2022年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学三模试卷（含解析）

2022年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学三模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列各数中，是无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 第届冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，，为的角平分线，，则为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，矩形的对角线、交于点，，，则的值为

A.
B.
C.
D.

6. 已知一次函数的图象，绕轴上一点旋转，所得的图象经过，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，为的弦，为的中点，为圆上一点，，的半径为，则圆心到弦的距离是

A.
B.
C.
D.

8. 已知二次函数，当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 比较大小： ______ 填“”、“”或“”
10. 如图，六边形为正六边形，四边形为正方形，则的度数为______．
    
    
     

11. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则的值为______．
12. 如图，在▱中，已知于点，于点，若，，则▱的面积为______．

13. 如图，在▱中，，，，是▱内一动点，且，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分）

14. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
15. 解不等式：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 化简：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，已知锐角，请在边上求作一点，使，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    
     

18. 已知：如图，点、在上，与交于点，，，求证：．

19. 李优用元买了甲、乙两种书共本，甲种书每本元，乙种书每本元，李优买甲、乙两种书各多少本？
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，、、、四张卡通图片是西安进行核酸检测的贴纸“清零四宝”，卡片的正面分别印有：大熊猫，：金丝猴，：羚牛，：朱鹦这四个图案这四张卡片除正面图安外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀．
    从中随机抽取一张，抽得的卡片是“大熊猫”图案的概率是______；
    若从这四张卡通图片中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片上的动物均为哺乳动物的概率．

21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”如图，张红武和袁浪浪测量袁浪浪的弟弟所放风筝的高度，已知张红武站着测量，眼睛与地面的距离是米，看风筝头部的仰角为，袁浪浪蹲着测量，眼睛与地面的距离是米，看风筝头部的仰角为两人相距米且位于风筝同侧点、、在同一直线上求风筝的高度．结果精确到米，参考数据：，，

22. 某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月平均用水量单位：根据调查结果，绘制出的条形统计图和扇形统计图如下：
    根据以上信息，解答下列问题：
    直接补全上面条形统计图，______；
    本次调查的家庭月平均用水量的众数是______，中位数是______；
    该社区共计有户家庭，请你估计该社区的月平均用水量．

23. 某校为改善办学条件，计划购进、两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表：

如果在线上购买、两种书架个，共花费元，设其中种书架购买个，求关于的函数关系式；
在的条件下，若购买种书架的数量不少于种书架的倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．






 

24. 如图，是的直径，点为上一点，的外角平分线交于点，与相切，交的延长线于点，连接．
    求证：；
    若，，求的长．
    
     

25. 已知抛物线：，其顶点为．
    求点的坐标；
    若为抛物线上一点，抛物线关于点所在直线对称的抛物线为，点的对应点为，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
26. 问题探究
    如图，在四边形中，，，，，，请求出四边形的面积；
    问题解决
    如图，在四边形中，，，，某工厂需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合图中条件的四边形，裁取时要求尽可能节约，你能求出此时四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形面积的最小值；如果不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
无限不循环小数叫做无理数，据此判断即可．
本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
 

2.【答案】

【解析】

解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：

．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：，
，
为的角平分线，
，
，
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补得出，进而利用角平分线的定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：四边形是矩形，
，，，
，，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
根据矩形性质可得是等边三角形，进而可以解决问题．
本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．
 

6.【答案】

【解析】

解：一次函数的图象，绕轴上一点旋转，所得的图象经过，
设旋转后的函数解析式为，
在一次函数中，令，则有，解得：，
即一次函数与轴交点为．
一次函数中，令，则有，解得：，
即一次函数与轴交点为．
，
故选：．
根据题意得出旋转后的函数解析式为，然后根据解析式求得与轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式．本题属于基础题，难度不大．
 

7.【答案】

【解析】

解：如图，

连接、，交于点，
点是弧中点，
，
，
，
，
，
，
故圆心到弦的距离为．
故选：．
根据题意连接、，交于点，根据垂径定理推出，再由圆周角定理推出，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，，从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用．
 

8.【答案】

【解析】

解：二次函数，当时，函数的最小值为，
该函数的对称轴在轴右侧，，，
，
当时，函数的最小值为，
当时，，
将代入，可得舍去，，
故选：．
根据二次函数，当时，函数的最小值为，可知该函数的对称轴在轴右侧，，，再根据当时，函数的最小值为，即可得到的值，然后将的值代入入，即可得到的值．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是求出的值，利用二次函数的性质解答．
 

9.【答案】

【解析】

解：，，
又，，
．
故答案为：．
运用平方法，将和分别平方即可比较大小．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是运用平方法．
 

10.【答案】

【解析】

解：为正六边形，为正方形，
，
，
正六边形的每一个内角是，正方形的每个内角是，
，
，
．
故答案为：．
分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出的大小，即可求解．
本题考查正多边形的内角．熟练掌握正多边形内角的求法是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：点在反比例函数的图象上，
，点关于轴的对称点为，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：．
根据点关于轴的对称点为，表示，再根据点在反比例函数，点在反比例函数的图象上，表示、、然后再计算．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于轴的对称点的坐标特点，熟练掌握这两个知识点的综合应用，其中反比例函数图象上点的坐标特征的应用是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：设，则，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
▱的面积，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
解得：，，
▱的面积．
故答案为：．
设，则，根据勾股定理得出，根据平行四边形的面积列方程可表示的长，最后利用勾股定理列方程可得的长，最后利用平行四边形的面积解答即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，平行四边形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：如图所示，过作直线，作点关于的对称点，连接，交于，交于，连接，则，，，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，
，，
，，
又，
，
，
，
，
中，，
的最小值为，
故答案为：．
过作直线，作点关于的对称点，连接，交于，交于，连接，依据轴对称的性质可得，当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，依据勾股定理求得的长，即可得到的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题以及三角形的面积，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

14.【答案】

解：原式

．
 

【解析】

直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】

解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】

解：



．
 

【解析】

先对括号内的式子通分，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】

解：如图所示，点即为所求．
 

【解析】

根据垂线的定义即可得到结论．
本题考查作图复杂作图，垂线的作法，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】

证明：，
为等腰三角形，
，
在和中，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
即．
 

【解析】

由，得出为等腰三角形，即，再判定≌，根据，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定，解题关键是能判定出≌．
 

19.【答案】

解：设李优买甲种书本，乙种书本，
由题意得：，
解得：，
答：李优买甲种书本，乙种书本．
 

【解析】

设李优买甲种书本，乙种书本，由题意：李优用元买了甲、乙两种书共本，甲种书每本元，乙种书每本元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确率二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】

解：从中随机抽取一张，抽得的卡片是“大熊猫”图案的概率是；
故答案为：；

根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中这两张卡片上的动物均为哺乳动物的有种，
则这两张卡片上的动物均为哺乳动物的概率是．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中这两张卡片上的动物均为哺乳动物的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】

解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
风筝的高度为米．
 

【解析】

过点作，垂足为，过点作，垂足为，可得，米，米，设米，米，则然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】

【解析】

解：个，，
的值是，
故答案为：；
月平均用水量的家庭数为，
第个数是，第个数是，
中位数是，
月平均用水量的家庭数最多，
众数是，
故答案为：，；
．
答：估计该社区的月平均用水量为．
根据月平均用水量的家庭数和所占的百分比可得总数，再根据月平均用水量的家庭是个可得的值；
根据众数和中位数的定义解答即可；
用样本估计总体即可．
本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．
 

23.【答案】

根据题意，得：
．
根据题意，得：，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小为，
线下购买时的花费为：，
此时，购买种书架：个，
线上比线下节约：元，
购买种书架个，种书架个；线上比线下节约元．
 

【解析】

买种书架的花费买种书架的花费运费，列式即可；
根据购买种书架的数量不少于种书架的倍，求出的取值范围，再根据第小题的函数关系式，求出的最小值即线上的花费，在求出线下需要的花费即可．
本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第小题的关键是能根据函数的增减性，求出的最小值．
 

24.【答案】

证明：连接，
与相切，
．
，
，
是的平分线，
，
，
．
，
即，
是的直径，点在上，
，
；
解：过作，
，四边形是矩形，
，
，，
∽，
，
，
，
，
．
 

【解析】

连接，根据切线的性质得到根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
过作，根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，矩形的性质和判定，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】

解：，
顶点；
存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下：
点在直线上，
，
，
 ，
点与点关于对称，
，
过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
≌，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
解得舍或或，
或．
 

【解析】

由，求解即可；
由题意可得，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明≌，则，又由，，可得，即可求或．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
 

26.【答案】

解：如图中，连接，作于．

在中，，，
，，
在中，，
，
，，
是等边三角形，
，
；

能．如图中，，，
是等边三角形，将绕点顺时针旋转得到，连接．

，，
是等边三角形，
，
当面积最大时，四边形的面积最小，
，，
，
，
，
点在定圆上运动，当、、共线时，的面积最大，此时，
设交于，则，
，
，在上取一点，使得，则是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
的面积最大值，
四边形的面积的最小值．
 

【解析】

如图中，连接，作于在中，求出，，在中，，分别求出，的面积即可解决问题．
能．因为是等边三角形，所以可以将绕点顺时针旋转得到，连接由，可知当面积最大时，四边形的面积最小，只要求出的面积的最大值即可解决问题．
本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理，度直角三角形的性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．