且分母不为零进而得出答案．

【详解】解：分式的值为0，

则，

解得：．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了分式有意义以及分式的值为零，掌握分式的值为0的条件是解题关键．

6. 如图所示，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于(   )

A. 30° B. 40° C. 45° D. 36°

【答案】D

【解析】

【详解】∵AD＝BD，

∴∠A＝∠ABD，

∴∠BDC＝2∠A，

∵BD＝BC，

∴∠C＝∠BDC＝2∠A．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝2∠A，

由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，

即∠A＝36°．

故选D

7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．

③∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD．

∴点D在AB的中垂线上．故③正确．

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，

∴CD=AD．

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．

∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD．

∴S△DAC：S△ABC．故④正确．

综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．

故选D．

8. 如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是(　　)

A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm

【答案】C

【解析】

【分析】由DE是△ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长．

【详解】解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线，

∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6（cm），

∵△ADC的周长为9cm，

即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm，

∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）．

∴△ABC的周长为15cm

故答案选C．

9. 若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　）

A. 15＜a≤18 B. 5＜a≤6 C. 15≤a＜18 D. 15≤a≤18

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a的范围即可．

【详解】解不等式组得：，即2＜x＜，

由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解为3，4，5，

∴5＜≤6，

解得：15＜a≤18，

故选：A．

【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解本题的关键．

10. 如图，在中，，，D为BC的中点，，垂足为过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论：

平分；；；；．其中正确的结论有　　

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

【答案】B

【解析】

【分析】由，推出AD是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．

易证是等腰直角三角形，故BF．

由≌，推出，由，推出，即．

在中，，易证．

由于≌，推出，推出，于，即可推出．

【详解】解：错误，

，

是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．

正确

，，

，

，

是等腰直角三角形，故BF．

正确，，，

≌，

，

，

，

．

正确在中，，

，是等腰直角三角形，

．

正确≌，

，

，

，

．

故选B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11. 化简＝__________．

【答案】

【解析】

【分析】先把分子分母分解因式化为：再约分即可.

【详解】解：

故答案为：

【点睛】本题考查的是分式的约分，熟练的把分子分母分解因式，再约去公因式是解本题的关键.

12. 命题“一个角的平分线上的点，到这个角两边的距离相等”的逆命题是：“_____”．

【答案】到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上

【解析】

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

【详解】解：命题“一个角的平分线上的点，到这个角两边的距离相等”的逆命题是：

“到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上”．

故答案为：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

【点睛】本题考查了互逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

13. 如图，在中，，，为的垂直平分线，那么_____度．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角形内角和定理及等边对等角可求得，进而根据垂直平分线的性质可得，可得，进而即可求得．

【详解】解：在中，，，

则，

因为的垂直平分线交于点D，则，

故，

．

故答案是：．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质；掌握以上知识是解题的关键．

14. 如果一次函数y =（2-m）x+m-3的图象经过第二、三、四象限，那么m的取值范围是_________．

【答案】2<m<3##

【解析】

【分析】一次函数y =（2-m）x＋m-3的图象经过第二、三、四象限，则有2-m＜0 ，m-3＜0，解不等式即可．

【详解】解：∵由一次函数y=（2-m）x+m-3的图象经过第二、三、四象限，

∴ 2-m＜0 ，m-3＜0，

解得2＜m＜3．

故答案为：

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．

15. 如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．

【答案】

【解析】

【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；

【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，

∵B（0，4），A（﹣1，0），

∴OB＝4，OA＝1，

∴OE＝3，AB＝，

作点A关于直线x＝1的对称点A'，

∴A'（3，0），AD＝A'D，

∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，

在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，

∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．

三．解答题（共7小题，满分55分）

16. 解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．

【答案】4<x≤6

【解析】

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

【详解】解：

解不等式①可得x≤6

解不等式②可得x＞4

在数轴上表示出①②的解集如图，

∴不等式组的解集为4＜x≤6．

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

17. 先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【解析】

【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可．

【详解】解：原式

，

当时，原式．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．

18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．

（1）请按下列要求画图：

①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1；

②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2．

（2）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标　   　．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）（0，﹣3）

【解析】

【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；

（2）连接B1B2，C1C2，交点就是旋转中心M．

【详解】（1）①如图所示，△A1B1C1即为所求；

②如图所示，△A2B2C2即为所求；

（2）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，

∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），

故答案为（0，﹣3）．

【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握旋转及平移的性质及网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

19. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．

（1）求证：CE＝CB；

（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．

【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．

【解析】

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；

（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．

【详解】（1）证明：∵AD＝CD，

∴∠DAC＝∠DCA，

∵AB∥CD，

∴∠DCA＝∠CAB，

∴∠DAC＝∠CAB，

∴AC是∠EAB的角平分线，

又∵CE⊥AD，CB⊥AB，

∴CE＝CB．

（2）∵AC是∠EAB的角平分线，

∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，

∵∠DCA＝∠DAC＝30°，

∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，

∵CE⊥AD，

∴∠CED＝90°，

∴∠ECD＝30°，

∵CB⊥AB，

∴∠CBA＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠CBA+∠DCB＝180°，

∴∠DCB＝90°，

∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，

∵CE＝CB＝2，

∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，

∴∠EBA＝60°，

∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，

∴△AEB是等边三角形，

∴BE＝AB；

在Rt△ABC中，

∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，

∴AC＝2BC＝4，

∴AB＝，

∴BE＝2．

【点睛】本题考查了角平分线性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．

20. 沙井中学初二年级举行的环保知识竞赛，共有道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明得分超过分，请问小明至少答对多少道题？

【答案】小明要至少答对道

【解析】

【分析】设他至少要答对x道题，根据沙井中学初二年级举行的环保知识竞赛共有道题，每一道答对得4分，答错或不答都扣1分，及小明得分要超过分，可列不等式求解．

【详解】解：设他答对x道题，得分超过分，

由题意得，，

解得：．

答：小明要至少答对道题．

【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，关键设出做对的题数，以分数作为不等量关系列不等式求解．

21. 配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．

例：已知代数式，当　   　时，它有最小值，是　   　．

解：

因为，所以．

所以当时，它有最小值，是．

参考例题，试求：

（1）填空：当　   　时，代数式有最小值，是　   　．

（2）已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？

【答案】（1）   

（2）当为时，有最小值，是

【解析】

【分析】（1）根据平方的非负性，可知当时，取最小值0，所以当时，有最小值，易求此值；

（2）先运用配方法变形，得出最小时，即，然后得出答案．

【小问1详解】

解：，

，

∴当时，它有最小值，是．

故答案：；

【小问2详解】

解：，

∴当，即时，最小，

∴当为时，有最小值，．

【点睛】本题主要考查了非负数的性质和配方法的应用，注意任意数的偶次方的最小值是0，（2）中运用配方法将变形为是解题关键．

22. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）m=　　　，n=　　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是　　　；

（4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　　　名．

【答案】（1）50，10；（2）补全条形统计图见解析；（3）72°；（4）估计“总线”专业的毕业生有180名．

【解析】

【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图的数据计算即可．

(2)先算出硬件专业的毕业生人数,再补充统计图即可．

(3)先算出软件专业的占比,再利用周角相乘即可算出圆心角．

(4)用600与总线所占比相乘即可求出．

【详解】（1）由统计图可知，，n=10．

（2）硬件专业的毕业生为人，则统计图为

（3）软件专业的毕业生对应的占比为，所对的圆心角的度数为．

（4）该公司新聘600名毕业生，“总线”专业的毕业生为名．

【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的画图和信息获取,关键在于通过图象获取有用信息．