2022-2023学年广东省清远市四校高一上学期联合学业质量检测数学试题

2025届高一级第一学期“四校”联合学业质量监测

数  学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．   B．  C．  D．

2．已知命题p：“，”，则命题p的否定为

A．，       B．，

C．，       D．，

3．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是

A．    B．    C．    D．

4．已知（且，且），则函数与的图象可能是

A． B． C． D．

5．区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域．在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1024B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行次运算．现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（参考数据：，）

A．  B．  C．  D．

6．偶函数的定义域为R，且对于任意，，均有成立，若，则实数a的取值范围为

A．    B． C．    D．

7．已知幂函数的图象经过点与点，若，，，则

A．   B．    C．    D．

8．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．已知不等式的解集为，则以下选项正确的有

A．          B．

C．的解集为   D．的解集为

10．下列说法正确的有

A．若，则的最大值是

B．若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3

C．若，，，则的最小值是2

D．若，，，则的最小值是4

11．给定函数，，表示，中的较小者，记为，则

A．         B．函数的定义域为

C．函数的值域为      D．函数的单调区间有3个

12．已知函数的定义域是，且，当时，，则下列说法正确的是

A．

B．函数在上是减函数

C．

D．不等式的解集为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则．

14．函数的单调递增区间为．

15．已知．若的值域为R，则实数m的取值范围是．

16．设函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

（1）计算；

（2）若，求的值．

18．（本小题满分12分）

已知集合，，全集．

（1）若，求，；

（2）若，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知函数，且为奇函数．

（1）求b，然后判断函数的单调性并用定义加以证明；

（2）若恒成立，求实数k的取值范围．

20．（本小题满分12分）

函数．

（1）若的最小值为0，求a的值；

（2）对于集合，若任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分12分）

随着网络经济的到来，购买商品的方式和策略也是多种多样，当然不同的购物策略所获得的优惠也各不一样．小明同学做了一个数学实验，两次购买同一种学习用品，采取两种不同的策略，实验一是不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；实验二是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．请你协助小明完成实验的结论：哪种购物方式比较经济？请写出推理，证明过程．

22．（本小题满分12分）

已知函数，其反函数为．

（1）定义在的函数，求的最小值；

（2）设函数的定义域为D，若有，且满足，我们称函数为“奇点函数”．已知函数为其定义域上的“奇点函数”，求实数m的取值范围．

2025届高一级第一学期“四校”联合学业质量监测·数学

参考答案、提示及评分细则

1．D

由得，所以，故选D．

2．B

根据特称命题的否定是全称命题，可得命题p:“，有成立”的否定是“，有成立”，故选B．

3．A

由得，由题意得，则且，解得，故选A．

4．B

，即为，即有．当时，，函数与均为减函数，四个图象均不满足，当时，函数与均为增函数，排除ACD．在同一坐标系中的图象可能是B．故选B．

5．A

设计算机在一般状态下破译该密码所需的时间为x秒，则有，两边取常用对数，得，所以，故选A．

6．B

偶函数的定义域为R，且对于任意，均有成立，所以在单调递减，则在单调递增，因为，所以，所以，化简得，解得或，即．故选：B．

7．C

设，因为幂函数的图象经过点与点，所以，，解得，，所以，，，所以．故选C．

8．D

由方程有四个不同的实数根，

得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．

由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．

设与交点的横坐标为，，设，则，，

由得，所以，即

设与的交点的横坐标为，，

设，则，，且，

所以，

则．故选D．

9．AD

∵不等式的解集为，

∴根据一元二次不等式解法可知，且，，

∴，

故由上可知A正确，B错误；

由，可知：将，代入，

得，

由可得，解得或，

故的解集为，C错误，D正确；故选AD．

10．ABD

由题设，则，当且仅当，即时等号成立，A正确；

由，则，且，

令，则，，

所以原式为，当且仅当，

即时等号成立，B正确；

由且，，则，

故，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值是4，C错误；

由题设，则，

又，当且仅当时等号成立，

所以，D正确．故选ABD．

11．ABD

当时，，，故，A正确；

作出函数，的图象，可得到的图象如图（实线部分）所示．

函数的定义域为，B正确；

函数的值域为，故C错误；

函数的单调区间有，，，故D正确，

故选ABD．

12．ABD

对于A，令，得，所以，故A正确；

对于B，，得，所以，

任取，，且，则，

因为，所以，所以，

所以在上是减函数，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，因为，且，

所以，

所以，

所以等价于，

又在上是减函数，且，

所以，

解得，故D正确，故选ABD．

13．

函数是定义在R上的奇函数，可得；

当时，；

当时，，，

又，可得时，．

所以．

故答案为．

14．

由得或，即函数的定义域为，

因为，且在上为增函数，

所以函数的单调递增区间为．

故答案为：．

15．

因为的值域为R，所以有解，

则，解得所以实数m的取值范围是．

故答案为：．

16．

因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域为，

由复合函数单调性可知函数在上是增函数，

所以，则，即，

所以方程有两个不等的实根，

今，则，所以方程变为：．

则，解得，

所以实数t的取值范围是．

故答案为：．

17．解：

（1）原式．

（2）∵，

∴，

∴．

18．解：

（1）将代入集合A中的不等式得，

∵，

∴，，则．

（2）∵，，因为，所以A不是空集，因为，所以，解得，所以实数a的取值范围为．

19．解：

（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，；经检验时．

设，，且，

则．

因为，所以，，，

所以，所以，所以在上是增函数；

（2）依题意为奇函数，又由（1）知在上是增函数，由，得，

所以，即，

解得．

所以实数k的取值范围是．

20．解：

（1）∵函数的值域，所以，解得．

（2）由题意可知．

函数图象开口向上，对称轴为直线．

①当时，函数在上为增函数，，

∴，此时；

②当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，

，，

∴，此时；

③当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，

，，

∴，此时；

④当时，在上减函数，

∴，，

∴，此时．

综上所述，实数a的取值范围是．

21．解：

实验一：

设第一次购物时的价格为，购买数量为n，第二次购物时的价格为，购买数量为n，两次购物的平均价格为；

实验二：

第一次购买的金额为m，购买物品的数量为，第二次购买的金额为m，购买物品的数量为，两次购物的平均价格为．

又．

所以实验一的平均价格大于或等于实验二的平均价格，因而用第二种策略比较经济，一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济．

22．解：

（1）由题意得，所以，．

令，，设，，则为开口向上，对称轴为的抛物线，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．

（2）①设在上存在满足“奇点函数”性质，则．

令，则，

当且仅当时取等号，又，

所以，即，

所以，

所以，

所以；

②设在存在满足“奇点函数”性质，则，即有解，

因为在上单调递减，

所以；

同理当在存在满足“奇点函数”性质时，

解得；

所以实数m的取值范围．