2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学五模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学五模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.七年级(1)班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作−3分，表示得了分．( )
A. 86B. 83C. 87D. 80
2.我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，AE/​/CD，AC平分∠BCD，∠2=35°，∠D=60°，则∠B=( )
A. 52°
B. 50°
C. 45°
D. 25°
4.下列运算正确的是( )
A. 2x4÷x3=2xB. (x3)4=x7C. x4+x3=x7D. x3⋅x4=x12
5.在同一平面直角坐标系中，直线y=3x向上平移m(m>0)个单位后，与直线y=x+4的交点可能是( )
A. (1,−3)B. (2,6)C. (1,5)D. (0,3)
6.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=50°，∠CBA=70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC=8.则△PMN的周长是( )
A. 10
B. 12
C. 16
D. 18
7.不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁(如图1)，图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图(设圆心为O).已知帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，若该圆半径是3cm，tanP= 3，则AMB的长是( )
A. 6πcm
B. 4πcm
C. 3πcm
D. 2πcm
8.已知抛物线y=ax2−5ax+4a(a≠0)不经过第三象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C.这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC′是正方形，则a的值为( )
A. −32B. 23C. 32D. 23或−23
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是______．
10.如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为______．
11.小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：
把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的边长为7的正方形ABCD，和如图3所示的边长为1的正方形EFGH，则图1中菱形的边长为______．
12.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(−2,y3)都在同一个反比例函数的图象上.若x1<−213.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2AC，D为BC边上的一个动点，连接AD，过点D作DE⊥AD，交边AB于点E.若AC=2，则线段BE的最大值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
解不等式：x−2≤5x+43．
15.(本小题5分)
计算：4cs30°−|1− 3|+4 2× 6．
16.(本小题5分)
解方程：x−2x+3x+2=1．
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°.请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=AF，连接CE，CF.求证：∠AEC=∠AFC．
19.(本小题5分)
有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同．
(1)从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率；
(2)现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品.为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由．
20.(本小题5分)
我国古典数学文献《增删算法统宗⋅六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同.请问甲，乙各有多少只羊？(列二元一次方程组解答)
21.(本小题6分)
某学习小组在学习了锐角三角函数之后，想要利用课余时间测量公园人工湖岸边一棵树的高度，制定了如下的测量方案．
请根据以上测量数据，带助该学习小组求这棵树CF的高度.(结果精确到1m.参考数据： 3=1.73， 2≈1.41)
22.(本小题7分)
国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：
甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费(不足一小时按一小时计费)
乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费(不足一小时按一小时计费)．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)设租车时间为x小时(3≤x≤24)，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式；
(2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．
23.(本小题7分)
在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展.为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委组织了一次“中华名人知多少”竞赛，随机抽取40名学生进行了相关知识竞答，他们的测试成绩(满分100分)如下：
65，81，74，87，76，80，89，94，88，66，72，90，96，83，99，78，98，79，89，87，75，66，85，97，88，86，89，68，88，84，86，92，77，84，95，78，82，93，96，85．
按“组距为10”制作了如下不完整的频数分布表(每组数据含最小值不含最大值)和频数分布直方图：
40名学生知识竞答测试成绩频数分布表
根据上述数据，解答下列问题：
(1)将频数分布表中空缺部分补充完整，并补全频数分布直方图．
(2)这40名学生测试成绩的中位数落在______组内；若绘制扇形统计图，则“70～80分”这组对应扇形的圆心角的度数是______．
(3)该校将知识竞答测试成绩为“80～90分”记为良好，请你估计全校1000名学生中对“中华名人知多少”了解情况达到良好等级的人数．
24.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC外接圆的切线，D在圆上，延长CB交DE于点F，且CF⊥DE，连接AD．
(1)求证：DF=12AC；
(2)若△ABC外接圆的半径为5，tan∠CAD=2，求BF的长．
25.(本小题8分)
某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分.活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到.如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)与飞行高度y(单位：m)的部分对应数值如表．
根据上面的信息，解决下列问题：
(1)当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
(2)在水平安全线上设置回收区域MN，AM=125m，MN=5m，若飞机能落到回收区域MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
26.(本小题10分)
(1)如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．

(2)为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地.如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB=20m，点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬.在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，并修建OE、EF、OF三条小路.现要求规划的三条小路OE、EF、FO总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大.求满足规划要求的三条小路OE、EF、FO总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作−3分，表示得了80分，
故选：D．
由正负数的概念可计算．
本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．
2.【答案】C
【解析】解：卯的俯视图如图所示：
故选：C．
根据俯视图的定义(从上面观察物体所得到的视图是俯视图)即可得．
本题考查了俯视图，解题的关键是具有一定的空间概念．
3.【答案】B
【解析】解：∵AE//CD，∠2=35°，
∴∠1=∠2=35°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠1=70°，
∵∠D=60°，
∴∠B=180°−∠D−∠BCD=180°−60°−70°=50°，
故选：B．
根据平行线的性质和角平分线的定义，可以求得∠BCD的度数，再根据三角形内角和即可求得∠B的度数．
本题考查平行线的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4.【答案】A
【解析】解：A.2x4÷x3=2x，故此选项符合题意；
B.(x3)4=x12，故此选项不合题意；
C.x4+x3，无法合并，故此选项不合题意；
D.x3⋅x4=x7，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用整式的除法运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：直线y=3x向上平移m(m>0)个单位后，得到y=3x+m，
把x=1代入y=x+4得，y=5，
∴交点不可能是(1,−3)，故A不合题意；
把x=2代入y=x+4得，y=6，
把(2,6)代入y=3x+m，求得m=0，故B不合题意；
把x=1代入y=x+4得，y=5，
把(1,5)代入y=3x+m，求得m=2，故C符合题意；
把x=0代入y=x+4得，y=4，
∴交点不可能是(0,3)，故D不合题意；
故选：C．
两直线的交点满足两条直线的解析式，据此即可判断．
本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点满足两条直线的解析式是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵P、N是AB和BD的中点，AD=BC，BC=8，
∴PN=12AD=12×8=4，PN//AD，
∴∠NPB=∠DAB=50°，
同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°，
∴PM=PN=4，∠MPN=180°−50°−70°=60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN=PM=PN=4，
∴△PMN的周长是12．
故选：B．
根据中位线定理求得PM和PN的长，然后证明△PMN是等边三角形即可证得．
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
7.【答案】B
【解析】解：∵帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵tanP= 3，
∴∠P=60°，
∴∠AOB=360°−∠P−∠PAO−∠PBO=120°，
∴AMB所对的圆心角度数=360°−120°=240°，
∴AMB的长=240π×3180=4π(cm)，
故选：B．
先利用切线的性质可得∠PAO=∠PBO=90°，再根据特殊角的三角函数值可得∠P=60°，从而利用四边形内角和是360°可得∠AOB=120°，然后利用周角定义可得AMB所对的圆心角度数=240°，从而利用弧长公式进行计算即可解答．
本题考查切线的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质，以及弧长公式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意，∵抛物线y=ax2−5ax+4a(a≠0)不经过第三象限，
又抛物线y=ax2−5ax+4a=a(x−1)(x−4)，
∴a>0，且A、B两点分别为(1,0)，(4,0)．
∴抛物线的对称轴是直线x=1+42=2.5．
∵四边形ACBC′是正方形，
∴AB与CC′相等且互相平分．
∵AB=4−1=3，
∴CC′=3．
∴C(2.5,−1.5)．
将C的坐标代入y=a(x−1)(x−4)，
∴a×1.5×(−1.5)=−1.5．
∴a=23．
故选：B．
依据题意，由抛物线y=ax2−5ax+4a(a≠0)不经过第三象限，又抛物线y=ax2−5ax+4a=a(x−1)(x−4)，从而a>0，且A、B两点分别为(1,0)，(4,0)，故抛物线的对称轴是直线x=1+42=2.5，再结合四边形ACBC′是正方形，进而可得AB与CC′相等且互相平分，则可得C(2.5,−1.5)，代入y=a(x−1)(x−4)计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
9.【答案】−1
【解析】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴AB=3−1=2，
∵BC=2AB=4，
∴OC=BC−OB=4−3=1，
∵C在B的左侧，
∴点C表示的数是−1．
故答案为：−1．
先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．
本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．)
10.【答案】15°
【解析】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，
∴AB=BC=BG，
∴∠BCG=∠BGC，
∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6=120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠CBG=360°−120°−90°=150°，
∴∠BCG+∠BGC=180°−150°=30°，
∴∠BCG=15°．
故答案为：15°．
分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出∠FAH的大小，即可求解．
本题考查正多边形的内角．熟练掌握正多边形内角的求法是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，
则：(a+b)2=7(a−b)2=1，
化简得：ab=32，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=7−3=4，
∴菱形的边长= a2+b2=2，
故答案为：2．
将菱形中的直角三角形的直角边设出来，列出关于直角边的方程组，求出直角边即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质解答．
12.【答案】y=−1x(答案不唯一)
【解析】解：设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(−2,y3)都在反比例函数的图象上，x1<−2∴当x<0时，y随x的增大而增大，
∴k<0，
∴符合条件的函数关系式可以是y=−1x，
故答案为：y=−1x(答案不唯一)．
设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，再由点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(−2,y3)都在反比例函数的图象上，x1<−2本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
13.【答案】6−2 5
【解析】解：∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴点D在以AE为直径的圆上，设圆心为O，
∴OD=12AE，
∴BE=AB−AE=4−AE，
当OD最小时，AE最小，此时BE最大
当⊙D与BC相切时，OD⊥BC，此时OD最小，
设OA=OD=0E=r，则OB=4−r，
在Rt△ABC中，
AC=2，AB=2AC=4，
BC= AB2+AC2= 42+22=2 5，
∵∠B=∠B，∠BDO=∠BAC=90°，
∴△BOD～△BCA，
ODAC=OBBC，
∴r2=4−r2 5，
r=4 5+1= 5−1，
AE=2r=2( 5−1)=2 5−2，
.BE=AB−AE=4−(2 5−2)=6−2 5，
∴BE的最大值为6−2 5．
故答案为：6−2 5．
由DE⊥AD可确定D在AE为直径的圆上，当OD最小时，AE最小，此时BE最大，利用△BOD～△BCA可求出OD的值继而求BE即可．
本题主要考查的是三角形的相似，同时考查了圆周角的性质定理以及勾股定理和最简二次根式的化简．
14.【答案】解：去分母，得5x+4≥3x−6，
移项、合并同类项，得2x≥−10，
系数化为1，得x≥−5．
【解析】先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1可得．
本题考查解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．
15.【答案】解：4cs30°−|1− 3|+4 2× 6
=4× 32−( 3−1)+8 3
=2 3− 3+1+8 3
=9 3+1．
【解析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16.【答案】解：原方程两边都乘x(x+2)，去分母得(x−2)(x+2)+3x=x(x+2)，
去括号得：x2−4+3x=x2+2x，
移项，合并同类项得：x=4，
检验：当x=4时，x(x+2)≠0，
故原方程的解为x=4．
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：如图，点D即为所求．

【解析】作∠ABC的角平分线BD交AC于点D．
本题考查的是作图−基本作图，相似三角形的判定和性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
18.【答案】证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC，且AC=AC，AE=AF，
∴△AEC≌△AFC(SAS)
∴∠AEC=∠AFC．
【解析】由菱形的性质可得∠BAC=∠DAC，由“SAS”可证△AEC≌△AFC，可得结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AEC≌△AFC是本题的关键．
19.【答案】解：(1)甲袋装共有三个小球，分别标有数字1，2，4，随机摸出1球，摸到每个球的可能性是均等的，
所以恰好摸到数字为1的小球的概率为13；
(2)若先从甲袋摸出1球，再从乙袋摸出1球，等可能出现的结果为(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(4,2)，(4,3)共6种情况，
其中第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字的有3种，
所以获奖的可能性为36=12；
若先从乙袋摸出1球，再从甲袋摸出1球，等可能出现的结果为(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)共6种情况，
其中第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字的有2种，
所以获奖的可能性为26=13；
由于12>13，
所以先从甲袋摸出1球，再从乙袋摸出1球，获奖的可能性大．
【解析】(1)根据概率的定义进行计算即可；
(2)分别求出先从甲袋和先从乙袋摸球，所获奖的概率，由获奖概率的大小进行判断即可．
本题考查列表法或树状图法，理解概率的定义，掌握概率的计算方法是正确解答的关键．
20.【答案】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
根据题意得：x+9=2(y−9)x−9=y+9，
解得：x=63y=45．
答：甲有63只羊，乙有45只羊．
【解析】设甲有x只羊，乙有y只羊，根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】解：过点A作AG⊥CD于G，
由题意得：CF=DF，AB=FG=1.6m，
设AG=x m，
在Rt△ACG中，∠CAG=30°，

∴CG=AG⋅tan30°= 33x(m)，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，
∴DG=AG⋅tan45°=x(m)，
∵CF=DF，
∴CG+FG=DG−FG，
∴ 33x+1.6=x−1.6，
解得：x=4.8+1.6 3，
∴CF=DF=DG−FG=x−1.6=4.8+1.6 3−1.6=3.2+1.6 3≈6(m)，
答：这棵树CF的高度约为6m．
【解析】过点A作AG⊥CD于G，根据题意得到CF=DF，AB=FG=1.6m，设AG=x m，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确地找出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)根据题意，y1=84+20x，
当3≤x≤24时，y2=40×3+32(x−3)=32x+24，
∴y1=84+20x，y2=32x+24(3≤x≤24)；
(2)040，选择乙公司比较合算，
140×2，选择乙公司比较合算，
240×3，选择乙公司比较合算；
当y1=y2时，20x+84=32x+24，
解得x=5，
此时选择甲乙公司一样合算；
当y1>y2时，20x+84>32x+24且x≥3，
解得3≤x<5，
此时选择乙公司合算；
当y1解得x>5，
此时选择甲公司合算；
∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算．
【解析】(1)根据题意分别求出甲公司和乙公司租车费用与x的函数关系式即可；
(2)分情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是分情况讨论．
23.【答案】80～90 72°
【解析】解：(1)补全频数分布表如下：
补全频数分布直方图如下：
(2)把抽取40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数都在“80～90”内，故这40名学生测试成绩的中位数落在“80～90”组内；
若绘制扇形统计图，则“70～80分”这组对应扇形的圆心角的度数是360°×840=72°；
故答案为：80～90，72°；
(3)1000×1840=450(名)，
答：估计全校1000名学生中对杭州亚运会知识了解情况达到良好等级的人数大约为450名．
(1)根据所给数据，即可将频数分布表中空缺部分补充完整，并补全频数分布直方图；
(2)根据中位数的定义可知这40名学生测试成绩的中位数落在“80～90”组内；用360°乘“60～70分”这组所占的百分比即可得出圆心角的度数；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图和用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：设圆的圆心为O，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，取AB的中点O，
连接DO交AC于H，
∵ED切⊙O于D，
∴OD⊥FD，∠FDO=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD=90°，
∴四边形FCHD为矩形，
∴DF=CH，DH⊥CA，
∵DH过点O，DH⊥CA，
∴CH=12AC
∴DF=12AC；
(2)解：连接BD，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠FBD=∠CAD，
∴tan∠FBD=tan∠CAD=2，
设AH=CH=FD=x，
∴FB=12x，DH=2x，
∴OH=2x−5，
∴BC=2OH=4x−10，
∴4x−10+12x=2x，
∴x=4，
∴BF=12x=2．
【解析】(1)设圆的圆心为O，根据圆周角定理得到AB为直径，连接DO交AC于H，根据切线的性质得到OD⊥FD，∠FDO=90°，根据矩形的性质得到DF=CH，DH⊥CA，于是得到结论；
(2)连接BD，根据圆内接四边形的性质得到∠FBD=∠CAD，求得tan∠FBD=tan∠CAD=2，设AH=CH=FD=x，得到FB=12x，DH=2x，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角函数的定义，矩形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设y=ax2+bx，
将(20,40)和(30,54)代入y=ax2+bx得，400a+20b=40900a+30b=54，
解得：a=−150,b=125，
∴y=−150x2+125x，
当y=0时，−150x2+125x=0，
解得x=120或x=0，
答：飞机落到水平安全线时飞行水平距离为120m；
(2)设y=−150x2+125x+c，
∵125+5=130，
∴125将(125,0)代入y=−150x2+125x+c得：c=12.5；
将(130,0)代入y=−150x2+125x+c得：c=26，
∴12.5答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．
【解析】(1)设y=ax2+bx，将(20,40)和(30,54)代入y=ax2+bx解方程组得到y=−150x2+125x，当y=0时，得到x=120，于是得到结论；
(2)设y=−150x2+125x+c，将(125,0)代入y=−150x2+125x+c得到c=12.5；将(130,0)代入y=−150x2+125x+c得到c=26，于是得到结论．
本题考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．
26.【答案】解：(1)连接OB，OC，如图，

∵点O是等边△ABC的内心，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO=30°，
∴OB=OC，∠BOC=120°
∵∠DOE=120°.，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD与△COE中，
∠BOD=∠COEOB=OC∠OBD=∠OCE，
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴BD=CE，OD=OE，
∴四边形ODBE的周长=BD+BE+EO+OD=BC+2OE，
∵BC=6，
∴当OE⊥BC时，OE最小，四边形ODBE周长最小，此时OE= 3，
∴四边形ODBE的周长的最小值=6+2 3；
(2)分别以AB、BC所在直线为对称轴，作点O关于AB的对称点为M，O关于BC的对称点为N，连接MN，交AB于点E1，交BC于点F1，连接BM、BN、EM、FN、OE1、OF1，如图，

则ME=OE，OF=FN．
∵两点之间线段最短，
∴ME+EF+NF≥MN，
∵△OEF周长=OE+EF+OF=ME+EF+NF，
∴△OEF周长的最小值是MN，
∵O、M关于AB对称，O、N关于BC对称，
∴BM=BN=BO=20m，∠BMN=∠BOE1，∠BNM=∠BOF1，∠EME1=∠EOE1，∠FNF1=∠FOF1，
∴∠EOF=∠E1OF1=60°．
∴∠BMN+∠BNM=∠BOE1+∠BOF1=∠E1OF1=60°，
∴∠MBN=120°，
∴∠BMN=∠BNM=30°，
过点B作BH⊥MN，

∴BH=10，MH=NH=10 3，
∴MN=20 3．
即OE、EF、FO和的最小值为20 3，
此时S四边形形EBFO=S△BEM+S△BFN=S△BMN−S△BEF，
∵S△BMN的面积为100 3，
∴当△BEF的面积最小时，四边形EBFO的面积最大，
在△BEF中，∠ABC=60°，MN上的高h=10(定角定高模型)，
∴当BE=BF时，△BEF的面积最小，且最小值为100 33，
∴四边形EBFO的面积最大值=100 3−100 33=200 33，
∵当BE=BF，∠ABC=60°时，∠BEM=∠BFN=120°=∠BEO=∠BFO=120°，得四边形EBFO为平行四边形，
∴此时平行四边形ABCD的面积=4×四边形EBFO的面积=800 33．
【解析】(1)连接OB，OC.先证明△BOD≌△COE，得出BD=CE，OD=OE，则四边形ODBE的周长=BD+BE+EO+OD=BC+2OE，当OE最小时，四边形ODBE周长最小，求出此时的OE即可解答；
(2)分别以AB、BC所在直线为对称轴，作点O关于AB的对称点为M，O关于BC的对称点为N，连接MN，交AB于点E1，交BC于点F1，连接BM、BN、EM、FN、OE1、OF1，得出△OEF周长的最小值是MN，再利用平行四边形的判定与性质求得▱ABCD的面积．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用轴对称的性质添加辅助线是解题的关键．课题
测量人工湖岸边一棵树的高度
成员
组长：瑛瑛
组员：小明、小华、小晴
测量工具
测角仪、皮尺
测量示意图及测量数据
说明：线段CF表示所要测量树的高度.测量者在岸边点B处清晰地看到这棵树倒映在平静的湖面上，并测得该树顶端C的仰角为30°，树的顶端C在水中的倒影D的俯角为45°.测量者的眼睛距湖面的高度AB=1.6m，点B，F在同一水平直线上，AB⊥BF，CF⊥BF，点A，B，C，D，F在同一平面内．
实施说明
测量树的顶端在水中倒影的俯角，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，经多次测量取其平均值.(光线的折射忽略不计)
分组
划记
人数(频数)
60～70
70～80
正
8
80～90
正正正
18
90～100
飞行水平距离x/m
0
20
30
50
80
…
飞行高度y/m
0
40
54
70
64
…
分组
划记
人数(频数)
60～70
正
4
70−80
正F
8
80～90
正正正下
18
90～100
正正
10