山东省青岛市即墨区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份山东省青岛市即墨区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
本试题共24道题．第1—10题为选择题，共30分；第11—16题为填空题，共18分；第17—24题为解答题，共72分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1．下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则下列式子错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知点在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于D．两个锐角都等于
6．如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为，．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到，则点B的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．把多项式分解因式得，则（ ）
A．B．1C．D．5
8．如图，函数和的图象相交于点，则关于的x不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A、B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．10个
10．如图，在中，，点C的坐标为，点P是OB上一动点，连接CP，将CP绕C点逆时针旋转得到线段CD，使点D恰好落在AB上，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．若等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为______．
12．不等式组的解集是，那么a的取值范围是______．
13．将点向下平移1个单位，向左平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是______．
14．如图，在中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若，的周长为38，则的周长为______．
15．如图，四边形ABCD中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转，点C的对应点与点D重合得到，若，，则AC的长度为______．
16．如图，已知等腰，，，于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有______个．
三、解答题（本题满分72分）
17．（本题满分4分）如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使腰长为b，底上的高为a（，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
18．（本题满分16分，每题4分）
分解因式：（1）（2）
解不等式（组）：（3）（4）解不等式组：，并写出其整数解．
19．（本小题6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向左平移5个单位得到，则的坐标为（______，______）；
（2）将绕点O顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标为（______，______）；
（3）若点P为y轴上一动点，求的最小值．
20．（本题满分8分）如图，“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天租用新源汽车去中山公园看樱花．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出片，关于x的函数表达式；
（2）当租车时间为多少小时，两种方案所需费用相同；
（3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合理．
21．（本题满分8分）如图，AD平分，，，垂足分别为点E，F，．
（1）求证：；
（2）如果，，求证：．
22．（本题满分10分）阅读下列材料：
材料1
将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，
（1）；（2），
材料2
因式分解：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，
再将“A”还原，得：原式．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：；②分解因式：．
23．（本题满分10分）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元．每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？
（2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元．
①求甲种服装最多购进多少件；
②利群商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？
24．（本题满分10分）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发1秒后，求的周长；
（2）当t为几秒时，AP平分；
（3）问t为何值时，为等腰三角形？
2023—2024学年度第二学期期中学业水平诊断性测试
八年级数学试题答案
一、选择题（共30分，每题3分）
二、填空题（共18分，每题3分）
三、解答题（本大题满分72分，共有9道大题）
17．（本题共16分，每题4分）
结论：即为所求
18．（本题满分16分）
解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（4）解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
∴x的整数解是0、1、2
19．（本题满分6分）
（1）
（2）画出；如图，
（3）
20．（本题满分8分）
解：（1）设方案一的收费（元）与租车时间x（小时）之间的函数关系式是，
∵点，在此函数图象上，
∴，解得，
即方案一的收费 （元）与租车时间x（小时）之间的函数关系式是
；
设方案二的收费（元）与租车时间x（小时）之间的函数关系式是，
∵点在此函数图象上，
∴，得，
即方案二的收费（元）与租车时间x（小时）之间的函数关系式是；
（2）令，
解得，
答：当x为时两种方案收费相等；
（3）由（2）中的结果和图象可得，
当时，选择方案二更合算；
当时，两种方案一样；
当时，选择方案一更合算．
21．（本题满分8分）
证明：（1）：AD平分，，，
∴，；
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵AD平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵AD平分，，，
∴，
∴．
22．（本题满分10分）
解：（1）；
（2）①令，
则原式，
所以；
②令，
则原式
，
所以原式
．
23．（本题满分10分）
解：（1）设乙种服装的进价为x元，则甲种服装的进价为元，根据题意，得
解得
∴．
答：甲种服装的进价为80元，乙种服装的进价为60元．
（2）①设计划购买m件甲种服装，则购买件乙种服装．根据题意得
解得，
答：甲种服装最多购进75件
②设总利润为W元，则
（1）当时，随m的增大而增大，故当时，W有最大值，故购进甲种服装75件，乙种服装25件才能获得最大利润；
（2）当时，所有进货方案获利相同；
（3）当时，，W随m的增大而减小，故当时，W有最大值，故购进甲种服装65件，乙种服装35件．
24．（本题满分10分）
解：（1）已知．．，由勾股定理得：，
动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，出发2秒后，则，那么，
∵，∴由勾股定理得，
∴的周长为；
（2）如图所示，过点P作于点D，
∵，∴，
∵AP平分，∴，
在与中
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
即：，解得：，
∴，∴；
（3）①若在P边AC上时，，
此时用的时间为3s，为等腰三角形；
若P边AB上时，有两种情况：
②若使，此时，用的时间为6s，
故时，为等腰三角形；
③若时，则，
∴P点在BC的垂直平分线上，且是的中位线，
∴，此时：．
④若，作于点D，此时D为BP中点
根据面积法求得的高CD为2.4cm，在中，，
所以，
所以P运动的路程为，
则用的时间为5.4s，为等腰三角形；
综上：或6s或6.5s或5.4s时，为等腰三角形．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
D
A
C
C
C
C
D
题号
11
12
13
14
15
16
答案
3cm
28
①②③④