广东省梅州市大埔县大埔县虎山中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题

这是一份广东省梅州市大埔县大埔县虎山中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题，共8页。试卷主要包含了下列各式正确的是，集合{}用列举法表示为，集合的真子集的个数是，估算27+3的值在，在R上定义运算⊙等内容，欢迎下载使用。

虎山中学2023-2024学年度高一第一学期摸底考试数学试题2023.09
(考试时间120分钟 总分150分)

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的,请把答案涂在答题卡上．
1.下列各式正确的是(　　)
A．a6÷a2＝a3 B．3x-2=13x2 C．13-2=3+2 D．a-1a=--a
2.集合{}用列举法表示为（ ）
A．{0，1，2，3，4} B. {1，2，3，4}
C. {0，1，2，3，4，5} D. {1，2，3，4，5}
3.集合的真子集的个数是（ ）
A.15 B.8 C.7 D.4
4.估算27+3的值在(　　)
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
5.对于反比例函数y=kx，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有(　　)
A．最小值y=-12 B．最小值y＝﹣1 C．最大值y=-12 D．最大值y＝﹣1
6.已知关于x的不等式xa<6的解也是不等式2x-5a3>a2-1的解，则a的取值范围是(　　)
A．a⩾-611 B．a>-611 C．-611⩽a<0 D．以上都不正确
7.满足|x﹣2|+|x+1|＝3的x的个数为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．多于3个
8.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )
A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分,请把答案涂在答题卡上．
9.已知集合A={x|x2-2x=0}，则有(　　)
A．∅⊆A B．-2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3}
10. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是　　





A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
11.如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点(3，0)的右侧，直线y＝﹣12x+c经过A、B两点．下列选项正确的是(　　)
A．c＞32
B．抛物线与x轴的另一个交点在0与﹣1之间
C．﹣12＜a＜0
D．3a+2b+c＞0

12. 如图，在矩形中，为中点，过点且，分别交于，交于，点是中点，，则选项正确的是　　
A． B．
C．是等边三角形 D．
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分,请把答案填在答题卡上．
13.方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且1x1+1x2=-3，则m＝　 　．
14.分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝　 　．
15.求使不等式有解的的取值范围______．
16.设数集，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是 。
四.解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请把答题填在答题卡上．
17.（10分）先化简，再求值：x2-3x-1-2÷1x-1，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．

18．（12分）如图，集合A，B都是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．
若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，求A*B.



19.（12分）河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2．





(1)田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
(2)请把图2的条形统计图补充完整．
(3)若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生．现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率．

20.（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1．(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．




21.（12分）已知A=，B＝．
(1)若，求的取值；(2)若，求的取值范围．

22.（12分）已知二次函数y＝x2﹣(m+2)x+3，
(1)设函数y＝x2﹣(m+2)x+3在1≤x≤2范围内的最大值为M，最小值为N，且M﹣N≤2，求实数m的取值范围；
(2)已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+3＝﹣(2m+1)x+2在0≤x≤2范围内有解，求实数m的取值范围．

虎山中学2023-2024学年度高一第一学期摸底考试数学参考答案
(考试时间120分钟 总分150分)
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的,请把答案涂在答题卡上．
1.下列各式正确的是(　　)
A．a6÷a2＝a3 B．3x-2=13x2 C．13-2=3+2 D．a-1a=--a
【解析】A、原式＝a4，所以A选项错误；
B、原式=3x2，所以B选项错误；
C、原式=-(3+2)=-3-2，所以C选项错误；
D、a＜0，原式=-(-a)2×-1a=--a，所以D选项正确．
2.集合{}用列举法表示为（ B ）
A．{0，1，2，3，4} B. {1，2，3，4} C. {0，1，2，3，4，5} D. {1，2，3，4，5}
3.集合的真子集的个数是（ C ）
A.15 B.8 C.7 D.4
4.估算27+3的值在(　　)
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
【解析】27=4×7=28，∵52＝25，62＝36，而25＜28＜36，
∴5＜28＜6，即5＜27＜6，∴8＜27+3＜9，故选：A．
5.对于反比例函数y=kx，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有(　　)
A．最小值y=-12 B．最小值y＝﹣1
C．最大值y=-12 D．最大值y＝﹣1
【解析】由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4，
反比例函数解析式为y＝﹣4x，
当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，
当x＝8时，y最小值＝﹣12，故选：A．
6.已知关于x的不等式xa<6的解也是不等式2x-5a3>a2-1的解，则a的取值范围是(　　)
A．a⩾-611 B．a>-611
C．-611⩽a<0 D．以上都不正确
【解析】由2x-5a3>a2-1，解得x>13a-64，对于不等式xa<6，
当a＞0时，x＜6a，则x＜6a的解不全是x>13a-64的解，不合题意，
当a＜0时，x＞6a，则6a⩾13a-64，解得a⩾-611，
故-611⩽a<0．故选：C．
7.满足|x﹣2|+|x+1|＝3的x的个数为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．多于3个
【解析】 当x＜﹣1时，方程化简为2﹣x﹣x﹣1＝3，得x＝﹣1(不符合题意的解要舍去)，
当﹣1≤x＜2时，2﹣x+x+1＝3，x有无数个；
当x≥2时，方程化简为x﹣2+x+1＝3，解得x＝2，
综上所述：x有无数个，故选：D．
8.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
【解析】　∵a⊙b＝ab＋2a＋b，∴x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2，
原不等式化为x2＋x－2<0⇔－2 二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分,请把答案涂在答题卡上．
9.已知集合A={x|x2-2x=0}，则有(　　)
A．∅⊆A B．-2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3}
【解析】∵A={0，2}，∴∅⊆A，-2∉A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选：ACD．
10. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是　　

A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
【解析】 、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；
、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率，故此选项符合题意；故选：ABC．
11.如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点(3，0)的右侧，直线y＝﹣12x+c经过A、B两点．下列选项正确的是(　　)

A．c＞32 B．抛物线与x轴的另一个交点在0与﹣1之间
C．﹣12＜a＜0 D．3a+2b+c＞0
【解析】 ∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵-b2a=1，∴b＝﹣2a＞0；
∵直线y＝﹣12x+c经过点A，点A在点(3，0)的右侧，
∴-12×3+c>0，∴c>32，故A正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，且与x轴交点A在点(3，0)的右侧，
∴与x轴另一个交点在点(﹣1，0)的左侧，故B错误；
由图象可知，当x＝3时，9a+3b+c＞﹣32+c，
∴9a+3b＞﹣32，∴3a＞﹣32，∴a＞﹣12，∴﹣12＜a＜0，故C正确；
∵a＜0，c＞0，b＝﹣2a，∴3a+2b+c＝3a﹣4a+c＝﹣a+c＞0，故D正确；
故选：ACD．
12. 如图，在矩形中，为中点，过点且，分别交于，交于，点是中点，，则选项正确的是　　

A． B．
C．是等边三角形 D．
【解析】 ，点是中点，，
，，，
是等边三角形，故③正确；
设，则，
由勾股定理得，，
为中点，，
，
在中，由勾股定理得，，
四边形是矩形，，
，故A正确；
，，，故B错误；
，，
，故D正确；
综上所述，结论正确的是ACD，
故选：ACD．
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分,请把答案填在答题卡上．
13.方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且1x1+1x2=-3，则m＝　 　．
【解析】∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴Δ＝m2﹣4×1×(﹣1)≥0，m2+4＞0，
由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，∵1x1+1x2=-3，∴x1+x2x1x2=-3，
-m-1=-3，m＝﹣3，故答案为：﹣3．
14.分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝　 　．
【解析】原式＝(x2﹣xy﹣2y2)+(﹣2x+4y)，
＝(x﹣2y)(x+y)﹣2(x﹣2y)＝(x﹣2y)(x+y﹣2)．
故答案为：(x﹣2y)(x+y﹣2)．
15. 求使不等式有解的的取值范围______．．
16.设数集，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是 。
【分析】求出集合的长度，与集合的长度比较可得长度不小于，然后取特殊值，得出长度可以等于，即得结论．
【详解】由题意，即，，即，
由于的长度是，的长度是，，，
所以长度不小于．
则首先有或，
当时，，的长度为，
当时，，则，的长度是．
故选：D．
四.解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请把答题填在答题卡上．
17.（10分）先化简，再求值：x2-3x-1-2÷1x-1，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
【解析】原式 =x2-3x-1-2(x-1)x-1⋅(x-1)=x2-3-2x+2x-1⋅(x-1)=x2-2x-1，(5分)
∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣2x＝3，∴原式＝3﹣1＝2．(10分)

18．（12分）(学考练大本集合的补集第2课时迁移应用)如图，集合A，B都是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，求A*B.

∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，
∴A∩B＝{x|1 A∪B＝{x|x≥0}．(8分)
由题图可得A*B＝∁(AUB)(A∩B)＝{x|0≤x≤1，或x>2}．(12分)
19.（12分）河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．

(1)田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
(2)请把图2的条形统计图补充完整．
(3)若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生．现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率．
【解析】 (1) 5÷120∘360∘=15 (件)，
即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件；(4分)
(2)C班级的作品数为：15﹣3﹣5﹣4＝3(件)，
把图2的条形统计图补充完整如下：
(8分)
(3)恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率．
不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：

共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，
∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为1220=35．(12分)
20.（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1．(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．

【解析】(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝13，AD＝1，
∴AB=ADsinB=3，∴BD=AB2-AD2=22，∴BC＝BD+DC＝22+1；(6分)
(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE=12BC=2+12，
∴DE=CE-CD=2+12-1=2-12，∴tan⁡∠DAE=DEAD=2-121=2-12．(12分)
21.（12分）已知A=，B＝．
（Ⅰ）若，求的取值；（Ⅱ）若，求的取值范围．
解：B＝------------------2分
（Ⅰ）数形结合得 ∴---------------5分
（Ⅱ）由得-----------------------------6分
1）当时满足题意，此时，-----------7分
2）当时， ---------10分
终上，的取值范围为： ------------12分
22.（12分）已知二次函数y＝x2﹣(m+2)x+3，
(1)设函数y＝x2﹣(m+2)x+3在1≤x≤2范围内的最大值为M，最小值为N，且M﹣N≤2，求实数m的取值范围；
(2)已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+3＝﹣(2m+1)x+2在0≤x≤2范围内有解，求实数m的取值范围．
【解析】(1)∵y＝x2﹣(m+2)x+3，∴函数的对称轴为x=m+22，(1分)
①当m+22⩽1时，即m≤0时，当1≤x≤2时，y随x增大而增大，
∴M＝3﹣2m，N＝2﹣m，∴(3﹣2m)﹣(2﹣m)≤2，解得﹣1≤m≤0，(2分)
②当m+22⩾2时，即m≥2时，当1≤x≤2时，y随x增大而减小，
∴N＝3﹣2m，M＝2﹣m，∴(2﹣m)﹣(3﹣2m)≤2，解得2≤m≤3，(3分)
③当1 N=3-14(m+2)2，M＝3﹣2m，∴3-2m-3-14(m+2)2⩽2，(4分)
解得2-22⩽π⩽2+22，此时0＜m＜1，
④当32⩽m+22<2时，即1≤m＜2时，
∴N=3-14(m+2)2，M＝2﹣m，∴2-m-3-14(m+2)2⩽2，
解得-22⩽π⩽22，此时1≤m＜2，(5分)
综上，m的取值范围为﹣1≤m≤3．(6分)
(2)原方程即为x2+(m﹣1)x+1＝0．设y＝x2+(m﹣1)x+1
当x＝0时，y＝1＞0． (7分)
①若方程在0≤x≤2上有一解，只需x＝2时，函数y＝x2+(m﹣1)x+1的取值为负即可．
∴y＝22+2(m﹣1)+1＜0．解得：m<-32． (8分)
②若方程在0≤x≤2上有两解，则&△⩾0&0⩽-m-12⩽2&22+2(m-1)+1⩾0，(10分)
即&m⩾3 或 m⩽-1&-3⩽n⩽1&m⩾-32，∴-32⩽π⩽-1．(11分)
综上，m的取值范围为m≤﹣1．(12分)