广东省梅州市大埔县虎山中学2023-2024学年高一下学期4月期中教学质量检测数学试题
展开(考试时间:120分钟 试卷满分:150分 命题人:高一备课组)
一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1. 如果复数是纯虚数,则实数的值为( )
A. 2或3B. 0或3C. 0D. 2
2. 已知是第四象限角,且,则( )
A. B. C. D. 7
3. 已知平面向量,,若,则( )
A. B. 0C. D.
4.已知|a|=1,|b|=2,|2a-b|=4,则a与b夹角的余弦值为( )
A.1B.-12C.0D.-1
5. 下列函数中,以为周期且在上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
6. 已知为单位向量,,向量的夹角为,则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7. 在中,若,,则等于( )
A. B. C. D.
8.中,已知,且,则是( )
A.三边互不相等的三角形B.等边三角形
C.等腰直角三角形D.顶角为钝角的等腰三角形
二、多项选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分,全选对得6分,有选错得0分)
9. 下列三角式中,值为1的是( )
A B.
C. D.
10. 下列说法中错误的为( )
A. 已知,且与夹角为锐角,则λ的取值范围是
B. 已知,不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若与平行,则在方向上的投影向量的模为
D. 若非零,满足,则与的夹角是60°
11. 已知函数,()的部分图象如图所示,将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列关于函数的说法正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 图象关于点成中心对称
三、填空题:(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.复数____.
13.直观图四边形是一个底角为,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是 .
14. 在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三条边长求三角形面积,若三角形的三边长为,,,其面积,这里.已知在中,,,则面积的最大值为__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题13分)已知函数,记集合为的定义域,.
(1)化简集合,,并求;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)当,求函数的值域.
16.(本题15分)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ac=a2+b2-c2b2,且a≠c.
(1)求证:B=2C;
(2)若∠ABC的平分线交AC于D,且a=12,求线段BD的长度的取值范围.
17.(本题15分)已知坐标平面内,,,,.
(1)当,,三点共线时,求的值;
(2)当取最小值时,求的坐标,并求的值.
18.(本题17分)已知的内角A,B,C的对边为a,b,c,且.
(1)求;
(2)若的面积为;
①已知E为BC的中点,求底边BC上中线AE长的最小值;
②求内角A的角平分线AD长的最大值.
19. (本题17分)已知为坐标原点,对于函数,称向量为函数的伴随向量,同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数,试求的伴随向量;
(2)记向量的伴随函数为,求当且时,的值;
(3)已知将(2)中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象,若存在,使成立,求a的取值范围.
虎山中学2023-2024学年度高一第二学期期中教学质量检测2024.04
数学试题(答案)
一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1-4: D A A D 5-8:A B D C
二、多项选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分)
9.ABC 10.AD 11.AC
三、填空题:(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12. 13. 14.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(1)由不等式,
即,由可得,解得,即,
或,所以;(4分)
(2)由(1)可得的定义域关于原点对称,
又有,所以为奇函数;(8分)
(3)因为,令,
易知在上单调递增,所以,又在上递减,
所以函数的值域是.(13分)
16.(15分)(1)证明:由余弦定理可得
ac=2abcsCb2=2acsCb
故b=2ccsC,由正弦定理得sinB=2sinCcsC=sin2C.
所以在△ABC中,B=2C或B+2C=π.
若B+2C=π,又B+A+C=π,故A=C,因为a≠c,所以A≠C,故B+2C=π.不满足题意,
舍去,所以B=2C.(7分)
(2)在△BCD中,由正弦定理可得
asin∠BDC=BDsinC
即
12sin∠BDC=BDsinC
所以
BD=12sinCsin∠BDC=12sinCsin2C=6csC
因为△ABC是锐角三角形,且B=2C,
所0
17.(15分)解:(1)∵,,,,
∴,,
∴,
当,,三点共线时,有,,解得.(7分)
(2)∵,,
∴,
∴当时,取得最小值,此时,
∴,,,,
∴..(15分)
18.(17分)解:(1)由正弦定理,得,即,
故,因为,所以,
所以;.(4分)
(2)①由(1)知,
因为的面积为,所以,解得,由于,所以
当且仅当时,等号取得到,所以;(10分)
②因为为角的角平分线,所以,由于,
所以,
由于,所以,
由于,
又,所以
由于,当且仅当时,等号取得到,
故,故,.(17分)
19.(17分)解:(1)
,
所以..(4分)
(2)依题意,
由得,
,所以,
所以(10分)
(3)将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,得,
再把整个图象向右平移个单位长度,得,
所以,
若,则,所以
令,则可化为,
即,因为函数是开口向上,对称轴为的二次函数,
所以时,函数单调递减;时,函数单调递增,
所以,又当时,;当时,,
所以;因为存在,使成立,
所以存在使成立,因此只需. (17分)
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