北京市昌平区第二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份北京市昌平区第二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A．7×10﹣6B．0.7×10﹣6C．7×10﹣7D．0.7×10﹣7
2．（2分）不等式x≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）若是关于x，y的二元一次方程x+my＝5的解，则m的值为（ ）
A．2B．3C．5D．7
4．（2分）下列运算式中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）3＝a9
C．（2a2）2＝2a4D．a6÷a3＝a2
5．（2分）若a＜b，则下列结论不正确的是（ ）
A．a+4＜b+4B．a﹣3＜b﹣3C．﹣2a＞﹣2bD．
6．（2分）长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（ ）
A．4a+2bB．4a﹣2bC．2a﹣4bD．2a+4b
7．（2分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20．如图中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示该生为9班学生，下面表示5班学生的识别图案是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）计算：
（1）3﹣2＝ ；
（2）（﹣6）0＝ ．
10．（2分）x的3倍与5的差小于6，用不等式表示为 ．
11．（2分）写出一个解是 的二元一次方程组： ．
12．（2分）若（x﹣4）2＝x2+kx+16，则k的值是 ．
13．（2分）已知xm＝2，xn＝3，则xm+n＝ ．
14．（2分）若|x﹣2|+（2x﹣3y+5）2＝0，则x+y＝ ．
15．（2分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 ．
16．（2分）A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为x1，x2，x3（x1，x2，x3均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）＝ （用含x1，x2，x3的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W≥13，当x1，x2，x3的值依次是 时，这种产品的成本最低．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：2x2+（3y2﹣xy）﹣（x2﹣3xy）．
18．（5分）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2．
19．（5分）计算：（x+3）（x﹣2）+x（x+1）
20．（5分）解不等式：2（x﹣4）＞2﹣3x，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（5分）解方程组：．
22．（5分）解方程组：．
23．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
24．（6分）已知a2﹣2a﹣1＝0，求代数式（2a+1）（2a﹣1）+（a﹣5）2的值．
25．（6分）在整式乘法的学习过程中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明．例如由图①中图形的面积可以得到等式：m（a+b+c）＝ma+mb+mc．
（1）利用图②中图形的面积关系，写出一个正确的等式： ；
（2）计算（2a+b）（a+b）的值，并画出几何图形进行说明．
26．（6分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2．求m的取值范围．
27．（7分）为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
（1）科技类图书和文学类图书每本各多少元？
（2）经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
28．（7分）对于二元一次方程x﹣2y＝2的任意一个解给出如下定义：若|m|≥|n|，则称|m|为方程x﹣2y＝2的“关联值”；若|m|＜|n|，则称|n|为方程x﹣2y＝2的“关联值”．
（1）写出方程x﹣2y＝2的一个解，并指明此时方程的“关联值”；
（2）若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解；
（3）直接写出方程x﹣2y＝2的最小“关联值”为 ；当关联值为|m|时，直接写出x的取值范围是 ．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A．7×10﹣6B．0.7×10﹣6C．7×10﹣7D．0.7×10﹣7
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故选：C．
2．（2分）不等式x≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：不等式x≤2的解集在数轴上表示时，数轴上表示2的点用实心点，然后选择数轴上表示2是点的左边的区域，如下图所示：
，
故选：B．
3．（2分）若是关于x，y的二元一次方程x+my＝5的解，则m的值为（ ）
A．2B．3C．5D．7
【解答】解：将代入原方程得：2+m＝5，
解得：m＝3，
∴m的值为3．
故选：B．
4．（2分）下列运算式中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）3＝a9
C．（2a2）2＝2a4D．a6÷a3＝a2
【解答】解：（A）原式＝a5，故A错误，
（C）原式＝4a4，故B错误，
（D）原式＝a3，故D错误，
故选：B．
5．（2分）若a＜b，则下列结论不正确的是（ ）
A．a+4＜b+4B．a﹣3＜b﹣3C．﹣2a＞﹣2bD．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a+4＜b+4，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，故本选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故本选项不符合题意；
D、∵a＜b，
∴a＜b，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（2分）长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（ ）
A．4a+2bB．4a﹣2bC．2a﹣4bD．2a+4b
【解答】解：∵长方形的面积是12a2﹣6ab，一边长是3a，
∴它的另一边长是：（12a2﹣6ab）÷3a＝12a2÷3a﹣6ab÷3a＝4a﹣2b．
故选：B．
7．（2分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，可列方程组为．
故选：C．
8．（2分）在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20．如图中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示该生为9班学生，下面表示5班学生的识别图案是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．∵a＝0，b＝0，c＝1，d＝1．
∴0×23+0×22+1×21+1×20＝3，
∴该生为3班学生，
B．∵a＝0，b＝1，c＝0，d＝1．
0×23+1×22+0×21+1×20＝5，
∴该生为5班学生，
C．∵a＝0，b＝1，c＝1，d＝0．
0×23+1×22+1×21+0×20＝6，
∴该生为6班学生，
D．∵a＝0，b＝1，c＝1，d＝1．
0×23+1×22+1×21+1×20＝7，
∴该生为7班学生，
则表示5班学生的识别图案是B，
故选：B．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）计算：
（1）3﹣2＝ ；
（2）（﹣6）0＝ 1 ．
【解答】解：（1）3﹣2＝；
（2）（﹣6）0＝1．
故答案为：（1）；（2）1．
10．（2分）x的3倍与5的差小于6，用不等式表示为 3x﹣5＜6 ．
【解答】解：根据题意可得：3x﹣5＜6．
故答案为：3x﹣5＜6．
11．（2分）写出一个解是 的二元一次方程组： ．
【解答】解：根据题意得：．
故答案为：
12．（2分）若（x﹣4）2＝x2+kx+16，则k的值是 ﹣8 ．
【解答】解：∵（x﹣4）2＝x2+kx+16，（x﹣4）2＝x2﹣8x+16，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
13．（2分）已知xm＝2，xn＝3，则xm+n＝ 6 ．
【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，
∴xm+n＝xm•xn＝2×3＝6．
故答案为：6．
14．（2分）若|x﹣2|+（2x﹣3y+5）2＝0，则x+y＝ 5 ．
【解答】解：由题可知，
，
解得，
则x+y＝2+3＝5．
故答案为：5．
15．（2分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤1 ．
【解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＞m+1，
∵不等式组的解集是 x＞2，
∴2≥m+1，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
16．（2分）A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为x1，x2，x3（x1，x2，x3均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）＝ x1+2x2+3x3 （用含x1，x2，x3的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W≥13，当x1，x2，x3的值依次是 1，5，1 时，这种产品的成本最低．
【解答】解：∵总重＝各类型数量×单位重量之和，
∴W＝x1+2x2+3x3，
当W≥13时，由题得：当产品成本最低时，产品原料总重也应最低，
∴W＝13，即x1+2x2+3x3＝13，
∵x1，x2，x3均为正整数，
由配凑试根得：x1＝1，x2＝5，x3＝1．
故答案为：x1+2x2+3x3；1，5，1．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：2x2+（3y2﹣xy）﹣（x2﹣3xy）．
【解答】解：原式＝2x2+3y2﹣xy﹣x2+3xy＝x2+3y2+2xy．
18．（5分）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2．
【解答】解：原式＝a3+4+1+a2×4+4a8，
＝a8+a8+4a8，
＝6a8．
19．（5分）计算：（x+3）（x﹣2）+x（x+1）
【解答】解：（x+3）（x﹣2）+x（x+1）
＝x2+x﹣6+x2+x
＝2x2+2x﹣6．
20．（5分）解不等式：2（x﹣4）＞2﹣3x，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：去括号得，2x﹣8＞2﹣3x
移项，合并同类项得，5x＞10
系数化为1得，x＞2；
数轴表示如下：
．
21．（5分）解方程组：．
【解答】解：，
①代入②得，3x+2×2x＝7，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，y＝2，
所以方程组的解为．
22．（5分）解方程组：．
【解答】解：，
①×2+②×3，可得17x＝17，
解得x＝1，
把x＝1代入①，可得：4×1+3y＝1，
解得y＝﹣1，
∴原方程组的解是．
23．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【解答】解：，
由①得，2x≤6，
x≤3，
由②得，2x+8＞3﹣3x，
5x＞﹣5，
x＞﹣1，
∴﹣1＜x≤3，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3．
24．（6分）已知a2﹣2a﹣1＝0，求代数式（2a+1）（2a﹣1）+（a﹣5）2的值．
【解答】解：原式＝4a2﹣1+a2﹣10a+25
＝5a2﹣10a+24，
当a2﹣2a﹣1＝0时，
a2﹣2a＝1，
原式＝5（a2﹣2a）+24
＝5×1+24
＝5+24
＝29．
25．（6分）在整式乘法的学习过程中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明．例如由图①中图形的面积可以得到等式：m（a+b+c）＝ma+mb+mc．
（1）利用图②中图形的面积关系，写出一个正确的等式： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）计算（2a+b）（a+b）的值，并画出几何图形进行说明．
【解答】解：（1）整个正方形的面积为（a+b）2，四块面积和为a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，图形如图所示：
26．（6分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2．求m的取值范围．
【解答】解：两个方程相加可得3x+3y＝﹣2m+2，
∵x+y＞2，
∴3x+3y＞6，
则﹣2m+2＞6，
解得m＜﹣2．
27．（7分）为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
（1）科技类图书和文学类图书每本各多少元？
（2）经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
【解答】解：（1）设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元，
根据题意得：，
解得：．
答：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元；
（2）设购买科技类图书m本，则购买文学类图书（300﹣m）本，
根据题意得：28m+25（300﹣m）≤8000，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为166．
答：科技类图书最多能买166本．
28．（7分）对于二元一次方程x﹣2y＝2的任意一个解给出如下定义：若|m|≥|n|，则称|m|为方程x﹣2y＝2的“关联值”；若|m|＜|n|，则称|n|为方程x﹣2y＝2的“关联值”．
（1）写出方程x﹣2y＝2的一个解，并指明此时方程的“关联值”；
（2）若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解；
（3）直接写出方程x﹣2y＝2的最小“关联值”为 ；当关联值为|m|时，直接写出x的取值范围是 x≥或x≤﹣2． ．
【解答】解：（1）当x＝0时，即0﹣2y＝2，
解得y＝﹣1，
∵|0|＜|﹣1|，
∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为（答案不唯一）；
（2）∵“关联值”为4，
∴①当x＝4时，即4﹣2y＝2，解得y＝1，
∴方程的解为；
②当x＝﹣4时，即﹣4﹣2y＝2，解得y＝﹣3，
∴方程的解为；
③当y＝﹣4时，即x﹣2×（﹣4）＝2，解得x＝﹣6，
∵|﹣6|＞|﹣4|，
∴不符合题意，应舍去；
④当y＝4时，即x﹣2×4＝2，解得x＝10，
∵|10|＞|﹣4|，
∴不符合题意，应舍去；
综上所述，所有满足条件的方程的解有，；
（3）∵x﹣2y＝2，
∴，
∵当x＝0时，y＝﹣1，
当|x|增大时，|y|先减小到0，然后再增大，
∴当|x|＝|y|时，方程x﹣2y＝2取得最小“关联值”，
∴联立，解得，
∴方程x﹣2y＝2的最小“关联值”为；
当关联值为|m|时，即|m|≥|n|，
∴|x|≥|y|，
∴；
∴①当x≥0，时，即x≥0，x≥2时，
∴，解得x≥﹣2，
∴x≥2；
②当x≥0，时，即x≥0，x≤2时，
∴，解得，
∴；
③当x≤0，时，即x≤0，x≤2时，
∴，解得x≤﹣2，
∴x≤﹣2；
④当x≤0，时，即x≤0，x≥2时，
∴，解得，
∴x≤0；
综上所述，当或x≤﹣2时，关联值为|m|．
故答案为：；x≥或x≤﹣2．