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2020-2021学年北京市昌平二中学八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年北京市昌平二中学八年级（下）期中数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市昌平二中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）为了加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康，2020年5月1日起，北京市实施《北京市生活垃圾管理条例》．如图分别是厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）在直角坐标系中，点（2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2分）若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A．60 B．30 C．24 D．15
4．（2分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
6．（2分）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则这个正比例函数的表达式为（ ）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：①OA＝OC，②∠BAD＝∠BCD，③∠BAD+∠ABC＝180°，④AC⊥BD，⑤AB＝CD，正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
9．（2分）在一次函数y＝kx+b中，已知k•b＜0，则下列的图象示意图中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2分）已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+；④四边形OECF的面积是1．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每题2分，共20分）
11．（2分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝ ．
13．（2分）点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 ．
14．（2分）如图，为估计池塘两岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D、E，测得DE＝15m，则A、B两点间的距离是 ．
15．（2分）若一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点A（0，4），写出一个满足条件的一次函数表达式 ．
16．（2分）如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，若表示故宫的点的坐标为（0，﹣1），表示美术馆的点的坐标为（2，2），则人民大会堂的坐标为 ．
17．（2分）点A（﹣1，y1）与点B（3，y2）都在直线y＝﹣3x+1上，则y1与y2的大小关系是 ．
18．（2分）已知：如图，边长为4的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE＝1，在AC上找一点P，则DP+EP的最小值为 ．
19．（2分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C'，BC'与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，则BE的长为 ．
20．（2分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图所示，线段OA和折线BCDE，分别表示货车和轿车离开甲地的距离y（km）与货车离开甲地的时间x（h）之间的函数关系．
小明根据图象，得到下列结论：
①轿车在途中停留了半小时；
②货车从甲地到乙地的平均速度是60km/h；
③轿车从甲地到乙地用的时间是4.5小时；
④轿车出发后3小时追上货车．
则小明得到的结论中正确的是 （只填序号）．
三、解答题（21题4分，22-28每题6分，29-30每题7分，共60分）
21．（4分）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程：
求作：菱形ABCD作法：
①作线段AC；
②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；
④连接AB、BC、CD、DA，所以四边形ABCD为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为菱形 （填推理的依据）．
22．（6分）已知：直线l图象如图所示：
（1）点A的坐标为 ；
（2）点B的坐标为 ；
（3）求直线l的解析式．
23．（6分）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．
24．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；
（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．
25．（6分）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求该直线的表达式和点A的坐标；
（2）若x轴一点C，且S△ABC＝6，直接写出点C的坐标．
26．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
27．（6分）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司采取分段收费标准，如图反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．
（1）当月用水量x≤l5时，收费标准是 元/吨；
（2）小华家五月份用水16吨，应交水费多少元？
（3）按上述分段收费标准，某居民家三、四月份分别交水费81元和56元，问四月份比三月份节约用水多少吨？
28．（6分）已知直线y＝kx+2与y轴交于点A．将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点B．
（1）求点A，B坐标；
（2）点B关于x轴的对称点为点C，若直线y＝kx+2与线段BC有公共点，求k的取值范围．
29．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是 ；
（2）如表是x与y的几组对应值．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
2
m
0
1
2
3
4
…
m的值为 ；
（3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是 ．（只填序号）
30．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE、DF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．
①依题意，补全图形；
②求证：BG＝DG；
③若∠EGB＝45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．
2020-2021学年北京市昌平二中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）为了加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康，2020年5月1日起，北京市实施《北京市生活垃圾管理条例》．如图分别是厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2．（2分）在直角坐标系中，点（2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】解：因为点P（2，1）的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点在平面直角坐标系的第一象限．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
3．（2分）若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A．60 B．30 C．24 D．15
【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
【解答】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S＝×10×6＝30．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
4．（2分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义解答即可．
【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
5．（2分）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得360°÷n＝40，
解得n＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形外角和的知识，解题时注意：正多边形的每个外角相等，且其和为360°．
6．（2分）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则这个正比例函数的表达式为（ ）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x
【分析】将函数图象经过的点（2，﹣1）代入正比例函数y＝kx（k≠0）进行计算即可．
【解答】解：将点（2，﹣1）代入正比例函数y＝kx（k≠0），
得﹣1＝2k，
∴k＝﹣，
∴函数的表达式为y＝﹣x，
故选：D．
【点评】本题主要考查了待定系数法，解决问题的关键是将已知点的坐标代入函数解析式进行求解，代入时注意字母的值要对号入座．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：①OA＝OC，②∠BAD＝∠BCD，③∠BAD+∠ABC＝180°，④AC⊥BD，⑤AB＝CD，正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据平行四边形的边、角、对角线的性质对各个选项分别进行判定即可．
【解答】解：根据平行四边形的性质可知：
①平行四边形的对角线互相平分，则OA＝OC，故①正确；
②平行四边形的对角相等，则∠BAD＝∠BCD，故②正确；
③平行四边形的邻角互补，则∠BAD+∠ABC＝180°，故③正确；
④平行四边形的对角线互相平分，不一定垂直，故④错误；
⑤平行四边形对边相等，则AB＝CD，故⑤正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【分析】证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO＝60°，由三角形内角和求出∠AEO＝90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90°，
又∵∠ABO＝60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∵线段EF绕点O转动，∠AOE＝60°，
∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB＝EF＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（2分）在一次函数y＝kx+b中，已知k•b＜0，则下列的图象示意图中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象确定k、b的符号，然后求得kb的符号．与已知kb＜0一致的图象即为所求．
【解答】解：A、根据图象知，k＜0，b＝0，则k•b＝0．与已知“k•b＜0”相矛盾．故本选项错误；
B、根据图象知，k＞0，b＞0，则k•b＞0．与已知“k•b＜0”相矛盾．故本选项错误；
C、根据图象知，k＞0，b＜0，则k•b＜0．与已知“k•b＜0”相一致．故本选项正确；
D、根据图象知，k＜0，b＜0，则k•b＞0．与已知“k•b＜0”相矛盾．故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
10．（2分）已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+；④四边形OECF的面积是1．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是＝，
故②正确；
③∵BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，
设EC＝x，则BE＝CF＝2﹣x，
∴EF＝＝，
∵0＜x＜2，
∴≤EF＜2，
∵＜＜2，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+，
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故选：D．
【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
二、填空题（每题2分，共20分）
11．（2分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝ 60° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，再由已知条件∠A＝2∠B，即可得出∠B的度数，进而可求出∠D的度数．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝180°，
解得：∠B＝60°，
∴∠D＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13．（2分）点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 （2，3） ．
【分析】直接利用关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
14．（2分）如图，为估计池塘两岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D、E，测得DE＝15m，则A、B两点间的距离是 30m ．
【分析】根据三角形中位线定理得出DE＝AB，再求出答案即可．
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝AB，
即AB＝2DE，
∵DE＝15m，
∴AB＝30（m），
故答案为：30m．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
15．（2分）若一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点A（0，4），写出一个满足条件的一次函数表达式 y＝x+4 ．
【分析】由一次函数的图象经过的象限判断出k，b的取值范围，然后根据其经过的点即可确定最后的答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∵经过A（0，4），
∴一次函数可以是y＝x+4，
故答案是：y＝x+4．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
16．（2分）如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，若表示故宫的点的坐标为（0，﹣1），表示美术馆的点的坐标为（2，2），则人民大会堂的坐标为 （﹣1，﹣3） ．
【分析】先根据故宫的点的坐标和美术馆的点的坐标画出直角坐标系，然后根据第三象限内点的坐标特征写出人民大会堂的坐标．
【解答】解：如图，人民大会堂的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查了坐标确定位置：理解各象限内点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征．
17．（2分）点A（﹣1，y1）与点B（3，y2）都在直线y＝﹣3x+1上，则y1与y2的大小关系是 y1＞y2 ．
【分析】由一次函数y＝﹣3x+1可知，k＝﹣3＜0，y随x的增大而减小，由此即可得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1可知，k＝﹣3＜0，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜3，
∴y1＞y2．
故答案为y1＞y2．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时y随x的增大而减小是解答此题的关键．
18．（2分）已知：如图，边长为4的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE＝1，在AC上找一点P，则DP+EP的最小值为 5 ．
【分析】BE交AC于P′，如图，根据正方形的性质得到点B、D关于AC对称，则P′D＝P′B，利用两点之间线段最短可判断此时P′D+P′E的值最小，接着利用勾股定理计算出BE，所以当P点与P′重合时得到DP+EP的最小值．
【解答】解：BE交AC于P′，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点B、D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BD，
∴此时P′D+P′E的值最小，
∵CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3，BC＝4，
∴BE＝＝5，
∴此时P′D+P′E的最小值为5，
当P点与P′重合时，DP+EP的最小值为5．
故答案为5．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．也考查了正方形的性质．
19．（2分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C'，BC'与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，则BE的长为 5 ．
【分析】首先证明BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，
∴∠EDB＝∠DBC；
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
设ED＝x，则AE＝8﹣x；
∴EB＝ED＝x；
由勾股定理得：
BE2＝AB2+AE2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴BE＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
20．（2分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图所示，线段OA和折线BCDE，分别表示货车和轿车离开甲地的距离y（km）与货车离开甲地的时间x（h）之间的函数关系．
小明根据图象，得到下列结论：
①轿车在途中停留了半小时；
②货车从甲地到乙地的平均速度是60km/h；
③轿车从甲地到乙地用的时间是4.5小时；
④轿车出发后3小时追上货车．
则小明得到的结论中正确的是 ①② （只填序号）．
【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
轿车在途中停留了2.5﹣2＝0.5（小时），故①正确；
货车从甲地到乙地的平均速度是：300÷5＝60（km/h），故②正确；
轿车从甲地到乙地用的时间是4.5﹣1＝3.5小时，故③错误；
在DE段，轿车的速度为（300﹣80）÷（4.5﹣2.5）＝110（km/h），
令60t＝80+110（t﹣2.5），解得，t＝3.9，
即轿车出发后3.9﹣1＝2.9小时追上货车，故④错误；
故答案为：①②．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（21题4分，22-28每题6分，29-30每题7分，共60分）
21．（4分）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程：
求作：菱形ABCD作法：
①作线段AC；
②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；
④连接AB、BC、CD、DA，所以四边形ABCD为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为菱形 对角线互相垂直的平行四边形为菱形 （填推理的依据）．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形ABCD为菱形．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD为所作；
（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）．
故答案为四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AC，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
22．（6分）已知：直线l图象如图所示：
（1）点A的坐标为 （﹣3，﹣1） ；
（2）点B的坐标为 （1，3） ；
（3）求直线l的解析式．
【分析】（1）（2）根据点的坐标的表示方法求解；
（3）利用待定系数法求直线l的解析式．
【解答】解：（1）A点坐标为（﹣3，﹣1）；
（2）B点坐标为（1，3）；
故答案为（﹣3，﹣1）；（1，3）；
（3）设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，﹣1），B（1，3）分别代入得，解得，
∴直线l的解析式为y＝x+2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一对的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
23．（6分）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵BE＝DF，∴OE＝OF．
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
24．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；
（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．
【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质即可得到结论；
（3）根据正方形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，矩形ABCD即为所求；
（2）如图2，平行四边形ABCSD即为所求；
（3）如图3，正方形ABCD即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
25．（6分）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求该直线的表达式和点A的坐标；
（2）若x轴一点C，且S△ABC＝6，直接写出点C的坐标．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝﹣x+b中求出b的值，从而得到直线解析式，然后解方程﹣x+3＝0得A点坐标；
（2）设C点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到×|t﹣2|×3＝6，然后解方程求出t，从而得到C点坐标．
【解答】解：（1）把B（0，3）代入y＝﹣x+b得b＝3，
∴直线的解析式为y＝﹣x+3；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）；
（2）设C点坐标为（t，0），
∵S△ABC＝6，
∴×|t﹣2|×3＝6，解得t＝﹣2或t＝6，
∴点C的坐标为（﹣2，0）或（6，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一对的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
26．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC＝90°，OC＝AC，推出BE＝OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，易证△ABC是等边三角形，得出BC＝AC＝2，由勾股定理求出OB＝，则BD＝2，由矩形的性质得出BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，再由勾股定理即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，
∵BE＝AC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝2，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，
在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
27．（6分）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司采取分段收费标准，如图反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．
（1）当月用水量x≤l5时，收费标准是 4 元/吨；
（2）小华家五月份用水16吨，应交水费多少元？
（3）按上述分段收费标准，某居民家三、四月份分别交水费81元和56元，问四月份比三月份节约用水多少吨？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出当月用水量x≤l5时，收费标准是每吨多少钱；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得当x＞15时对应的函数解析式，从而可以得到小华家五月份用水16吨，应交水费多少元；
（3）根据题意，可以分别求得三、四月份的用数量，然后作差，即可得到四月份比三月份节约用水多少吨．
【解答】解：（1）当月用水量x≤l5时，收费标准是60÷15＝4（元/吨），
故答案为：4；
（2）当x＞15时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
即当x＞15时，y与x的函数关系式为y＝7x﹣45，
当x＝16时，y＝7×16﹣45＝112﹣45＝67，
即小华家五月份用水16吨，应交水费67元；
（3）当y＝81时，81＝7x﹣45，得x＝18，
即三月份用水18吨，
四月份用水56÷4＝14（吨），
18﹣14＝4（吨），
即四月份比三月份节约用水4吨．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．（6分）已知直线y＝kx+2与y轴交于点A．将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点B．
（1）求点A，B坐标；
（2）点B关于x轴的对称点为点C，若直线y＝kx+2与线段BC有公共点，求k的取值范围．
【分析】（1）根据坐标特征求得A的坐标，进一步得到B的坐标；
（2）根据轴对称的性质求得C的坐标，把B、C的坐标分别代入y＝kx+2，求得k的值，结合图象即可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），
∵将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点B．
∴B（2，3）；
（2）∵点B关于x轴的对称点为点C，B（2，3），
∴C（2，﹣3），
把B（2，3）代入y＝kx+2得，3＝2k+2，解得k＝，
把C（2，﹣3）代入y＝kx+2得，﹣3＝2k+2，解得k＝﹣，
∴若直线y＝kx+2与线段BC有公共点，k的取值范围是﹣≤k≤．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标和图形变换﹣平移，轴对称的性质等，数形结合思想是解题的关键．
29．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是 x为任意实数 ；
（2）如表是x与y的几组对应值．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
2
m
0
1
2
3
4
…
m的值为 1 ；
（3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是 ①②③ ．（只填序号）
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以判断该函数的性质．
【解答】解：（1）在函数y＝|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：x为任意实数；
（2）当x＝﹣2时，m＝|﹣2+1|＝1，
故答案为1；
（3）画出函数的图象如图：
；
（4）由函数图象可知，
①函数有最小值为0，正确；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，正确；
③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确；．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
30．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE、DF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．
①依题意，补全图形；
②求证：BG＝DG；
③若∠EGB＝45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）证△ADE≌△CDF（SAS），得∠ADE＝∠CDF，再证∠EDF＝90°，即可得出结论；
（2）①依题意，补全图形即可；
②由直角三角形斜边上的中线性质得DG＝EF，BG＝EF，即可得出结论；
③先证△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再证DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后证△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCF＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDF+∠CDE＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）①解：依题意，补全图形如图所示：
②证明：由（1）可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，
∵G是EF的中点，
∴DG＝EF，BG＝EF，
∴BG＝DG；
③解：BG2+HG2＝4AE2，证明如下：
由（1）可知，△ADE≌△CDF，DE⊥DF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEG＝45°，
∵G为EF的中点，
∴DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，
∴∠EGD＝∠HGF＝∠DGF＝90°，∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，
∵∠EGB＝45°，
∴∠GBF＝∠GFB＝22.5°，
∵∠DHF+∠HFG＝∠DHF+∠CDH＝90°，
∴∠HFG＝∠CDH＝22.5°，
∴∠CDF＝∠GDF﹣∠HDC＝22.5°＝∠CDH，
又∵∠DCH＝∠DCF＝90°，CD＝CD，
∴△CDH≌△CDF（ASA），
∴CH＝CF，
在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF2+HG2＝HF2，
∵HF＝2CF＝2AE，GF＝BG，
∴BG2+HG2＝（2AE）2，
∴BG2+HG2＝4AE2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
2020-2021学年北京市昌平二中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）为了加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康，2020年5月1日起，北京市实施《北京市生活垃圾管理条例》．如图分别是厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）在直角坐标系中，点（2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2分）若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A．60 B．30 C．24 D．15
4．（2分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
6．（2分）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则这个正比例函数的表达式为（ ）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：①OA＝OC，②∠BAD＝∠BCD，③∠BAD+∠ABC＝180°，④AC⊥BD，⑤AB＝CD，正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
9．（2分）在一次函数y＝kx+b中，已知k•b＜0，则下列的图象示意图中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2分）已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+；④四边形OECF的面积是1．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每题2分，共20分）
11．（2分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝ ．
13．（2分）点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 ．
14．（2分）如图，为估计池塘两岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D、E，测得DE＝15m，则A、B两点间的距离是 ．
15．（2分）若一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点A（0，4），写出一个满足条件的一次函数表达式 ．
16．（2分）如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，若表示故宫的点的坐标为（0，﹣1），表示美术馆的点的坐标为（2，2），则人民大会堂的坐标为 ．
17．（2分）点A（﹣1，y1）与点B（3，y2）都在直线y＝﹣3x+1上，则y1与y2的大小关系是 ．
18．（2分）已知：如图，边长为4的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE＝1，在AC上找一点P，则DP+EP的最小值为 ．
19．（2分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C'，BC'与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，则BE的长为 ．
20．（2分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图所示，线段OA和折线BCDE，分别表示货车和轿车离开甲地的距离y（km）与货车离开甲地的时间x（h）之间的函数关系．
小明根据图象，得到下列结论：
①轿车在途中停留了半小时；
②货车从甲地到乙地的平均速度是60km/h；
③轿车从甲地到乙地用的时间是4.5小时；
④轿车出发后3小时追上货车．
则小明得到的结论中正确的是 （只填序号）．
三、解答题（21题4分，22-28每题6分，29-30每题7分，共60分）
21．（4分）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程：
求作：菱形ABCD作法：
①作线段AC；
②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；
④连接AB、BC、CD、DA，所以四边形ABCD为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为菱形 （填推理的依据）．
22．（6分）已知：直线l图象如图所示：
（1）点A的坐标为 ；
（2）点B的坐标为 ；
（3）求直线l的解析式．
23．（6分）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．
24．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；
（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．
25．（6分）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求该直线的表达式和点A的坐标；
（2）若x轴一点C，且S△ABC＝6，直接写出点C的坐标．
26．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
27．（6分）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司采取分段收费标准，如图反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．
（1）当月用水量x≤l5时，收费标准是 元/吨；
（2）小华家五月份用水16吨，应交水费多少元？
（3）按上述分段收费标准，某居民家三、四月份分别交水费81元和56元，问四月份比三月份节约用水多少吨？
28．（6分）已知直线y＝kx+2与y轴交于点A．将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点B．
（1）求点A，B坐标；
（2）点B关于x轴的对称点为点C，若直线y＝kx+2与线段BC有公共点，求k的取值范围．
29．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是 ；
（2）如表是x与y的几组对应值．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
2
m
0
1
2
3
4
…
m的值为 ；
（3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是 ．（只填序号）
30．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE、DF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．
①依题意，补全图形；
②求证：BG＝DG；
③若∠EGB＝45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．
2020-2021学年北京市昌平二中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）为了加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康，2020年5月1日起，北京市实施《北京市生活垃圾管理条例》．如图分别是厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2．（2分）在直角坐标系中，点（2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】解：因为点P（2，1）的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点在平面直角坐标系的第一象限．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
3．（2分）若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A．60 B．30 C．24 D．15
【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
【解答】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S＝×10×6＝30．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
4．（2分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义解答即可．
【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
5．（2分）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得360°÷n＝40，
解得n＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形外角和的知识，解题时注意：正多边形的每个外角相等，且其和为360°．
6．（2分）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则这个正比例函数的表达式为（ ）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x
【分析】将函数图象经过的点（2，﹣1）代入正比例函数y＝kx（k≠0）进行计算即可．
【解答】解：将点（2，﹣1）代入正比例函数y＝kx（k≠0），
得﹣1＝2k，
∴k＝﹣，
∴函数的表达式为y＝﹣x，
故选：D．
【点评】本题主要考查了待定系数法，解决问题的关键是将已知点的坐标代入函数解析式进行求解，代入时注意字母的值要对号入座．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：①OA＝OC，②∠BAD＝∠BCD，③∠BAD+∠ABC＝180°，④AC⊥BD，⑤AB＝CD，正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据平行四边形的边、角、对角线的性质对各个选项分别进行判定即可．
【解答】解：根据平行四边形的性质可知：
①平行四边形的对角线互相平分，则OA＝OC，故①正确；
②平行四边形的对角相等，则∠BAD＝∠BCD，故②正确；
③平行四边形的邻角互补，则∠BAD+∠ABC＝180°，故③正确；
④平行四边形的对角线互相平分，不一定垂直，故④错误；
⑤平行四边形对边相等，则AB＝CD，故⑤正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【分析】证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO＝60°，由三角形内角和求出∠AEO＝90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90°，
又∵∠ABO＝60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∵线段EF绕点O转动，∠AOE＝60°，
∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB＝EF＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（2分）在一次函数y＝kx+b中，已知k•b＜0，则下列的图象示意图中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象确定k、b的符号，然后求得kb的符号．与已知kb＜0一致的图象即为所求．
【解答】解：A、根据图象知，k＜0，b＝0，则k•b＝0．与已知“k•b＜0”相矛盾．故本选项错误；
B、根据图象知，k＞0，b＞0，则k•b＞0．与已知“k•b＜0”相矛盾．故本选项错误；
C、根据图象知，k＞0，b＜0，则k•b＜0．与已知“k•b＜0”相一致．故本选项正确；
D、根据图象知，k＜0，b＜0，则k•b＞0．与已知“k•b＜0”相矛盾．故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
10．（2分）已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：
①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+；④四边形OECF的面积是1．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是＝，
故②正确；
③∵BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，
设EC＝x，则BE＝CF＝2﹣x，
∴EF＝＝，
∵0＜x＜2，
∴≤EF＜2，
∵＜＜2，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+，
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故选：D．
【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
二、填空题（每题2分，共20分）
11．（2分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝ 60° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，再由已知条件∠A＝2∠B，即可得出∠B的度数，进而可求出∠D的度数．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝180°，
解得：∠B＝60°，
∴∠D＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13．（2分）点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 （2，3） ．
【分析】直接利用关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
14．（2分）如图，为估计池塘两岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D、E，测得DE＝15m，则A、B两点间的距离是 30m ．
【分析】根据三角形中位线定理得出DE＝AB，再求出答案即可．
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝AB，
即AB＝2DE，
∵DE＝15m，
∴AB＝30（m），
故答案为：30m．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
15．（2分）若一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点A（0，4），写出一个满足条件的一次函数表达式 y＝x+4 ．
【分析】由一次函数的图象经过的象限判断出k，b的取值范围，然后根据其经过的点即可确定最后的答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∵经过A（0，4），
∴一次函数可以是y＝x+4，
故答案是：y＝x+4．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
16．（2分）如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，若表示故宫的点的坐标为（0，﹣1），表示美术馆的点的坐标为（2，2），则人民大会堂的坐标为 （﹣1，﹣3） ．
【分析】先根据故宫的点的坐标和美术馆的点的坐标画出直角坐标系，然后根据第三象限内点的坐标特征写出人民大会堂的坐标．
【解答】解：如图，人民大会堂的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查了坐标确定位置：理解各象限内点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征．
17．（2分）点A（﹣1，y1）与点B（3，y2）都在直线y＝﹣3x+1上，则y1与y2的大小关系是 y1＞y2 ．
【分析】由一次函数y＝﹣3x+1可知，k＝﹣3＜0，y随x的增大而减小，由此即可得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1可知，k＝﹣3＜0，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜3，
∴y1＞y2．
故答案为y1＞y2．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时y随x的增大而减小是解答此题的关键．
18．（2分）已知：如图，边长为4的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE＝1，在AC上找一点P，则DP+EP的最小值为 5 ．
【分析】BE交AC于P′，如图，根据正方形的性质得到点B、D关于AC对称，则P′D＝P′B，利用两点之间线段最短可判断此时P′D+P′E的值最小，接着利用勾股定理计算出BE，所以当P点与P′重合时得到DP+EP的最小值．
【解答】解：BE交AC于P′，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点B、D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BD，
∴此时P′D+P′E的值最小，
∵CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3，BC＝4，
∴BE＝＝5，
∴此时P′D+P′E的最小值为5，
当P点与P′重合时，DP+EP的最小值为5．
故答案为5．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．也考查了正方形的性质．
19．（2分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C'，BC'与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，则BE的长为 5 ．
【分析】首先证明BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，
∴∠EDB＝∠DBC；
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
设ED＝x，则AE＝8﹣x；
∴EB＝ED＝x；
由勾股定理得：
BE2＝AB2+AE2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴BE＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
20．（2分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图所示，线段OA和折线BCDE，分别表示货车和轿车离开甲地的距离y（km）与货车离开甲地的时间x（h）之间的函数关系．
小明根据图象，得到下列结论：
①轿车在途中停留了半小时；
②货车从甲地到乙地的平均速度是60km/h；
③轿车从甲地到乙地用的时间是4.5小时；
④轿车出发后3小时追上货车．
则小明得到的结论中正确的是 ①② （只填序号）．
【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
轿车在途中停留了2.5﹣2＝0.5（小时），故①正确；
货车从甲地到乙地的平均速度是：300÷5＝60（km/h），故②正确；
轿车从甲地到乙地用的时间是4.5﹣1＝3.5小时，故③错误；
在DE段，轿车的速度为（300﹣80）÷（4.5﹣2.5）＝110（km/h），
令60t＝80+110（t﹣2.5），解得，t＝3.9，
即轿车出发后3.9﹣1＝2.9小时追上货车，故④错误；
故答案为：①②．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（21题4分，22-28每题6分，29-30每题7分，共60分）
21．（4分）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程：
求作：菱形ABCD作法：
①作线段AC；
②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；
④连接AB、BC、CD、DA，所以四边形ABCD为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为菱形 对角线互相垂直的平行四边形为菱形 （填推理的依据）．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形ABCD为菱形．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD为所作；
（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）．
故答案为四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AC，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
22．（6分）已知：直线l图象如图所示：
（1）点A的坐标为 （﹣3，﹣1） ；
（2）点B的坐标为 （1，3） ；
（3）求直线l的解析式．
【分析】（1）（2）根据点的坐标的表示方法求解；
（3）利用待定系数法求直线l的解析式．
【解答】解：（1）A点坐标为（﹣3，﹣1）；
（2）B点坐标为（1，3）；
故答案为（﹣3，﹣1）；（1，3）；
（3）设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，﹣1），B（1，3）分别代入得，解得，
∴直线l的解析式为y＝x+2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一对的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
23．（6分）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵BE＝DF，∴OE＝OF．
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
24．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；
（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．
【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质即可得到结论；
（3）根据正方形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，矩形ABCD即为所求；
（2）如图2，平行四边形ABCSD即为所求；
（3）如图3，正方形ABCD即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
25．（6分）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求该直线的表达式和点A的坐标；
（2）若x轴一点C，且S△ABC＝6，直接写出点C的坐标．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝﹣x+b中求出b的值，从而得到直线解析式，然后解方程﹣x+3＝0得A点坐标；
（2）设C点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到×|t﹣2|×3＝6，然后解方程求出t，从而得到C点坐标．
【解答】解：（1）把B（0，3）代入y＝﹣x+b得b＝3，
∴直线的解析式为y＝﹣x+3；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）；
（2）设C点坐标为（t，0），
∵S△ABC＝6，
∴×|t﹣2|×3＝6，解得t＝﹣2或t＝6，
∴点C的坐标为（﹣2，0）或（6，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一对的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
26．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC＝90°，OC＝AC，推出BE＝OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，易证△ABC是等边三角形，得出BC＝AC＝2，由勾股定理求出OB＝，则BD＝2，由矩形的性质得出BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，再由勾股定理即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，
∵BE＝AC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝2，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，
在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
27．（6分）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司采取分段收费标准，如图反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．
（1）当月用水量x≤l5时，收费标准是 4 元/吨；
（2）小华家五月份用水16吨，应交水费多少元？
（3）按上述分段收费标准，某居民家三、四月份分别交水费81元和56元，问四月份比三月份节约用水多少吨？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出当月用水量x≤l5时，收费标准是每吨多少钱；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得当x＞15时对应的函数解析式，从而可以得到小华家五月份用水16吨，应交水费多少元；
（3）根据题意，可以分别求得三、四月份的用数量，然后作差，即可得到四月份比三月份节约用水多少吨．
【解答】解：（1）当月用水量x≤l5时，收费标准是60÷15＝4（元/吨），
故答案为：4；
（2）当x＞15时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
即当x＞15时，y与x的函数关系式为y＝7x﹣45，
当x＝16时，y＝7×16﹣45＝112﹣45＝67，
即小华家五月份用水16吨，应交水费67元；
（3）当y＝81时，81＝7x﹣45，得x＝18，
即三月份用水18吨，
四月份用水56÷4＝14（吨），
18﹣14＝4（吨），
即四月份比三月份节约用水4吨．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．（6分）已知直线y＝kx+2与y轴交于点A．将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点B．
（1）求点A，B坐标；
（2）点B关于x轴的对称点为点C，若直线y＝kx+2与线段BC有公共点，求k的取值范围．
【分析】（1）根据坐标特征求得A的坐标，进一步得到B的坐标；
（2）根据轴对称的性质求得C的坐标，把B、C的坐标分别代入y＝kx+2，求得k的值，结合图象即可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），
∵将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点B．
∴B（2，3）；
（2）∵点B关于x轴的对称点为点C，B（2，3），
∴C（2，﹣3），
把B（2，3）代入y＝kx+2得，3＝2k+2，解得k＝，
把C（2，﹣3）代入y＝kx+2得，﹣3＝2k+2，解得k＝﹣，
∴若直线y＝kx+2与线段BC有公共点，k的取值范围是﹣≤k≤．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标和图形变换﹣平移，轴对称的性质等，数形结合思想是解题的关键．
29．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是 x为任意实数 ；
（2）如表是x与y的几组对应值．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
2
m
0
1
2
3
4
…
m的值为 1 ；
（3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是 ①②③ ．（只填序号）
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以判断该函数的性质．
【解答】解：（1）在函数y＝|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：x为任意实数；
（2）当x＝﹣2时，m＝|﹣2+1|＝1，
故答案为1；
（3）画出函数的图象如图：
；
（4）由函数图象可知，
①函数有最小值为0，正确；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，正确；
③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确；．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
30．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE、DF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．
①依题意，补全图形；
②求证：BG＝DG；
③若∠EGB＝45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）证△ADE≌△CDF（SAS），得∠ADE＝∠CDF，再证∠EDF＝90°，即可得出结论；
（2）①依题意，补全图形即可；
②由直角三角形斜边上的中线性质得DG＝EF，BG＝EF，即可得出结论；
③先证△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再证DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后证△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCF＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDF+∠CDE＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）①解：依题意，补全图形如图所示：
②证明：由（1）可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，
∵G是EF的中点，
∴DG＝EF，BG＝EF，
∴BG＝DG；
③解：BG2+HG2＝4AE2，证明如下：
由（1）可知，△ADE≌△CDF，DE⊥DF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEG＝45°，
∵G为EF的中点，
∴DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，
∴∠EGD＝∠HGF＝∠DGF＝90°，∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，
∵∠EGB＝45°，
∴∠GBF＝∠GFB＝22.5°，
∵∠DHF+∠HFG＝∠DHF+∠CDH＝90°，
∴∠HFG＝∠CDH＝22.5°，
∴∠CDF＝∠GDF﹣∠HDC＝22.5°＝∠CDH，
又∵∠DCH＝∠DCF＝90°，CD＝CD，
∴△CDH≌△CDF（ASA），
∴CH＝CF，
在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF2+HG2＝HF2，
∵HF＝2CF＝2AE，GF＝BG，
∴BG2+HG2＝（2AE）2，
∴BG2+HG2＝4AE2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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