2024年浙江省九年级中考数学适应性练习试卷解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：B．
华为Mate60Pr手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：，
故选：C．
3.下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方分别计算，对各项进行判断即可．
【详解】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、原计算错误，故该选项不符合题意；
C、a3和a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D、正确，故该选项符合题意；
故选：D．
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图示，可得，，据此逐项判断即可．
【详解】解：根据图示，可得，，
，，
，
，
选项A符合题意；
，，
，，
，
选项B不符合题意；
，，
，
选项C不符合题意；
，，
，
选项D不符合题意．
故选：A．
5．为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．20、15B．20、17.5C．20、20D．15、15
【答案】B
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据.
【详解】20出现了9次,出现的次数最多,所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元;
30个数据中,第15个和第16个数分别为15、20,它们的平均数为17.5,所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元.
故选B.
如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．
若AB=2，则OE的长度为（ ）
A．62B．6C．22D．23
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AC=22，AO=12AC=2，
∵△ACE为等边三角形 ，
∴∠EAO=60°，
∵OE⊥AC，
∴∠AEO=90°-∠OEA=30°，
在Rt△AOE中，AO=2，∠AEO=30°，
∴OE=3AO=3×2=6，
故答案为：B.
7．如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
【答案】D
【详解】根据圆周的度数为360°，
可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，
然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
可求得∠B=130°．
故选D
8．2023年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，
小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）

A．15B．16C．17D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解，
【详解】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选:．
9 .如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：
①，②如果，那么，③，④；
其中正确结论的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据菱形的性质及等边三角形的判定与性质对每一项判断即可得到正确选项．
【详解】解：∵由作法得到垂直平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴②正确；
∵，
∴，
∴③错误；
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故④正确．
∴正确的有个，
故选：．
如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，
连接交，，于点，，，若，，是的四等分点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质．连接，，则点，，，，在同一条直线上，且，设，依题意得，，证和相似得，则，进而可求出，，则，然后在中由勾股定理求出，则，据此可得的值．
【详解】解：连接，，如下图所示：
，，是的四等分点
点，，，，在同一条直线上，
，
设，
依题意得：，，
，
∴，
，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，共24分。
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解可得结果
【详解】原式=
=．
故答案为：
在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．
每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，
通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则估计袋子中的红球有 个．
【答案】14
【分析】根据口袋中有6个白球和若干个红球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，
从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.3，
设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
估计袋子中的红球有14个，
故答案为：14．
13 .某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，
某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：
在平面内，，的延长线交于点F；若，则的度数为_______

【答案】
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为 （结果保留）．

【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，
利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，
若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为 ．
【答案】
【分析】先根据正方形的性质证明，由CO和 CH的值表示NO，NB，进而得出，由AM=ON得出a与b的关系，再将点E代入反比例函数关系式，求出a和b的值，即可求解．
【详解】解：过E作轴于H，
设，，
过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵点F与点E分别是BC，CD的中点，
∴，
∴，
∴OF=CH．
∵点F是BC的中点，，
∴，，
同理，
则，，，
故，
则点，
将点E的坐标代入，
得，而，
解得：，，，
故答案为：．
如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．
若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
【答案】
【分析】利用矩形和折叠的性质，证明，，推出，那么，设，在中，通过勾股定理可求出的长度，
本题考查了，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，特殊角直角三角形，解题的关键是：通过翻折的性质得到．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
由翻折知，，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设，则BE＝B'E＝x－，
∵，
∴
解得： （负值舍去）， ，
故答案为：．
解答题：本题共8小题，共66分。其中：第17-19题6分，第20-21题8分，
第22-23题10分，第24题12分。
17．（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；
（2）计算：．
【答案】（1），见解析；（2）2
【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，并在数轴上表示出解集即可；
（2）根据零指数幂与负整数指数幂的运算法则、分母有理化及特殊角三角函数分别计算，最后计算即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示，
∴原不等式组的解集为．
（2）
．
18．已知关于x的一元二次方程x2-3x+m-3=0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；
（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-3x+m-3=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-3)2-4(m-3)>0，即9-4m+12>0，
∴m<214；
（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-3x+m-3=0的两个实数根，x1，x2且互为倒数，
∴x1+x2=3，x1x2=1，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=9-2=7．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=3，x1x2=1，再将其代入x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2计算即可.
19．图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，支点A为的中点，且．
(1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
(2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
【答案】(1)支点到桌面的距离
(2)支撑面下端到桌面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质，
（1）过点B作，则，在中，，，，，进行计算即可得；
（2）过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，则，，根据题意和平行线的性质得，根据角之间的关系和三角形内角和定理得，，，在中，，，，，计算得，根据，支点A为的中点得，根据三角形内角和定理得，在中，，，，，计算得，根据，得四边形是矩形，则，即可得，
掌握锐角三角形函数，平行线的判定与性质，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作，
∴，
在中，，，，，
即，
，
即支点到桌面的距离．
（2）解：如图所示，过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，支点A为的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
则支撑面下端到桌面的距离：
，
即支撑面下端到桌面的距离为．
20．某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示）
【答案】（1）（人）；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，
从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数为（人）；
（2）书画的人数为（人），戏曲的人数为（人），
补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为（人）；
（4）列表得：
∵共有种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为
21．在平面直角坐标系xOy中，直线y= 12 x+b与双曲线y= 6x 的一个交点为A（m，3）．
（1）求m和b的值；
（2）过A的直线交双曲线于另一点B，交x轴于点C，若AC=3BC，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）解：把点A（m，3）的再把代入y= 6x 得到m=2，
再把A（2，3）的再把代入y= 12 x+b，3=1+b，解得b=2，
所以m=2，b=2
（2）解：如图，
①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
∵AE∥BF，
∴AEBF = ACBC = 31 ，
∴3BF = 31 ，
∴BF=1，
∴B（﹣6，﹣1）．②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
∵AE∥BF，
∴AEBF = ACBC = 31 ，
∴3BF = 31 ，
∴BF=1，
∴B（6，1），
综上所述，满足条件的点B坐标为（﹣6，﹣1）或（6，1）
已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），
且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．
【答案】（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c，
解得：c=1，
∴c的值是1；
（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=﹣1﹣a，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴ax2+bx+1=0中，b2﹣4ac=（﹣1﹣a）2﹣4a=a2﹣2a+1＞0，
∴a≠1且a＞0，
∴a的取值范围是a≠1且a＞0；
（3）证明：∵0＜a＜1，
∴B在A的右边，
设A（m，0），B（n，0），
∵ax2+（﹣1﹣a）x+1=0，
由根与系数的关系得：m+n=1+aa，mn=1a，
∴AB=n﹣m=(m+n)2-4mn=1-aa，
把y=1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，
解得：x1=0，x2=1+aa，
∴CD=1+aa，
过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，则MN⊥x轴，如图，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴PMPN=CDAB，
∴PN1-PN=1+aa1-aa，
∴PN=1-a2，PM=1+a2，
∴S1﹣S2=12·1+aa·1+a2－12·1-aa·1-a2=1，
即不论a为何值，S1﹣S2的值都是常数．
在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
24 .如图1，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，P是线段上一点，
过A、O、P三点的圆与的图像交于点D．点C的坐标为，连接交圆于点E．

(1)求的度数；
(2)如图2，连接，，，当时，
①判断的形状，并说明理由；
②求点D的坐标．
如图1，设点P的横坐标为m，的值是否会随m的变化而变化？
若变化，请用含m的式子表示；若不变，请求出这个值．
【答案】(1)
(2)①是等腰直角三角形，见解析②
(3)不变，，见解析
【分析】（1）根据一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，
得到，继而得到，根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．
（2）①根据平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定证明即可．
②连接，过点D作于点F，设与y轴的交点为G，利用圆周角定理，勾股定理，三角函数计算即可．
（3）先用m表示线段，代入化简计算即可．
【详解】（1）∵一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）①∵，，
∴，，，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，连接，过点D作于点F，设与y轴的交点为G，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
设，则，
∴，

∵是等腰直角三角形，
∴是圆的直径，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴
解得（舍去），
∴，，
故点．
（3）的值是定值，且为．理由如下：
如图，连接，
∵，，，
∴，

∴，，，
在中，，
∵，
∴是圆的直径，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的值是定值，且为．
每天使用零花钱（单位：元）
5
10
15
20
25
人数
2
5
8
9
6