山东省青岛市即墨区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山东省青岛市即墨区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．C．x2﹣1＝0D．
2．（3分）已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为（ ）
A．4B．3C．﹣4D．﹣3或﹣4
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，则S△DEF＝（ ）
A．9B．12C．16D．36
4．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．9.6B．0.6C．6.4D．0.4
5．（3分）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
6．（3分）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14B．11C．10D．9
7．（3分）ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF：BF等于（ ）
A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2
9．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD•AB
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF•FC．其中正确的为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．（3分）方程x2＝3x的解为： ．
12．（3分）一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 个．
13．（3分）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．
14．（3分）如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点．当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．连接EF，则线段EF的最小值是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则∠APB＝ ．
三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）
17．（4分）如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在△ABC的3条边上．你能设计出此菱形花园吗？
四、解答题（本题满分68分）
18．（14分）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x﹣1）2﹣＝0；
（2）x2﹣2x＝4；
（3）2x（x﹣3）＝3﹣x；
（4）（3x﹣2）2＝4x2﹣4x+1．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD∥EF，AF＝1，AD＝3，AE＝2．
（1）求AC的长；
（2）若AB＝9，求证：△ABC∽△ADE．
20．（6分）九年级1班近期为参加学校举办的海洋知识竞赛，决定要从A、B、C、D四名同学中随机选出2名同学参赛．
（1）请问选中B同学的概率是多少？
（2）请利用树状图或表格求出同时选中A、C两名同学的概率．
21．（6分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米．
（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
22．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，AB＝BD，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当∠A＝ °时，四边形BEDF是正方形？请证明你的结论．
23．（6分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是△ABC的三边AB、AC、BC或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点E，交边BC的延长线于点F．过点C作CG∥DF交AB于点G，则．（依据）
∴．
∴BF•AD•EC＝BD•AE•FC，即．
情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边AB，AC，BC的延长线于点D，E，F…
（1）情况①中的依据指： ．
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．
（3）如图3，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且AD：DB＝CE：EA＝4：5，连接DE并延长，交BC的延长线于点F，那么BF：CF＝ ．
24．（10分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
25．（12分）矩形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，E为DC中点，动点P从点A出发沿AB方向，向点B运动，动点Q同时以相同速度，从点B出发沿BC方向向点C运动，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒．（0＜t＜6）
（1）PQ∥AC时，求运动时间t；
（2）PQ⊥BD时，求运动时间t；
（3）当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与△QCE相似？
（4）连接PE，△PQE的面积能否达到矩形ABCD面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由．
2023-2024学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．C．x2﹣1＝0D．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、方程2x+1＝0未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，故本选项不符合题意；
C、x2﹣1＝0符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
D、是分式方程；故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（3分）已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为（ ）
A．4B．3C．﹣4D．﹣3或﹣4
【分析】根据比例线段的定义可得a：3＝（a+1）：4，进行计算即可得到答案．
【解答】解：∵四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，
∴a：3＝（a+1）：4，
即3（a+1）＝4a，
解得a＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义．
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，则S△DEF＝（ ）
A．9B．12C．16D．36
【分析】根据位似变换的性质得到BC∥EF，得到△OBC∽△OEF，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∵S△ABC＝4，
∴S△DEF＝36，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．9.6B．0.6C．6.4D．0.4
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为16×0.6＝9.6．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．（3分）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
【分析】由一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，a≠0，继而可求得a的范围．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1且a≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
6．（3分）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14B．11C．10D．9
【分析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝144，解方程即可求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，
即（1+x）2＝144，
解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），
故选：B．
【点评】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
7．（3分）ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解．
【解答】解：△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积
因此本题求解△BCP、△CDP面积和△BCD的面积即可，
S△BCP＝＝，
S△CDP＝＝，
S△BCD＝×1×1＝，
∴S△BPD＝+﹣＝．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF：BF等于（ ）
A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2
【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE：EC＝2：3可得出＝，由AB∥CD可得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质即可求出DF：BF的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE：EC＝2：3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC＝2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
9．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD•AB
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF•FC．其中正确的为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【分析】由△BPC是等边三角形和相似三角形的性质，得出PE＝PF，进而得到FC＝EB，再根据直角三角形的性质，得到，而BE＝CF，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出∠PDC＝75°，可判定②正确；由△FDN∽△CHB，得，由△BHC与△DHC同高，可知，则判定③正确，由△PED∽△DEB，得，则ED2＝PE•BE，可判定④正确．
【解答】解：∵△BPC为等边三角形，
∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，
∵FE∥BC，
∴△FEP∽△CPB，
∴，
∴PE＝PF，
∴FC＝EB，
∵∠PBC＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，
∵∠ABE＝30°，
∴，
又∵BE＝FC，
∴，
故①正确；
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，
故②正确；
∵FD∥BC，
∴△FDH∽△CBH，
∴，
又∵△BHC与△DHC同高，
∴，
又∵，∠FCD＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴，
故③正确；
∵∠EPD＝180°﹣∠EPF﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣75°＝45°＝∠ADB，∠PED＝∠PED，
∴△PED∽△DEB，
∴，
∴ED2＝PE•BE，
又∵PE＝PF，BE＝FC，
∴DE2＝PF•FC，
故④正确，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．（3分）方程x2＝3x的解为： x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
【解答】解：移项得：x2﹣3x＝0，
即x（x﹣3）＝0，
于是得：x＝0或x﹣3＝0．
则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．
12．（3分）一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 12 个．
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【解答】解：估计这个口袋中红球的数量为20×＝12（个），
故答案为：12．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
13．（3分）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 （10﹣10） 米．
【分析】由黄金分割点的定义得AC＝AB，再代入AB的长计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝20米，
∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），
故答案为：（10﹣10）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
14．（3分）如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点．当四边形ABCD的边至少满足 AB＝CD 条件时，四边形EFGH是菱形．
【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF＝AB，HG∥AB，HG＝AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB＝CD后，证明EF＝EH即可．
【解答】解：需添加条件AB＝CD．
∵E，F是AD，DB中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∵H，G是AC，BC中点，
∴HG∥AB，HG＝AB，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E，H是AD，AC中点，
∴EH＝CD，
∵AB＝CD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：AB＝CD．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．连接EF，则线段EF的最小值是 ．
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
即×12×5＝×13•CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则∠APB＝ 75° ．
【分析】连接AG，如图，由作法得EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质可证明△ABG为等边三角形，则∠ABG＝60°，然后根据三角形内角和可计算出∠APB的度数．
【解答】解：连接AG，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴GA＝GB，
∵BG＝BA，
∴AB＝BG＝AG，
∴△ABG为等边三角形，
∴∠ABG＝60°，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质．
三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）
17．（4分）如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在△ABC的3条边上．你能设计出此菱形花园吗？
【分析】首先作∠B的角平分线交AC于点D，再过点D分别作DE∥BC，DF∥AB，交BC于点F，AB于点E，则四边形BEDF为所求菱形．
【解答】解：如图所示：四边形BEDF为所求菱形．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，用到的知识点有角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质以及菱形的判定，熟记菱形的各种判定方法是解题关键．
四、解答题（本题满分68分）
18．（14分）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x﹣1）2﹣＝0；
（2）x2﹣2x＝4；
（3）2x（x﹣3）＝3﹣x；
（4）（3x﹣2）2＝4x2﹣4x+1．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法去即可；
（3）整理后，利用因式分解法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2﹣＝0，
（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝，x2＝﹣．
（2）x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（3）2x（x﹣3）＝3﹣x，
2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或2x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣．
（4）（3x﹣2）2＝4x2﹣4x+1，
（3x﹣2）2﹣（2x﹣1）2＝0，
[（3x﹣2）+（2x﹣1）][（3x﹣2）﹣（2x﹣1）]＝0，
∴5x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD∥EF，AF＝1，AD＝3，AE＝2．
（1）求AC的长；
（2）若AB＝9，求证：△ABC∽△ADE．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到AF：AD＝AE：AC，代入有关数据即可求出AC＝6；
（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，由此即可证明问题．
【解答】（1）解：∵CD∥EF，
∴AF：AD＝AE：AC，
∵AF＝1，AD＝3，AE＝2，
∴1：3＝2：AC，
∴AC＝6；
（2）证明：∵AD＝3，AB＝9，AE＝2，AC＝6，
∴AD：AB＝AE：AC，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE．
【点评】本题考查相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理，关键是由CD∥EF，得到AF：AD＝AE：AC；证明AD：AB＝AE：AC．
20．（6分）九年级1班近期为参加学校举办的海洋知识竞赛，决定要从A、B、C、D四名同学中随机选出2名同学参赛．
（1）请问选中B同学的概率是多少？
（2）请利用树状图或表格求出同时选中A、C两名同学的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选中B同学的结果有6种，同时选中A、C两名向学的结果有两种，
（1）选中B同学的概率是；
（2）A、C两名同学被选中的概率为：．
【点评】此题主要考查了用树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键．
21．（6分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米．
（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
【分析】（1）设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；
（2）根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：（1）依题意得，BC＝100﹣4x．
则y＝（100﹣4x）x．
（2）设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5，舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：当x的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，AB＝BD，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BEDF是正方形？请证明你的结论．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据线段中点的定义得到DF＝，推出四边形BEDF是平行四边形，得到四边形BEDF是矩形，根据等腰直角三角形的性质得到BF＝DF＝AD，于是得到四边形BEDF是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵AB＝BD，
∴CD＝BD，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴BF⊥AD，DE⊥BC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
在△ABF与△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BEDF是正方形，
证明：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴DF＝，
∵AD＝BC，
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∵∠A＝45°，AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∴BF＝DF＝AD，
∴四边形BEDF是正方形，
故答案为：45．
【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
23．（6分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是△ABC的三边AB、AC、BC或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点E，交边BC的延长线于点F．过点C作CG∥DF交AB于点G，则．（依据）
∴．
∴BF•AD•EC＝BD•AE•FC，即．
情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边AB，AC，BC的延长线于点D，E，F…
（1）情况①中的依据指： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ．
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．
（3）如图3，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且AD：DB＝CE：EA＝4：5，连接DE并延长，交BC的延长线于点F，那么BF：CF＝ 25：16 ．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）如图2中，过点C作CG∥DF交AB的延长线于点G．模仿情况①的方法解决问题即可．
（3）利用结论解决问题即可．
【解答】解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
（2）证明：过点C作CG∥DF交AB的延长线于点G，
则，
∴，
∴BF•AD•EC＝BD•AE•FC，即；
（3）如图3中，∵，AD：DB＝CE：EA＝4：5，
∴BF：CF＝25：16．
故答案为：25：16．
【点评】本题考查梅涅劳斯定理与塞瓦定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（10分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
整理得：y2﹣41y+420＝0，
解得：y1＝20，y2＝21．
∵让顾客获得最大优惠，
∴y＝20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
25．（12分）矩形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，E为DC中点，动点P从点A出发沿AB方向，向点B运动，动点Q同时以相同速度，从点B出发沿BC方向向点C运动，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒．（0＜t＜6）
（1）PQ∥AC时，求运动时间t；
（2）PQ⊥BD时，求运动时间t；
（3）当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与△QCE相似？
（4）连接PE，△PQE的面积能否达到矩形ABCD面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理构建方程求解；
（2）由tan∠BPQ＝tan∠ADB，可得＝，由此构建方程求解即可；
（3）分两种情形：①当＝，满足条件②当＝，满足条件，分别构建方程求解；
（4）依据△PQE的面积是矩形ABCD面积的三分之一构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵PQ∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝；
（2）当PQ⊥BD时，∠BPQ＝∠ADB，
∴tan∠BPQ＝tan∠ADB，
∴＝，
∴＝，
∴t＝，
经检验t＝是分式方程的解．
∴PQ⊥BD时，运动时间t＝；
（3）∵△PBQ与△QCE相似，
∴有两种情形：
①当＝，即＝，
解得t＝2或9．
经检验t＝2或9是分式方程的解，t＝9不符合题意舍去，
∴t＝2．
②当＝，即＝，
解得t＝，
经检验t＝是分式方程的解，t＝不符合题意舍去，
∴t＝．
综上所述，满足条件的t的值为2或．
（4）△PQE的面积能达到矩形ABCD面积的三分之一．理由如下：
如图，
连接PE．由题意×（6﹣t+3）×8﹣×t×（6﹣t）﹣×3×（8﹣t）＝×6×8，
整理得t2﹣11t+16＝0，
解得t＝或（舍去）．
∴满足条件的t的值为．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．