2023-2024学年广东省深圳市龙华区玉龙学校九年级（下）段考数学试卷（3月份）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市龙华区玉龙学校九年级（下）段考数学试卷（3月份），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）中国人民银行数据显示，至2024年3月末，广义货币（M2）余额281.46万亿元．281.46万亿用科学记数法表示为（ ）
A．2.8146×1011B．2.8146×1012
C．2.8146×1013D．2.8146×1014
4．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．（a3）2＝a6B．a2﹣a＝aC．a2•a3＝a6D．a9÷a3＝a3
5．（3分）2023年2月，某区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，34，30，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．32，31B．31，32C．31，34D．31，31
6．（3分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为53°，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，设信号塔CD的高度为x米，则下列关系式中正确的是（ ）
A．sin53°＝B．cs53°＝
C．tan53°＝D．tan53°＝
8．（3分）下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中（ ）
A．对称轴是直线x＝B．当﹣1＜x＜2时，y＜0
C．a+c＝bD．a+b＞﹣c
10．（3分）如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ=3：1，则AM=（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
12．（3分）关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB=30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0），若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC=30°，则点M的坐标为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中∠BCD=90°，AD=，连接AC，BD，AB⊥BD且DB平分∠ADC，BD=2．则AC的长为 ．
三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（6分）计算：．
17．（6分）先化简：，再从﹣2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
18．（8分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ；
（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
19．（8分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D．
（1）E为BC边上一点，添一个条件，使直线DE是⊙O的一条切线，并证明；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求⊙O的直径．
21．（9分）
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
（1）如图，当E在边AD上且DE=2时，求∠AEM的度数．
（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．
2023-2024学年广东省深圳市龙华区玉龙学校九年级（下）段考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题只有一个选项正确，每小题3分，共计30分）
1．【答案】A
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
2．【答案】D
【解答】解：A．原图是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．原图是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图既是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．【答案】D
【解答】解：因为281.46万亿＝281460000000000，
所以281.46万亿用科学记数法表示为2.8146×1014．
故选：D．
4．【答案】A
【解答】解：A、（a3）2＝a3，故A符合题意；
B、a2与﹣a不属于同类项，不能合并；
C、a2•a4＝a5，故C不符合题意；
D、a9÷a5＝a6，故D不符合题意；
故选：A．
5．【答案】D
【解答】解：∵数据31出现了3次，最多，
∴众数为31，
∵排序后为：30，31，31，34，
故位于中间位置的数是31，
∴中位数是31．
故选：D．
6．【答案】A
【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
则，
故选：A．
7．【答案】C
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
则AB＝DE＝15米，AE＝BD＝25米，
∵CD＝x米，
∴CE＝CD﹣DE＝（x﹣15）米，
在Rt△ACE中，∠CAE＝53°，
∴tan53°＝＝，
故选：C．
8．【答案】C
【解答】解：A、经过直线外一点；故A正确；
B、负数的立方根是负数；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D、五边形的外角和是360°；
故选：C．
9．【答案】D
【解答】解：A、对称轴是直线x＝＝；
B、由函数图象知，函数图象在x轴的下方，
∴当﹣8＜x＜2时，y＜0；
C、由图可知：当x＝﹣5时，
∴a+c＝b，故选项C不符合题意；
D、由图可知：当x＝1时，
∴a+b＜﹣c，故选项D符合题意；
故选：D．
10．【答案】C
【解答】解：∵BQ：AQ＝3：1，
∴＝，
∵把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（8＜n＜90）得到正方形ODEF，
∴OD＝AB＝OA＝3，∠ODE＝∠OAB＝90°，
∴∠ODM＝∠QAM＝90°，
又∵∠M＝∠M，
∴△ODM∽△QAM，
∴＝＝＝，
设AM＝x，则DM＝4x，
在Rt△ODM中，由勾股定理得：
OD2+DM4＝OM2，
即37+（4x）2＝（4+x）2，
解得：x＝或0（舍去），
∴AM＝，
故选：C．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：2x2﹣2x+2，
＝2（x3﹣2x+1），
＝6（x﹣1）2．
12．【答案】x2＝﹣2．
【解答】解：设方程的另一根为x2，
∵关于x的方程2x7+mx﹣4＝0的一根为x＝6，
则1×x2＝＝﹣2，
解得x7＝﹣2．
故答案为：x2＝﹣2．
13．【答案】．
【解答】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在Rt△ABE中，AB＝6，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DGE中，DE＝2，EG＝CG，
∴EG2﹣DE5＝DG2
∴CG2﹣62＝（6﹣CG）8，
解得CG＝．
故答案为：．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（4，），
∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝4×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
设MF＝n，则OF＝n，
∴M（n，n），
∵点M在函数y＝的图象上，
∴n＝，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（，8），
故答案为（，1）．
15．【答案】．
【解答】解：过点A作AE∥CD交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥AD于点F，
∵∠BCD＝90°，
∴∠E＝∠BCD＝90°，
∴BE⊥AE，
∵AB⊥BD，BF⊥AD，BD＝2，
∴AB＝＝1，
∴，即，
∴BF＝，
∵DB平分∠ADC，
∴BC＝BE＝BF＝，∠BDC＝∠BDA，
∵∠EBA+∠DBC＝90°，∠EBA+∠BAE＝90°，
∴∠EAB＝∠BDC＝∠BDA，
∵∠E＝∠ABD＝90°，
∴△ABE∽△ADB，
∴，即，
∴AE＝，
∴AC＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝
＝﹣﹣6+8
＝．
17．【答案】﹣，﹣．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝﹣÷
＝﹣•
＝﹣，
当x＝3，2，﹣2时；
当x＝7时，原式＝﹣．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，
故答案为：108°；
（2）这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），
则及格的人数为：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：
（3）估计该校“良好”的人数为：1200×＝510（人），
故答案为：510人；
（4）画树状图如图：
共有8种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，
∴抽到两名男生的概率为＝．
19．【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；
（2）本次购买最少花费2250元．
【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，
由题意得，，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，总花费为W元，
由题意得，W＝20×3.9m+30×0.7（100﹣m）＝﹣9m+2700，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴m≤100﹣m，
∴m≤50，
∵﹣9＜5，
∴W随m增大而减小，
∴当m＝50时，W最小，
∴本次购买最少花费2250元．
20．【答案】（1）E为BC的中点，证明见解答（答案不唯一，如∠EDC＝∠A）；
（2）⊙O的直径长为．
【解答】解：（1）E为BC的中点，
证明：连接OD，则OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE＝CB，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵OD是⊙O的直径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
注：答案不唯一，如：∠EDC＝∠A．
（2）解：由（1）得DE＝CB，
∵CD＝3，DE＝，
∴CB＝2DE＝4×＝4，
∵∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∵BD＝＝＝4，
∴AC＝＝＝，
∴⊙O的直径长为．
21．【答案】任务1：抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+5；
任务2：悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣3≤x≤3；
任务3：挂7条或8条，最右边一条灯带安装点的横坐标分别为2.4和2.8，方案见解答．
【解答】解：任务1：以O为原点，以AB所在直线为x轴，
∴顶点C为（0，6），
∵抛物线过A（﹣5，0），
设抛物线的解析式为：y＝ax8+5，
把A（﹣5，6）代入解析式得：25a2+5＝3，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+7；
任务2：
∵普通货车的高度大约为2.4m，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，
∴当悬挂点的纵坐标y≥2.5+4.2+0.7＝3.2，
即悬挂点的纵坐标的最小值是6.2m，
当y＝3.5时，﹣x3+5＝3.2，
∴x＝±3，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣3≤x≤4；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯带，
∵﹣3≤x≤3，相邻两盏灯带悬挂点的水平间距均为0.4m，
∴若顶点一侧悬挂4条灯带时，0.6×4＞3，
若顶点一侧悬挂3条灯带时，0.8×7＝2.4＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3条灯带，
∵灯挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7条灯带，
∴最右边一条灯带的横坐标为：5.8×3＝7.4；
方案二：如图3，
∵若顶点一侧悬挂6条灯带时，0.4+8.8×（5﹣5）＞3，
若顶点一侧悬挂4条灯带时，5.4+0.6×（4﹣1）＜3，
∴顶点一侧最多悬挂4条灯带，
∵灯挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8条灯带，
∴最右边一条灯带的横坐标为：3.4+0.8×3＝2.6．
综上，挂7条或8条．
22．【答案】（1）90°；
（2）DE＝．MN∥BD；
（3）或．
【解答】解：（1）∵DE＝2，
∴AE＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°．
由对称性知∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝90°．
（2）如图7，∵AB＝6，
∴BD＝10，
∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，
∴CN＝2．
由对称性得，∠ENC＝∠BDC，
∴cs∠ENC＝，
得EN＝，
∴DE＝EN＝．
∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，
∴Rt△BMN≌Rt△DCB（HL），
∴∠DBC＝∠BNM，
∴MN∥BD．
（3）如图3，当E在边AD上时，点E在MN上，
∴∠BMC＝90°，
∴MC＝．
∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，
∴△BCM≌△CED（AAS），
∴DE＝MC＝．
如图4，点E在边CD上时，
∵BM＝4，BC＝8，
∴MC＝，CN＝8﹣．
∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，
∴△BMC∽△CNE，
∴，
∴EN＝，
∴DE＝EN＝．
综上所述，DE的长为或．如何确定隧道中警示灯带的安装方案？
素材1
2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽AB为10m，高OC为5m．



素材2
货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效m（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为2.5m（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm．灯带安装好后成轴对称分布．


问题解决
任务1
确定隧道形状
在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究安装范围
在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系