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2024浙江省宁波市九年级数学学业水平考试适应性三模练习试卷（原卷+解析）
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这是一份2024浙江省宁波市九年级数学学业水平考试适应性三模练习试卷（原卷+解析），文件包含2024浙江省宁波市九年级学业水平考试数学适应性三模练习试卷解析doc、2024浙江省宁波市九年级学业水平考试数学适应性三模练习试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
2．如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
【详解】
解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形．
故选：B．
3 .在比例尺为的宁波地图上，量得杭州湾大桥在地图上的距离为厘米，
则桥实际长度用科学记数法可表示为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知, 桥实际长度为厘米米，的3后面有4个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：B．
4 . 某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．
若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有（ ）
A．75人B．90人C．108人D．150人
【答案】B
【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数．
【详解】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：60÷20%=300，
劳动实践小组有：300×30%=90（人），
故选：B．
5. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由解不等式组的方法求得解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】，
由①得：
，
由②得：，
，
．
在数轴上表示为．
故选：B
在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中
随机抽取两名同学担任本周的值周长，
那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键．
运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故选：D．
如图是某同学参加的滑雪项目，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，
当他沿斜坡滑雪道直线滑行80米，则他下降的高度为（ ）
A．米 B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点A作地面于点C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：过点A作地面于点C，
在中，米，，
∵，
∴（米），
故选：A．
《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：
“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：
“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，
此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”
如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：．
故选：C
如图，点在上，，连接并延长，交于点，
连接，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由两直线平行内错角相等、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和得到、，从而确定，再由圆周角定理求解即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理得，
，
，
，
，
故选：C．
如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，
作于点于点于点K，交于点L．
若正方形与正方形的面积之比为5，则的值等于（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
设交于P，过C作于N，设正方形边长为m，，证明可得，根据勾股定理可求得，，由得，，通过，进而求两个正方形的面积的比．
【详解】设交于P，过C作于N，如图：
设正方形边长为m，
∴正方形面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为5，
∴正方形的面积为，
∴，
由已知可得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
AP=，
∴，即P为中点，
∵，
∴
∵，，
∴，
即
∴，，
∴
，
∴
故选：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12 .一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
13. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，
假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm（结果保留）．
【答案】
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
14. 《算学启蒙》中记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则列出方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
设快马x天可追上慢马，则慢马行的时间为天，根据路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得：．
故答案为：．
15 . 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，
若的面积为6，则 .
【答案】4
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．
将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，
连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，
连接HE，则 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可知，是的中点，是斜边上的中线，故有，设，则，在中，由勾股定理得，可求 的值，如图，作，四边形是矩形，，有即，可求的值，进而可求的值，根据，求的值，进而可求的值．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线
∴，
∴
∴是的中点
∴是斜边上的中线
∴
∴
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如图，作
∵
∴四边形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案为：．
解答题：本题共8小题，共66分。其中：第17-19题6分，第20-21题8分，
第22-23题10分，第24题12分。
17. （1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算和特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）先算绝对值、立方根、负整指数幂、特殊角的三角函数值，再算加减法即可；
（2）先算乘法，再算加减，得到化简结果，再把代入计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
当时，原式
18. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高，计算得__________．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1）作图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点；
（2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点．
【小问1详解】
就是所求作的高，如图所示，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：
【小问2详解】
如图所示，点E就是求作点，
19.某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，
并把条形统计图补充完整；
依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，
则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
(4)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】(1)40；36；见解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（2）由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，
已知信号塔与斜坡的坡顶B在同一水平面上，
兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为，
然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为．
（参考数据：，，）
(1)求坡顶B到地面的距离；
(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到1米）．
【答案】(1)坡顶到地面的距离为米；
(2)联通信号发射塔的高度约为米．
【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知可，
从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
延长交于点，根据题意可得：米，，
然后设米，则米，
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，
最后在中，利用锐角三角函数的定义可，
从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，
由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
（米），
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
（米），
联通信号发射塔的高度约为米．
低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．
“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．
某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，
乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，
销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，
每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围．
【答案】（1）该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元
（2）优惠幅度的范围是15元至85元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程组和函数关系是解题的关键．
（1）根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元”建立方程组求解即可；
（2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为、元，根据题意得，
，
解得：，
答：该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元；
【小问2详解】
设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润元，根据题意得，
，
∵，二次函数的图象的开口向下，
当时，有，
解得：，
∵为整数，
∴，，
当时，，
∴
答：优惠幅度的范围是15元至85元．
某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，
大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，
相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，
如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），
需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)米
【分析】
（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）
解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）
如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
23. 综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，
使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？
【答案】（1）当点与点重合时，四边形是菱形，
证明见解析；（2）4；（3）当时，始终有与对角线平行
【解析】
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，
利用菱形判定定理即可得出答案；
设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，
再证明，可求得，进而可得，
再由，可求得，，，
运用勾股定理可得；
（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下：
设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）四边形是矩形，，，，
，，，
，，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
；
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
∴当时，始终有与对角线平行．
24 .如图①，是的半径，点P是上一动点，过P作弦弦，垂足为E，
连结，，，．
求证：．
当时，求证：．
如图②，在（2）的条件下，连结．
① 若的面积为12，，求的面积．
② 当P是的中点时，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)①，②
【分析】（1）延长交圆与F，连接，利用同弧所对的圆周角相等得出，
进而可证，进而可得．
连接，由直径所对的圆周角为直角可得，，
由平行的性质可得，根据等角得余角相等可得，
由同弧所对的圆周角相等可得，，
进而可得，即可证．
①由余弦的定义可得：，由勾股定理可得，
由同角的余弦相等可得，设，则，
由勾股定理可得，进而，由平行的性质可得，
进而可求出，，由，求出，
进而根据三角形面积公式可求出的面积． ②过点O作于H，
根据垂径定理得，结合中位线得E是的中点，
设，可求得，由勾股定理得，
进一步证得，有解得，则有，即可求得．
【详解】（1）解：延长交圆与F，连接．
∴，
∵与E，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
（2）连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与E，
∴
∵
∴，
又∵，
∴
∴．
（3）①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
解得：，
∴．
②过点O作于H，
∴，
∵，
∴，
∵P是的中点，
∴E是的中点，
设，则，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的值为．
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
2．如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
【详解】
解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形．
故选：B．
3 .在比例尺为的宁波地图上，量得杭州湾大桥在地图上的距离为厘米，
则桥实际长度用科学记数法可表示为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知, 桥实际长度为厘米米，的3后面有4个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：B．
4 . 某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．
若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有（ ）
A．75人B．90人C．108人D．150人
【答案】B
【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数．
【详解】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：60÷20%=300，
劳动实践小组有：300×30%=90（人），
故选：B．
5. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由解不等式组的方法求得解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】，
由①得：
，
由②得：，
，
．
在数轴上表示为．
故选：B
在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中
随机抽取两名同学担任本周的值周长，
那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键．
运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故选：D．
如图是某同学参加的滑雪项目，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，
当他沿斜坡滑雪道直线滑行80米，则他下降的高度为（ ）
A．米 B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点A作地面于点C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：过点A作地面于点C，
在中，米，，
∵，
∴（米），
故选：A．
《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：
“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：
“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，
此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”
如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：．
故选：C
如图，点在上，，连接并延长，交于点，
连接，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由两直线平行内错角相等、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和得到、，从而确定，再由圆周角定理求解即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理得，
，
，
，
，
故选：C．
如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，
作于点于点于点K，交于点L．
若正方形与正方形的面积之比为5，则的值等于（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
设交于P，过C作于N，设正方形边长为m，，证明可得，根据勾股定理可求得，，由得，，通过，进而求两个正方形的面积的比．
【详解】设交于P，过C作于N，如图：
设正方形边长为m，
∴正方形面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为5，
∴正方形的面积为，
∴，
由已知可得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
AP=，
∴，即P为中点，
∵，
∴
∵，，
∴，
即
∴，，
∴
，
∴
故选：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12 .一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
13. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，
假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm（结果保留）．
【答案】
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
14. 《算学启蒙》中记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则列出方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
设快马x天可追上慢马，则慢马行的时间为天，根据路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得：．
故答案为：．
15 . 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，
若的面积为6，则 .
【答案】4
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．
将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，
连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，
连接HE，则 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可知，是的中点，是斜边上的中线，故有，设，则，在中，由勾股定理得，可求 的值，如图，作，四边形是矩形，，有即，可求的值，进而可求的值，根据，求的值，进而可求的值．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线
∴，
∴
∴是的中点
∴是斜边上的中线
∴
∴
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如图，作
∵
∴四边形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案为：．
解答题：本题共8小题，共66分。其中：第17-19题6分，第20-21题8分，
第22-23题10分，第24题12分。
17. （1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算和特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）先算绝对值、立方根、负整指数幂、特殊角的三角函数值，再算加减法即可；
（2）先算乘法，再算加减，得到化简结果，再把代入计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
当时，原式
18. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高，计算得__________．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1）作图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点；
（2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点．
【小问1详解】
就是所求作的高，如图所示，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：
【小问2详解】
如图所示，点E就是求作点，
19.某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，
并把条形统计图补充完整；
依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，
则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
(4)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】(1)40；36；见解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（2）由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，
已知信号塔与斜坡的坡顶B在同一水平面上，
兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为，
然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为．
（参考数据：，，）
(1)求坡顶B到地面的距离；
(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到1米）．
【答案】(1)坡顶到地面的距离为米；
(2)联通信号发射塔的高度约为米．
【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知可，
从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
延长交于点，根据题意可得：米，，
然后设米，则米，
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，
最后在中，利用锐角三角函数的定义可，
从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，
由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
（米），
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
（米），
联通信号发射塔的高度约为米．
低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．
“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．
某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，
乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，
销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，
每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围．
【答案】（1）该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元
（2）优惠幅度的范围是15元至85元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程组和函数关系是解题的关键．
（1）根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元”建立方程组求解即可；
（2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为、元，根据题意得，
，
解得：，
答：该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元；
【小问2详解】
设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润元，根据题意得，
，
∵，二次函数的图象的开口向下，
当时，有，
解得：，
∵为整数，
∴，，
当时，，
∴
答：优惠幅度的范围是15元至85元．
某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，
大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，
相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，
如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），
需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)米
【分析】
（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）
解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）
如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
23. 综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，
使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？
【答案】（1）当点与点重合时，四边形是菱形，
证明见解析；（2）4；（3）当时，始终有与对角线平行
【解析】
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，
利用菱形判定定理即可得出答案；
设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，
再证明，可求得，进而可得，
再由，可求得，，，
运用勾股定理可得；
（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下：
设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）四边形是矩形，，，，
，，，
，，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
；
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
∴当时，始终有与对角线平行．
24 .如图①，是的半径，点P是上一动点，过P作弦弦，垂足为E，
连结，，，．
求证：．
当时，求证：．
如图②，在（2）的条件下，连结．
① 若的面积为12，，求的面积．
② 当P是的中点时，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)①，②
【分析】（1）延长交圆与F，连接，利用同弧所对的圆周角相等得出，
进而可证，进而可得．
连接，由直径所对的圆周角为直角可得，，
由平行的性质可得，根据等角得余角相等可得，
由同弧所对的圆周角相等可得，，
进而可得，即可证．
①由余弦的定义可得：，由勾股定理可得，
由同角的余弦相等可得，设，则，
由勾股定理可得，进而，由平行的性质可得，
进而可求出，，由，求出，
进而根据三角形面积公式可求出的面积． ②过点O作于H，
根据垂径定理得，结合中位线得E是的中点，
设，可求得，由勾股定理得，
进一步证得，有解得，则有，即可求得．
【详解】（1）解：延长交圆与F，连接．
∴，
∵与E，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
（2）连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与E，
∴
∵
∴，
又∵，
∴
∴．
（3）①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
解得：，
∴．
②过点O作于H，
∴，
∵，
∴，
∵P是的中点，
∴E是的中点，
设，则，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的值为．
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