2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=x2−2的顶点坐标是( )
A. (−2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,−2)
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3AC，则tanB=( )
A. 13
B. 3
C. 1010
D. 3 1010
3.下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC=BD=64cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A. 76cmB. (64 2+12)cmC. (64 3+12)cmD. 64cm
5.在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4，若⊙C与AB相离，则半径为r满足( )
A. r>2
B. r<2
C. 0D. 06.如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的内切圆.小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为( )
A. 19B. 17C. 22D. 20
7.扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史.“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄.”这则谜语说的就是扇子.如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为135°，AB的长为30cm，贴纸部分的宽BD为20cm，则扇面面积为( )
A. 3752πcm2B. 300πcm2C. 600πcm2D. 30πcm2
8.若二次函数y=x2+2 5x+3m−1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是( )
A. m>13B. m<2
C. m<−2或m≥−13D. 13≤m<2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.在△ABC中，若|sinA−12|+( 22−csB)2=0，则∠C的度数是______．
10.在Rt△ABC中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为______ ．
11.如图，抛物线y=ax2+bx+c的一部分经过点A(−1,0)，且其对称轴是直线x=2，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是______ ．
12.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧.若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______ ．
13.已知抛物线C1：y=2x2−4x−1，抛物线C2是由抛物线C1向右平移3个单位得到的，那我们可以得到抛物线C1和抛物线C2一定关于某条直线对称，则这条直线为______ ．
14.如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6,8)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点.若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为______ ．
三、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1)2cs60°+|1−2sin45°|+(12)0．
(2) 1−2tan60°+tan260°−tan60°．
16.(本小题5分)
如图，点P是⊙O外一点.请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
17.(本小题6分)
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
(1)若P是CD上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数；
(2)已知△ADF的面积为2 3，求⊙O的面积．
18.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD，CH分别是AB边上的中线和高，BC=6，cs∠ACD=45，求AB，CH的长．
19.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
(1)求证：CB//PD；
(2)若BC=3，∠C=30°，求⊙O的直径．
20.(本小题6分)
如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离(即DE的长度)，昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E.且测得BC=3米，CD=28米．∠CDE=127°.已知小华的眼睛到地面的距离AB=1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34)
21.(本小题7分)
有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽CD=10m.按如图所示建立平面直角坐标系．

(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
22.(本小题8分)
如图所示，要在底边，BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．
(1)设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；
(2)设矩形EFGH的面积为S，当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？并求出最大值．
23.(本小题8分)
如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
(1)求证：直线PB与⊙O相切；
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3，PC=4.求弦CE的长．
24.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx−4经过点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴的交点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的左侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN.若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．
25.(本小题10分)
问题发现
(1)在△ABC中，AB=2，∠C=60°，则△ABC面积的最大值为______ ；
(2)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BCD=∠BAD=90°，AC=8，求BC+CD的值．
问题解决
(3)有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示.现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O=∠B=60°，OA=OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小.试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵y=x2−2，
∴抛物线的顶点坐标为(0,−2)，
故选：D．
利用二次函数的图象和性质，即可得出顶点坐标．
本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
2.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3AC，
∴tanB=ACBC=AC3AC=13．
故选：A．
根据正切函数的定义求解．
本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义．
3.【答案】B
【解析】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，正确．
③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确，
∴正确的有②④，共2个．
故选：B．
①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断．
本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4.【答案】A
【解析】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，
则Rt△ACE中，AE=12AC=12×64=32(cm)，
同理可得，BF=32cm，
又∵点A与B之间的距离为12cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm)，
故选：A．
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
5.【答案】C
【解析】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，
∴CD=12BC=2，
∵⊙C与AB相离，
∴半径r满足0故选：C．
根据三角形的面积公式得到CD=2，于是得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当R>d时，直线与圆相交；当R=d时，直线与圆相切；当R6.【答案】D
【解析】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，
∴四边形OHCG是正方形，
由切线长定理可知：AF=AG，
∵DE是⊙O的切线，
∴MD=DF，EM=EG，
∵∠ACB=90°，BC=5，AC=12，
∴AB= AC2+BC2=13，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴内切圆的半径=12(AC+BC−AB)=2，
∴CG=2，
∴AG=AC−CG=12−2=10，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=2AG=20．
故选：D．
设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，得四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知：AF=AG，根据DE是⊙O的切线，可得MD=MF，EM=EG，根据勾股定理可得AB=5，再求出内切圆的半径=12(AC+BC−AB)=2，进而可得△ADE的周长．
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB=30cm，BD=20cm，
∴AD=10cm，
∵∠BAC=135°，
∴扇面的面积=S扇形BAC−S扇形DAE
=135π×302360−135π×102360
=300π(cm2).
故选：B．
根据扇形的面积公式，利用扇面的面积=S扇形BAC−S扇形DAE进行计算．
此题主要考查了扇环的面积求法．一般情况下是让大扇形的面积减去小扇形的面积求阴影部分，即扇环面积．
8.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2+2 5x+3m−1经过第一、二、三象限，
∴Δ=(2 5)2−4(3m−1)>0且3m−1≥0，
解得13≤m<2．
故选：D．
利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，与y轴的交点不在负半轴上，即Δ>0，且3m−1≥0，然后解不等式组即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
9.【答案】105°
【解析】解：∵|sinA−12|+( 22−csB)2=0，
∴sinA−12=0， 22−csB=0，
即sinA=12，csB= 22，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=105°．
故答案为：105°．
先利用非负数的性质得到sinA−12=0， 22−csB=0，即sinA=12，csB= 22，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
10.【答案】25πcm2
【解析】解：∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB= 62+82=10(cm)，
∴外接圆的半径=5cm，
∴S外接圆=25π(cm2).
故答案为：25πcm2．
先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半可得出外接圆的半径，进而得出其面积．
本题主要考查了三角形的内切圆与外心，勾股定理，经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
11.【答案】x1=−1，x2=5
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(−1,0)，对称轴为直线x=2，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是(5,0)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=−1，x2=5．
故答案为：x1=−1，x2=5．
直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(−1,0)，得出另一个与x轴的交点，进而得出答案．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出抛物线与x轴的交点坐标是解题关键．
12.【答案】3π
【解析】解：如图，△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴AB的长=BC的长=AC的长=60π×3180=π，
∴这个“莱洛三角形”的周长是3π．
故答案为：3π．
弧长的计算公式：l=nπr180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r)，由此即可求解．
本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是掌握弧长的计算公式．
13.【答案】x=52
【解析】解：∵抛物线C1：y=2x2−4x−1=2(x−1)2−3，
∴抛物线C1对称轴为：直线x=1，
∵抛物线C2是由抛物线C1向右平移3个单位得到，
∴抛物线C2的对称轴为直线x=4，
∴抛物线C1和抛物线C2一定关于，直线x=1+42=52．
故答案为：x=52．
根据抛物线C1：y=2x2−4x+1=2(x−1)2−3，得出抛物线对称轴，再利用C2是由抛物线C1向右平移3个单位得到，得出抛物线C2的对称轴即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据已知得出抛物线C1的对称轴是解题关键．
14.【答案】(−14,0)
【解析】解：连接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=6、MQ=8，
∴OM=10，
又∵MP′=r=4，
∴OP′=MO+MP′=10+4=14，
∴AB=2OP′=2×14=28；
∴A点坐标为(−14,0)，
故答案为：(−14,0)．
由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最大值，据此求解可得．
本题主要考查点与圆的位置关系，得出AB取得最大值时点P的位置是解答本题的关键．
15.【答案】解：(1)原式=2×12+|1−2× 22|+1
=1+|1− 2|+1
=1+ 2−1+1
= 2+1；
(2)原式= (1−tan60°)2−tan60°
= (1− 3)2− 3
= 3−1− 3
=−1．
【解析】(1)利用特殊锐角三角函数值，绝对值的形式，零指数幂计算即可；
(2)利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值进行计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：如图，直线PT即为所求．

【解析】连接PO，作线段PO的垂直平分线垂足为R，以R为圆心，OR为半径作⊙R交⊙O一点T，作直线PT即可．
此题考查了作图−复杂作图，以及切线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示，在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB，∠AOF=360°6=60°，
∴∠APF=12∠AOF=30°，
∵AF=AB，
∴∠APB=∠APF=30°，
∴∠BPF=∠APB+∠APF=60°；
(2)∵∠A0F=60°，AO=FO，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAF=60°；
∴DF= 3AF，AD=2AF，
∴S△ADF=12AF×DF= 32AF2=2 3，
∴AF=2，即⊙O的半径为2，
∴⊙O的面积=π×22=4π．
【解析】(1)在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO，利用弦和圆周角的关系即可求出∠BPF的值；
(2)①证明△AOF是等边三角形即可求出；②利用三角函数求出DF= 3AF，AD=2AF，再根据△ADF的面积为2 3，求出半径即可求出．
此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．
18.【答案】解：∵CD是Rt△ABC的斜边中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴csA=cs∠ACD=45，
∵∠ACB=90°，在Rt△ABC中，
由于csA=ACAB=45，
可设AC=4x，则AB=5x，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2= (5x)2−(4x)2=3x，
∴3x=6，
即x=2，
∴AB=5x=10，AC=4x=8，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
∴12×8×6=12×10×CH，
解得CH=245．
答：AB=10，CH=245．
【解析】根据三角形中线的定义，等腰三角形性质以及锐角三角函数可得csA=ACAB=45，设AC=4x，则AB=5x，勾股定理可求出BC=3x=6，进而求出AB，再根据三角形面积公式求出CH即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
19.【答案】(1)证明：∵∠P=∠C，
而∠1=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB//PD；
(2)解：连接OC，如图，
∵∠1=30°，
∴∠P=30°，
∵CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠BOC=2∠P=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB=BC=3，
∴⊙O的直径为6．
【解析】(1)根据圆周角定理得∠P=∠C，而∠1=∠C，则∠1=∠P，于是根据平行线的判定即可得到CB//PB；
(2)解：连接OC，如图，有(1)得∠1=∠P=30°，再根据垂径定理得到BC=BD，则利用圆周角定理得∠BOC=2∠P=60°，于是可判断△BOC为等边三角形，所以OB=BC=3，
易得⊙O的直径为6．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
20.【答案】解：过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F，
设EF=x米，
∵∠CDE=127°，
∴∠DEF=127°−90°=37°，
在Rt△EDF中，tan∠DEF=DFEF，
则DF=EF⋅tan∠DEF≈34x，
由题意得：∠ACB=∠ECF，
∵∠ABC=∠EFC=90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴ABEF=BCFC，即1.5x=328+34x，
解得：x=22.4，
∴DF=34x=16.8，
∴DE=DFsin∠DEF≈16.835=28(米)，
答：DE的长度约为28米．
【解析】过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F，设EF=x米，根据正切的定义用x表示DF，证明△ABC∽△EFC，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意得，B(20,0)，C(5,3)，
设抛物线解析式为y=ax(x−20)，
∴5a(5−20)=3，
∴a=−125，
∴抛物线解析式为y=−125x(x−20)=−125x2+45x；
(2)船行驶到桥下的时间为：36÷6=6小时，
水位上升的高度为：0.3×6=1.8m．
∵抛物线解析式为y=−125x2+45x=−125(x−10)2+4，
∴抛物线顶点坐标为(10,4)，
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为4−1.8=2.2m>2m，
∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．
【解析】(1)根据题意可得B(20,0)，C(5,3)，然后利用待定系数法求解即可；
(2)先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵S△ABC=S△AHG+S梯形BCGH，
∴12×160×120=12y(120−x)+12x(y+160)，
化简得：y=−43x+160；
(2)把y=−43x+160代入S=xy，
得：S=−43x2+160x；
将S=−43x2+160x，
右边配方得：S=−43(x−60)2+4800；
∵−43(x−60)2≤0，
∴当−43(x−60)2=0时，即x=60时，S=−43(x−60)2+4800有最大值4800．
【解析】(1)由S△ABC=S△AHG+S梯形BCGH，可得12×160×120=12y(120−x)+12x(y+160)，继而求得答案；
(2)把y=−43x+160代入S=xy，即可求得S与x的函数关系式；由S=−43x2+160x，可得：S=−43(x−60)2+4800；则可求得矩形EFGH的面积S最大值．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC．
∴直线PB与⊙O相切；
(2)解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，
∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+(2x)2=62，
解得x=65 5．
则EC=2x=125 5．
【解析】此题考查了切线的判定、相似三角形的性质．注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题．
(1)连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证；
(2)设PO交⊙O于F，连接CF.根据勾股定理得PO=5，则PE=8.证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2.根据勾股定理求解CE．
24.【答案】解：(1)把A(−2,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx−4得：
4a−2b−4=016a+4b−4=0，
解得a=12b=−1，
∴抛物线的函数表达式为y=12x2−x−4；
(2)如图：

∵y=12x2−x−4=12(x−1)2−92，
∴抛物线y=12x2−x−4的对称轴是直线x=1，
在y=12x2−x−4中，令x=0得y=−4，
∴C(0,−4)，
∴OB=OC=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵△PMN和△OBC相似，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵PM⊥直线x=1，PN⊥x轴，
∴∠MPN=90°，PM=PN，
设P(m,12m2−m−4)，
∴|m−1|=|12m2−m−4|，
∴m−1=12m2−m−4或m−1=−12m2+m+4，
解得m= 10+2或m=− 10+2或m= 10或m=− 10，
∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x=1的左侧，
∴P的坐标为(− 10+2,− 10+1)或(− 10, 10+1)．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y=12x2−x−4；
(2)抛物线y=12x2−x−4的对称轴是直线x=1，C(0,−4)，可得△BOC是等腰直角三角形，根据△PMN和△OBC相似，可得PM=PN，设P(m,12m2−m−4)，即有|m−1|=|12m2−m−4|，解出m的值，再由点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x=1的右侧，即得P的坐标为( 10+2, 10+1)或( 10,1− 10).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
25.【答案】 3
【解析】解：(1)作△ABC的外接圆，
∵AB=2，∠C=60°，
∴当C处于点C′时，△ABC面积最大，
∵C′A=C′B，∠C′=60°，
∴△ABC′为等边三角形，边长为2，
过点C′作C′D⊥AB于D，
则AD=1，
∴C′D= C′A2−AD2= 3，
∴S△ABC=12AB⋅C′D=12×2× 3= 3，
故答案为： 3；
(2)如图1，
∵∠BCD=∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴可以将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠ADE=∠B，AE=AC，∠CAE=90°，
∴∠ADE+∠ADC=180°，
∴C、D、E在同一条直线上，
∴CD+DE=CE= 2AC=8 2；
(2)如图2，
连接OB，
∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴将△AOB绕O点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，
∴∠BOE=60°，OE=OB，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE=OB=30，∠BEO=60°，∠CBE=∠ABO=∠CEO，
∴∠CBE+∠CEB=60°，
∴∠BCE=120°，
∴∠CBE=30°，
∴△BOE的高为：30×sin60°=15 3，
∵S四边形OABC=S△AOB+S△BCO=S△COE+S△BCO
=S△BOE−S△BCE
=12×30×15 3−S△BCE
=225 3−S△BCE，
∴要使四边形OABC的面积最小，就要使△BCE的面积最大，
作正△BEF，作它的外接圆⊙I，作直径FC′，
当C与C′重合时，S△BCE最大，
S△BCE最大=12×30×(15× 33)=75 3，
∴S四边形OABC最小=225 3−75 3=150(cm2)，
此时OA=OC=12OEcs30∘=15 32=10 3(cm)．
(1)作△ABC的外接圆，当C处于点C′时，△ABC面积最大；
(2)将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，证明C、D、E在同一条直线上，由△ACE是等腰直角三角形得出结果；
(3)类比(1)的方法，将△AOB绕A点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，分析得：S四边形OABC=S△AOB+S△BCO=S△COE+S△BCO=S△BOE−S△BCE=225 3−S△BCE，故使△BCE的面积最大，因BE=30，∠BCE=120°，故作正△BEF，作它的外接圆⊙I，进而求得其最大值．
本题考查了用旋转构造图形，利用三角形全等和等腰(等边)三角形的性质和知识，解决问题的关键是作辅助线和利用“定弦对定角”等模型．