数学选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理授课课件ppt

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同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：
这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．问题　你能利用上述规律写出下一行的数值吗？提示　根据规律下一行的数值分别是：1　7　21　35　35　21　7　1.
探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.
(a＋b)1(a＋b)2(a＋b)3(a＋b)4(a＋b)5(a＋b)6
(1)每行两端的数都是1；(2)与两端等距离的项的系数相等；(3)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等.
下面从函数角度分析二项式系数：
由此我们可得二项式系数有以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
2. 增减性与最大值
所以在中间项取得最大值.
问题：当n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？
∵二项展开式共有n+1项，∴当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值
3. 各二项式系数的和
例3 求证：在 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
性质2：增减性与最值
性质3：二项式系数之和
例2 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R).(1)求a0的值；(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值.
题型二　二项展开式的系数的和问题
解　∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，(1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1.(2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
迁移1 若本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|.
解　∵(1－2x)2 023的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 023|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023.令x＝－1，得32 023＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023，故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＝32 023.
迁移2 若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解　分别令x＝－1，x＝1，
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
题型三　二项式系数性质的应用
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
解　令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992，∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，
(2)求展开式中系数最大的项.
假设Tk＋1项系数最大，
∴展开式中系数最大的项为
(1)求二项式系数最大的项；
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
解　设第r＋1项系数的绝对值最大，
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
解　由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.
创新设计习题讲解 ——分层精练
解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，