2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷附解析

这是一份2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷附解析，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在实数0，中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．C．D．0
2．（3分）下面图形中，经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为4dm，边框每条边的宽度为adm，则制作边框的木板面积为（ ）（不计接缝）
A．16adm2B．（4a2+16a）dm2
C．4a2dm2D．（a2+8a）dm2
4．（3分）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BE，DF交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝155°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
5．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝﹣x+b相交于点P（2，m），则关于x的不等式2x﹣b＞﹣x+1的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3
6．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为100°，∠ACB＝90°，连接DC交AB于点E，则∠AEC的度数为（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
7．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
8．（3分）一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为a﹣2，请你写出一个符合条件的多项式 ．
9．（3分）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特•丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝2BD，则tanB的值是 ．
11．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．（用＜号连接）
12．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E是AB边上一动点，过点E作对角线AC的垂线，分别交AC于点O、交直线CD于点F，则点E在运动过程中，AF+FE+EC的最小值是 ．
三、解答题（共13小题，计84分。解答应写出过程）
13．（5分）计算：．
14．（5分）解不等式：，并写出它的最大整数解．
15．（5分）化简：
16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC是对角线，∠ACB＝50°，请用尺规作图法，在CD边上求作一点P，使∠CPB＝40°．（不写作法，保留作图痕迹）
17．（5分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OD、OB上的点，且DE＝BF，连接CE，AF．求证：CE＝AF．
18．（5分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．慕梓睿在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“明”的概率为 ．
（2）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，不放回，格格再从剩余的三张中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
19．（6分）中国中央电视台2024年春晚的主题为——“龙行龘龘，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．龙行龘（dá dá）为中国古文，出自四库本《玉篇》23龙部第8字，文字释义为群龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某销售平台从2024年元旦开始经销一批印有“龘”字图案的T恤，1月份该T恤的销量约为5000件，3月份的销量约为7200件，且2，3月份销售量的增长率相同．
（1）求该款T恤销量的月平均增长率；
（2）3月份以后，该款T恤的销量逐渐减少，如果月销量平均下降率与平均增长率相同，估计5月份时该款T恤的销售量为 件．
20．（6分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为 ；
（2）表格中的m＝ ，s s（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
21．（7分）如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某校八年级的综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午8：00，在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后，收集甲容器的水面高度y（cm）和流水时间x（min）的部分数据如表：
（1）在平面直角坐标系中，描出了以表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，可判断：甲容器的水面高度y（cm）与流水时间x（min）之间的关系是初中阶段学过的 函数，并求出该函数表达式；
（2）请计算当时间为9：10时，甲容器中水面的高度下降了多少？
22．（7分）在一次数学课后，小娟和小丽进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是商业大厦EF、旗杆CD、小娟家所在的居民楼AB，她们的实践内容为测量商业大厦EF的高度．家住顶楼的小娟在窗户A处测得旗杆底部D的俯角∠1的度数，小丽在商业大厦顶部的窗户E处测得旗杆顶部C的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2互余．她们又在居民楼底部的B处测得旗杆顶部C的仰角为20°．已知F、D、B在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，且AB＝DF，BD＝65 米，测倾器的高度忽略不计．请根据以上信息求出商业大厦EF的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36）
23．（8分）已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝9，BC＝12，以AB为直径作圆O交AC于点E，点D，F分别在边BC，AB上，连接DE，CF，且满足DE＝DB，tan∠ACF＝．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求CF的长．
24．（8分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知
，C（0，3），以AC为边在AC 左侧作等边△ACD，点D在第二象限．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将等边△ACD 沿x轴方向平移，在抛物线的对称轴上存在一点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，请求出点E的坐标，并写出平移方式．
25．（12分）如图1，在△ABC的内部，以AC为斜边作Rt△ACD，AD＝CD，连接BD，∠CBD＝45°．
（1）如图2，过点D作DE⊥BD交BC点E，连接AE．若∠EDC＝20°，则∠DAE＝ °．
（2）如图3，点F为AC上一点，连接FD，过点A作AH⊥DF分别交DF于点G，交DC于点H，若AG＝2BD，∠CAH＝∠BCD，求证：BD＝GD；
（3）若AC＝20，sin，点M为直线BC上一点，连接DM，将△BDM沿直线DM翻折至△B′DM，连接B′A，B′C．当△AB′C的面积最大时，求△CDM的面积．
2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分。每个小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）在实数0，中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．C．D．0
【答案】A
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣＜0＜，
∴在实数0，中，最小的数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）下面图形中，经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据棱柱的特点作答．
【解答】解：A．能围成正方体，故本选项不符合题意；
B．能围成四棱柱，故本选项不符合题意；
C．能围成三棱柱，故本选项不符合题意；
D．经过折叠不能围成棱柱，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为4dm，边框每条边的宽度为adm，则制作边框的木板面积为（ ）（不计接缝）
A．16adm2B．（4a2+16a）dm2
C．4a2dm2D．（a2+8a）dm2
【答案】B
【分析】根据题意，总面积减去正方形油画的面积即可．
【解答】解：根据题意，制作边框的面积是：
（4+2a）2﹣42＝16+16a+4a2﹣16＝（4a2+16a）dm2，
故选：B．
4．（3分）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BE，DF交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝155°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥MN∥CD，
∴∠ABE+∠BPM＝180°，∠CDF+∠DPM＝180°，
又∵∠ABE＝155°，∠CDF＝160°，
∴∠BPM＝180°﹣∠ABE＝180°﹣155°＝25°，∠DPM＝180°﹣∠CDF＝180°﹣160°＝20°，
∴∠BPD＝∠BPM+∠DPM＝25°+20°＝45°，
∴∠EPF＝∠BPD＝45°．
故选：C．
5．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝﹣x+b相交于点P（2，m），则关于x的不等式2x﹣b＞﹣x+1的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3
【答案】B
【分析】以两函数图象交点为分界，直线y＝2x﹣1（k≠0）在直线y＝﹣x+b的上方时，x＞2．
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞﹣x+b的解集为x＞2，
即2x﹣b＞﹣x+1的解集为x＞2．
故选：B．
6．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为100°，∠ACB＝90°，连接DC交AB于点E，则∠AEC的度数为（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
【答案】C
【分析】根据题意可知点C在以AB为直径的圆上，根据圆心角和圆周角的关系求出∠ACD，再利用三角形内角和定理就可以求出答案．
【解答】解：根据题意可知点C在以AB为直径的圆上
设圆心为O，连接OD，则∠AOD＝100°，
∴∠ACD＝∠AOD＝50°，
∴∠AEC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAE＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：C．
7．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3＝（x﹣m）2+2m+3，
∴图象开口向上，顶点为（m，2m+3），对称轴为直线x＝m，
∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴﹣≤m．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
8．（3分）一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为a﹣2，请你写出一个符合条件的多项式 a（a﹣2）+b（a﹣2）（答案不唯一） ．
【答案】a（a﹣2）+b（a﹣2）（答案不唯一）．
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得出结论．
【解答】解：a（a﹣2）+b（a﹣2）＝（a﹣2）（a+b）．
故答案为：a（a﹣2）+b（a﹣2）（答案不唯一）
9．（3分）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特•丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 36 度．
【答案】36．
【分析】先求得正五边形一个内角的度数为72°，再由正五边形的内角与它相邻的外角互为补角求得正五边形一个内角的度数为108°，观察图形可知菱形的最小内角的顶点处有三个正五边形的内角，即可求得菱形的最小内角为36°．
【解答】解：∵正五边形一个外角的度数为×360°＝72°，
∴正五边形一个内角的度数为180°﹣72°＝108°，
∵图中菱形的最小内角的顶点处有三个正五边形的内角，
∴360°﹣3×108°＝36°，
∴菱形的最小内角为36°，
故答案为：36．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝2BD，则tanB的值是 ．
【答案】．
【分析】由余角的性质推出∠ACD＝∠B，即可证明△ACD∽△CBD，得到AD：CD＝CD：BD，求出CD＝BD，于是得到tanB＝．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴AD：CD＝CD：BD，
∵AD＝2BD，
∴CD＝BD，
∴tanB＝．
故答案为：．
11．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y3＜y1 ．（用＜号连接）
【答案】y2＜y3＜y1．
【分析】根据反比例函数的性质先判断图象分布的信息，再判断函数在各个象限内的增减性即可判断大小．
【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣3﹣m2＜0，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，y随x的增大而增大，
∵A（﹣2，y1）在第二象限，
∴y1＞0，
∵1＜3，
∴y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
12．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E是AB边上一动点，过点E作对角线AC的垂线，分别交AC于点O、交直线CD于点F，则点E在运动过程中，AF+FE+EC的最小值是 15+3 ．
【答案】15+3．
【分析】过点B作BM∥EF交DC于M，过点A作AN∥EF，使AN＝EF，连接NE，NC，推出AF+EC的最小值为NC，FE为定值，再分别求出NC、FE的长度即可．
【解答】解：过点B作DM∥EF交DC于M，过点A作AN∥EF，使AN＝EF，连接NE，NC，
∴四边形ANEF是平行四边形，
∴AN＝EF，AF＝NE，
∴AF+EC＝NE+EC≥NC，
即AF+CE最小的最小值为NC，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝6，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝12，AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝6，
∴四边形EFMB是平行四边形，
∴BM＝EF，
∴BM＝EF＝AN，
∵EF⊥AC，
∴BM⊥AC，AN⊥AC，
∴∠CAN＝90°，
∴∠MBC+∠ACB＝90°＝∠ACB+∠ACD，
∴∠MBC＝∠ACD，
∴tan∠MBC＝tan∠ACD，
∴＝，即＝，
∴MC＝3，
∴BM＝＝＝＝AN＝EF，
∴CN＝＝15，
∵AF+FE+EC≥NC+EF，
∴AF+FE+EC≥15+3，
∴AF+FE+EC的最小值为15+3，
故答案为：15+3．
三、解答题（共13小题，计84分。解答应写出过程）
13．（5分）计算：．
【答案】5+2．
【分析】先计算负整数指数幂、绝对值和二次根式，再计算加减．
【解答】解：
＝9+2﹣1﹣3
＝5+2．
14．（5分）解不等式：，并写出它的最大整数解．
【答案】﹣2．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．
【解答】解：，
3x+1﹣2＞4x，
3x﹣4x＞2﹣1，
﹣x＞1，
x＜﹣1，
故不等式：最大的整数解为﹣2．
15．（5分）化简：
【答案】﹣．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝﹣．
16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC是对角线，∠ACB＝50°，请用尺规作图法，在CD边上求作一点P，使∠CPB＝40°．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解答．
【分析】结合圆周角定理，先作线段AC的垂直平分线，交AC于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交CD于点P，则可得∠CPB＝∠CAB＝40°，则点P即为所求．
【解答】解：如图，先作线段AC的垂直平分线，交AC于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交CD于点P，
则∠CPB＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝50°，
∴∠CAB＝40°，
∴∠CPB＝40°，
则点P即为所求．
17．（5分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OD、OB上的点，且DE＝BF，连接CE，AF．求证：CE＝AF．
【答案】证明见解答．
【分析】由平行四边形的性质得OD＝OB，OC＝OA，而DE＝BF，可推导出OE＝OF，即可根据“SAS”证明△COE≌△AOF，得CE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OD＝OB，OC＝OA，
∵DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，
∴OE＝OF，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（SAS），
∴CE＝AF．
18．（5分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．慕梓睿在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“明”的概率为 ．
（2）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，不放回，格格再从剩余的三张中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种，
∴抽取卡片上的文字是“明”的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果有：CD，DC，共2种，
∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为＝．
19．（6分）中国中央电视台2024年春晚的主题为——“龙行龘龘，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．龙行龘（dá dá）为中国古文，出自四库本《玉篇》23龙部第8字，文字释义为群龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某销售平台从2024年元旦开始经销一批印有“龘”字图案的T恤，1月份该T恤的销量约为5000件，3月份的销量约为7200件，且2，3月份销售量的增长率相同．
（1）求该款T恤销量的月平均增长率；
（2）3月份以后，该款T恤的销量逐渐减少，如果月销量平均下降率与平均增长率相同，估计5月份时该款T恤的销售量为 4608 件．
【答案】（1）20%；
（2）4608．
【分析】（1）设该款T恤销量的月平均增长率为x，利用3月份该T恤的销量＝1月份该T恤的销量×（1+该款T恤销量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用5月份该T恤的销量＝3月份该T恤的销量×（1﹣该款T恤销量的月平均增长率）2，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该款T恤销量的月平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该款T恤销量的月平均增长率为20%；
（2）根据题意得：7200×（1﹣20%）2＝4608（件），
∴估计5月份时该款T恤的销售量为4608件．
故答案为：4608．
20．（6分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为 72° ；
（2）表格中的m＝ 7.5 ，s ＜ s（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
【答案】（1）补全频数分布直方图见解答；72°．
（2）7.5；＜．
（3）见解答．
【分析】（1）求出甲公司配送速度得分为9分的频数，补全频数分布直方图即可；用360°乘以扇形统计图中“7分”的百分比，即可得扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）根据中位数的定义可得m的值；根据方差的意义可得答案．
（3）根据配送速度和服务质量得分统计表分析即可．
【解答】解：（1）甲公司配送速度得分为9分的频数为10﹣2﹣3﹣1﹣1＝3．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中圆心角α的度数为360°×（1﹣10%﹣40%﹣20%﹣10%）＝72°．
（2）由频数分布直方图可得，m＝（7+8）÷2＝7.5．
由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小，
∴s甲2＜s乙2．
故答案为：7.5；＜．
（3）选择乙公司．
理由：乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司，说明乙公司的整体配送速度较快（答案不唯一，合理即可）．
21．（7分）如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某校八年级的综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午8：00，在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后，收集甲容器的水面高度y（cm）和流水时间x（min）的部分数据如表：
（1）在平面直角坐标系中，描出了以表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，可判断：甲容器的水面高度y（cm）与流水时间x（min）之间的关系是初中阶段学过的 一次 函数，并求出该函数表达式；
（2）请计算当时间为9：10时，甲容器中水面的高度下降了多少？
【答案】（1）作图见解析；一次；y＝﹣x+30；（2）14厘米．
【分析】（1）依据题意，根据数据作图即可判断得解；又设水面高度y与流水时间x之间的函数关系式为y＝kx+b，进而代入数据可以建立方程组得解；
（2）依据题意，结合（1）的解析式求出此时水面的高度，然后可以判断．
【解答】解：（1）由题意得，作图如下．
∴甲容器的水面高度y（cm）与流水时间x（min）之间的关系是初中阶段学过的一次函数．
故答案为：一次．
又设水面高度y与流水时间x之间的函数关系式为y＝kx+b，
把（0，30），（10，28）代入得：，
解得，
∴水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为y＝﹣x+30．
（2）由题意，当时间为9：10时，经过的时间x＝70，
∴y＝﹣×70+30＝16．
∴流水时间为70分钟时，水面高度为16厘米．
∴甲容器中水面的高度下降了的距离为：30﹣16＝14（厘米）．
答：甲容器中水面的高度下降了的距离为14厘米．
22．（7分）在一次数学课后，小娟和小丽进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是商业大厦EF、旗杆CD、小娟家所在的居民楼AB，她们的实践内容为测量商业大厦EF的高度．家住顶楼的小娟在窗户A处测得旗杆底部D的俯角∠1的度数，小丽在商业大厦顶部的窗户E处测得旗杆顶部C的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2互余．她们又在居民楼底部的B处测得旗杆顶部C的仰角为20°．已知F、D、B在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，且AB＝DF，BD＝65 米，测倾器的高度忽略不计．请根据以上信息求出商业大厦EF的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】商业大厦EF的高度约为88米．
【分析】延长DC交EG于点H，根据题意可得：EF＝DH，EH＝DF，∠MAB＝90°，DH⊥EG，AB⊥BD，从而可得∠EHC＝∠ABD＝90°，再根据同角的余角相等可得∠2＝∠DAB，然后利用等量代换可得AB＝EH，从而利用ASA可证△ABD≌△EHC，进而可得BD＝CH＝65米，最后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长DC交EG于点H，
由题意得：EF＝DH，EH＝DF，∠MAB＝90°，DH⊥EG，AB⊥BD，
∴∠EHC＝∠ABD＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠DAB＝90°，
∴∠2＝∠DAB，
∵AB＝DF，
∴AB＝EH，
∴△ABD≌△EHC（ASA），
∴BD＝CH＝65米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝20°，
∴CD＝BD•tan20°≈65×0.36＝23.4（米），
∴EF＝DH＝CD+CH＝23.4+65≈88（米），
∴商业大厦EF的高度约为88米．
23．（8分）已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝9，BC＝12，以AB为直径作圆O交AC于点E，点D，F分别在边BC，AB上，连接DE，CF，且满足DE＝DB，tan∠ACF＝．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求CF的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）CF的长为4．
【分析】（1）连接OE，先利用SSS证明△OBD≌△OED，然后利用全等三角形的性质可求出∠OED＝90°，即可解答；
（2）过点F作FG⊥AC，垂足为G，根据垂直定义可得∠AGF＝90°，再在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC＝15，然后证明△AGF∽△ABC，从而利用相似三角形的性质可得＝＝，进而设AG＝3a，则FG＝4a，在Rt△FCG中，利用锐角三角函数的定义求出CG＝12a，再利用AC＝15，列出关于a的方程，即可求出FG，CG的长，最后在Rt△CFG中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OB＝OE，OD＝OD，DB＝DE，
∴△OBD≌△OED（SSS），
∴∠OED＝∠OBD＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）过点F作FG⊥AC，垂足为G，
∴∠AGF＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝9，BC＝12，
∴AC＝＝＝15，
∵∠A＝∠A，∠AGF＝∠ABC＝90°，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴设AG＝3a，则FG＝4a，
在Rt△FCG中，tan∠ACF＝＝，
∴CG＝3FG＝12a，
∵AG+CG＝AC，
∴3a+12a＝15，
∴a＝1，
∴FG＝4，CG＝12，
∴CF＝＝＝4，
∴CF的长为4．
24．（8分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知
，C（0，3），以AC为边在AC 左侧作等边△ACD，点D在第二象限．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将等边△ACD 沿x轴方向平移，在抛物线的对称轴上存在一点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，请求出点E的坐标，并写出平移方式．
【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）E（，0），将等边△ACD 沿x轴向左平移个单位或E（，0），将等边△ACD 沿x轴向右平移个单位或E（，6），将等边△ACD 沿x轴向右平移个单位时，以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）求出A（﹣，0），∠DCA＝∠CAO＝60°，DC＝AC＝2，即可得D（﹣2，3），由y＝﹣x2+x+3可知，抛物线对称轴为直线x＝，设将等边△ACD 沿x轴方向平移t个单位（当t＞0时，向右平移，当t＜0时向左平移），E（，m），则平移后A（﹣+t，0），C（t，3），D（﹣2+t，3），分三种情况列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）把B（2，0），C（0，3）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）在y＝﹣x2+x+3中，令y＝0得0＝﹣x2+x+3，
解得x＝﹣或x＝2，
∴A（﹣，0），
∴OA＝，OC＝3，
∴tan∠CAO＝＝，AC＝＝2，
∴∠CAO＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DCA＝∠CAO＝60°，DC＝AC＝2，
∴DC∥OA，
∴D（﹣2，3），
由y＝﹣x2+x+3可知，抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
设将等边△ACD 沿x轴方向平移t个单位（当t＞0时，向右平移，当t＜0时向左平移），E（，m），
则平移后A（﹣+t，0），C（t，3），D（﹣2+t，3），
①以AC，DE为对角线时，
∵AD＝CD，
∴当四边形ADCE是平行四边形时，四边形ADCE为菱形，
∵平行四边形两条对角线的中点重合，
∴，
解得，
∴E（，0），将等边△ACD 沿x轴向左平移个单位；
②以AD，CE为对角线时，
∵AC＝CD，
∴当四边形AEDC是平行四边形时，四边形AEDC为菱形，
∵平行四边形两条对角线的中点重合，
∴，
解得，
∴E（，0），将等边△ACD 沿x轴向右平移个单位；
③以AE，CD为对角线时，
∵AD＝AC，
∴当四边形ADEC是平行四边形时，四边形ADEC为菱形，
∵平行四边形两条对角线的中点重合，
∴，
解得，
∴E（，6），将等边△ACD 沿x轴向右平移个单位；
综上所述，E（，0），将等边△ACD 沿x轴向左平移个单位或E（，0），将等边△ACD 沿x轴向右平移个单位或E（，6），将等边△ACD 沿x轴向右平移个单位时，以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形．
25．（12分）如图1，在△ABC的内部，以AC为斜边作Rt△ACD，AD＝CD，连接BD，∠CBD＝45°．
（1）如图2，过点D作DE⊥BD交BC点E，连接AE．若∠EDC＝20°，则∠DAE＝ 25 °．
（2）如图3，点F为AC上一点，连接FD，过点A作AH⊥DF分别交DF于点G，交DC于点H，若AG＝2BD，∠CAH＝∠BCD，求证：BD＝GD；
（3）若AC＝20，sin，点M为直线BC上一点，连接DM，将△BDM沿直线DM翻折至△B′DM，连接B′A，B′C．当△AB′C的面积最大时，求△CDM的面积．
【答案】（1）25；
（2）见解析；
（3）50+10．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BDE＝90°＝∠ADC，求得∠BDE+∠EDC＝∠ADC+∠EDC，根据全等三角形的性质得到∠BCD＝∠EAD，根据三角形的外角的性质得到∠DAE＝∠BED﹣∠BCD＝45﹣20＝25°；
（2）如图2，取AG中点N，连接DN，过点D作DM⊥BD于点D，交BC于点M，则AG＝2AN＝2NG，求得∠CAD＝∠1+∠5＝45°，根据全等三角形的性质得到∠AND＝∠CMD，求得∠DNG＝∠DMB＝45°根据等腰直角三角形的性质得到DG＝NG，求得DG＝BD；
（3）由翻折可知，BM＝B′M，BD＝B′D，则点B′在以D为圆心，BD为半径的圆上，作DT⊥BC，B′P⊥AC，B′Q⊥CD，由S△AB′C＝AC•B′P，得到当B′P取最大值时，S△AB′C最大，而B′P≤DP+B′D推出当B′P经过圆心D时，S△AB′C最大，根据等腰直角三角形的性质得到AD＝CD＝AC＝10，当B′P经过圆心D，则DP平分∠ADC，根据三角函数的定义得到DT＝CD•sin∠BCD＝10×＝2，根据勾股定理得到CT＝＝4，求得tan∠BCD＝＝，根据等腰直角三角形的性质得到BT＝DT＝2，BD＝B′D＝BT＝4，∠MBD＝135°，求得B′Q＝DQ＝DB′＝2，CQ＝CD+DQ＝10+2，根据折叠的性质得到∠MB′D＝∠MBD＝135°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°＝∠ADC，则∠BDE+∠EDC＝∠ADC+∠EDC，
∴∠BDC＝∠EDA，
又∵∠CBD＝45°，
∴∠DEB＝45°，则BD＝ED，
∵AD＝CD，
∴△BDC≌△EDA（SAS），
∴∠BCD＝∠EAD，
∵∠BED＝∠CDE+∠BCD，
∴∠DAE＝∠BED﹣∠BCD＝45﹣20＝25°，
故答案为：25；
（2）证明：如图2，取AG中点N，连接DN，过点D作DM⊥BD于点D，交BC于点M，则AG＝2AN＝2NG，
∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠CAD＝∠1+∠5＝45°，
∵DM⊥BD，∠CBD＝45°
∴∠DMB＝45°，则BD＝DM，
∵AG＝2BD，
∴DM＝AN＝BD＝NG，
∵∠AHD＝∠1+∠3，∠ACB＝∠2+∠3，且∠AHD＝∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∵∠DMB＝∠2+∠4＝45°，∠CAD＝∠1+∠5＝45°，
∴∠4＝∠5，
∴△ADN≌△DCM（SAS），
∴∠AND＝∠CMD，
∴∠DNG＝∠DMB＝45°
又∵AH⊥DF，则△DNG为等腰直角三角形，
∴DG＝NG，
又∵BD＝NG，
∴DG＝BD；
（3）由翻折可知，BM＝B′M，BD＝B′D，则点B′在以D为圆心，BD为半径的圆上，
作DT⊥BC，B′P⊥AC，B′Q⊥CD，
∵S△AB′C＝AC•B′P，则当B′P取最大值时，S△AB′C最大，而B′P≤DP+B′D
∴当B′P经过圆心D时，S△AB′C最大，
由题意可知，△ADC为等腰直角三角形，则AD＝CD＝AC＝10，
∵当B′P经过圆心D，则DP平分∠ADC，
∴∠CDP＝45°，则∠B′DQ＝45°，
∴△B′DQ为等腰直角三角形，则∠QB′D＝45°，
∵sin，
∴DT＝CD•sin∠BCD＝10×＝2，
CT＝＝4，则tan∠BCD＝＝，
∵∠CBD＝45°，则△BDT为等腰直角三角形，
∴BT＝DT＝2，BD＝B′D＝BT＝4，∠MBD＝135°，
则B′Q＝DQ＝DB′＝2，CQ＝CD+DQ＝10+2，
由翻折可知，∠MB′D＝∠MBD＝135°，
∵∠QB′D＝45°，
∴M，B′，Q三点在同一直线上，
∴MQ＝CQ•tan∠BCD＝5+，
∴S△CDM＝CD•MQ＝×10×（5）＝50+10．
项目
统计量 快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
s
乙
8
8
7
s
记录时间
8：00
8：10
8：25
8：30
8：40
流水时间x/min
0
10
25
30
40
水面高度y/cm
30
28
25
24
22
项目
统计量 快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
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乙
8
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8：00
8：10
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流水时间x/min
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