湖南省株洲市天元区白鹤学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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温馨提示：
答题卡上填写好自己的姓名和座位号；只交答题卡，别忘记正确填涂选择题哦！
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程一定是关于x，y的二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项次数均是1的整式方程．根据二元一次方程的定义判断．
【详解】解：A. ，是二元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，是二元一次方程，故该选项正确，符合题意；
D. ，当时，是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
依次利用合并同类项法则，幂的乘方，完全平方公式进行逐一判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、与5不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（ ）
A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的值．
【详解】解：解：因为9个数据从小到大排列后第5个数是这9个数的中位数，知道中位数，然后与自己的成绩比较，就知道能否进入前5．
故选：C．
【点睛】考查中位数、众数、平均数反映一组数据的特征，中位数反映之间位置的数，说明比它大的占一半，比它小的占一半；众数是出现次数最多的数，平均数反映一组数据的平均水平和集中趋势，理解意义是正确判断的前提．
4. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的式子是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式符合，进行逐一判断即可．
详解】解：A. ，不能用平方差公式因式分解，故该选项不符合题意；
B. ，能用平方差公式因式分解，故该选项符合题意；
C. ，不能用平方差公式因式分解，故该选项不符合题意；
D. ，不能用平方差公式因式分解，故该选项不符合题意；
故选：B．
5. 如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A. 5B. C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方式的定义和结构，，像满足这样的形式的代数式叫完全平方式，所以，进而求出的值．
【详解】根据完全平方式的结构，把写出完全平方式结构；
即；
∴；
故选：D．
6. 如果是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是二元一次方程的解，将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解，
∴
解得：，
故选：D．
7. 下列化简或因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式，因式分解；根据乘法公式进行逐一判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
8. 今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，据此可列方程组求解．
【详解】设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是
故选C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确分析找准等量关系是解题的关键．
9. 如果因式分解：，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，完全平方公式的变形求值，根据题意得得出，进而根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
故选：A．
10. 从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
【详解】解：图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，
∵两图中阴影部分的面积相等，
，
∴可以验证成立的公式为，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 已知，请用表示为______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查二元一次方程的解，移项即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 整式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
利用提取公因式法即可解决问题．
详解】解：原式，
故答案为：．
13. 二元一次方程的正整数解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解．根据二元一次方程的解的定义，可得出1组一元一次方程的正整数解．
【详解】解：当时，，
∴二元一次方程的正整数解为，
故答案为：．
14. 若是关于x，y的二元一次方程，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义：“含有两个未知数，并且含未知数项的次数为1的整式方程叫二元一次方程”．
根据二元一次方程的概念即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故答案为：2．
15. 若分解因式：，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵
∴，
故答案为：．
16. 标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差是，则其标准差为，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3．
已知：一组数据的方差计算公式为：．现给定一组数据：，，，，，则这组数据的标准差为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求方差，标准差，根据方差公式进行计算，进而求得标准差，即可求解．
【详解】解：一组数据：，，，，，平均数为：，
∴
∴标准差为
故答案为：．
17. 中国梦正式提出于2012年11月29日．习近平总书记在中国国家博物馆参观《复兴之路》展览时，首次提出了“中国梦”这个概念并加以阐释：“大家都在讨论中国梦，我以为，实现中华民族伟大复兴，就是中华民族近代以来最伟大的梦想．”实现中国梦，分三个阶段，其中第二阶段是，从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，奋斗十五年，基本实现社会主义现代化．若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质；根据题意得出，代入，即可求解．
【详解】解：∵
∴
解得：
∴，
故答案为：．
18. 已知关于x，y的方程组的解为，（其中a，b，c，d，m，n都是已知数），则关于x，y的方程组的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把看作一个整体，则两个方程同解，即可求解．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于x，y的方程组的解为
解得：
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19. 解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：，
由得：，解得：；
把代入①得：，解得：；
∴方程组的解为： ；
【小问2详解】
解：，
由得：；
把代入①得：，解得：；
∴方程组的解为： ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．
20. 计算下列各式，其中（2）的最后结果请用科学记数法表示：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解的应用，幂的混合运算，科学记数法；
（1）根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据积乘方，同底数幂的乘法，进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
21. 把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解；
（1）根据完全平方公式因式分解，即可求解；
（2）根据平方差公式因式分解，即可求解；
（3）提公因式，再提公因式，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
22. （1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算．
（1）根据多项式乘以单项式进行计算即可；
（2）根据完全平方公式，平方差公式化简，代值计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式
23. 已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
（1）求出原题中a和b的正确值是多少？
（2）求这个方程组的正确解是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）甲同学看错了a，但是所得的方程组的解是满足方程②，乙同学看错了b，但是所得的方程组的解满足①，由此得到关于a，b的方程；
（2）根据（1）所求得到原方程组为，利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得原方程组为，
用得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意得到关于a，b的方程是解题的关键．
24. 某天，一蔬菜经营户用元从蔬菜批发市场购进西红柿和豆角共，到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价、零售价（单位：元）如下表所示：
问他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
【答案】他当天卖完这些西红柿和豆角能赚元
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，设西红柿的重量是，豆角的重量是，通过理解题意可知本题的两个等量关系，西红柿的重量豆角的重量，西红柿的重量豆角的重量，根据这两个等量关系可列出方程组．再根据利润零售价批发价重量求得结果．
【详解】解：设西红柿的重量是，豆角的重量是，，
依题意有，
解得，
∴当天卖完这些西红柿和豆角能赚的钱为：(元)，
答：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚元．
25. 阅读理解：
若满足，求的值．聪明的小明这样解答：
解：设，则、，
原题相当于求的值．
．
解决问题：
（1）若满足．则______．
（2）若满足，求的值；
（3）如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为______平方单位．
【答案】（1）10 （2）8
（3）384
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键．
（1）根据题目提供的方法，进行计算即可；
（2）根据题意可得，，，将化成的形式，代入求值即可；
（3）根据题意可得，，即，根据（1）中提供的方法，求出的结果就是阴影部分的面积．
【小问1详解】
解：设，，
则，，
，
，
，
的值为，
故答案为：10．
【小问2详解】
解：设，，
∴，
由得：，
∵,
∴，
解得：，
即，
【小问3详解】
解：由题意得，，，
长方形的面积为160，
，
阴影部分的面积为，
设，，
则，，
，
，
；
故答案为：384．
品名
批发价
零售价
西红柿
豆角