广东省梅州市大埔县虎山中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份广东省梅州市大埔县虎山中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.，已知数列满足，，则，已知函数的导函数为，且满足，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A．或 B． C． D．或
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C．D．
3．已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．2D．1
5．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．B．-1C．D．0
6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
7．设椭圆的左、右焦点分别为，，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．的单调递增区间为
C．的极小值为2 D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
10．已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．在轴上的截距为 B．恒过定点
C．若，则或 D．若，则
11．已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A．P点到轴的距离为B．
C．△的周长为D．△的内切圆半径为
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 .
13．设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 .
14．已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知圆C经过，两点和坐标原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程．
16．（15分）已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直．
（1）求l的方程；
（2）求的极值．
17．（15分）如图，在三棱台中，平面，且为中点．

（1）证明：平面；
（2）若，求此时平面和平面所成角的余弦值．
18．（17分）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在有一个零点，求的值．
19．（17分）已知双曲线W:2x2-2y2=1与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点相同，点P是W和C在第一象限的公共点，记W的左，右焦点依次为F1，F2，PF2=22．
（1）求C的标准方程；
（2）设点Q在C上且在第一象限，QF1，QF2的延长线分别交C于点E1，E2，设r1，r2分别为△QF1E2，△QF2E1的内切圆半径，求r1-r2的最大值．

虎山中学高二下学期第一次段考（数学）参考答案
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
（13分）
解：（1）由题意可知，
所以圆C是以，中点为圆心，为半径的圆，
所以圆C的方程为.
（2）因为垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，
所以不妨设满足题意的方程为，
所以圆心到该直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为或
16.（15分）
解：（1）由函数，可得，
因为曲线在点处的切线l与直线相互垂直，
可得，解得，所以
又因为，
故所求切线方程为，即．
（2）由（1）可知，，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，
故的极大值为，
极小值为．
17.（15分）
解：（1）因为平面平面，所以.
又因为为中点，所以，
又，且平面，
所以平面；
（2）依题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
所以，可取，则，
又易知平面的一个法向量为，
设平面和平面所成角为，
则，
故平面和平面所成角的余弦值为.
（17分）
解：（1）当时，，，则，
令，则，
令，解得.
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，当，有最小值为，
即，即，
所以在上单调递增，
所以，命题得证.
（2）若在有一个零点，则方程在上有一个解，
即在上有一个解，
令，，
则，
由得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以时，，
所以.
（17分）
解：（1）双曲线方程为x212-y212=1，
由椭圆和双曲线定义可得PF1+PF2=2a，PF1-PF2=2，
又PF2=22，故PF1=322，a=2，
又因为a2-b2=1，所以b=1，
则椭圆的标准方程为x22+y2=1;
（2）设Qx0,y0，E1x1,y1，E2x2,y2，显然x0>0，y0>0，y1<0，y2<0，
由椭圆定义知：△QF1E2，△QF2E1的周长均为l=42，

所以r1=2SΔQF1E2l=F1F2y0-y2l=y0-y222，同理r2=y0-y122，
所以r1-r2=y1-y222，
设直线QF1:x=my-1，m=x0+1y0，
将直线QF1方程代入椭圆C的方程x22+y2=1得：m2+2y2-2my-1=0，
所以y0y1=-1m2+2=-1(x0+1y0)2+2=-y02x02+2x0+1+2y02=-y023+2x0，即y1=-y03+2x0，同理y2=-y03-2x0，
所以r1-r2=y1-y222=2x0y09-4x02=2x0y0x022+9y02≤2x0y02x022×9y02=13，当且仅当x0=355，y0=1010时等号成立．
所以r1-r2的最大值为13．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
D
B
A
B
D
C
9
10
11
AD
ABD
ACD
12
13
14
(0,1)