2023年浙江省金华市部分学校中考数学适应性试卷（含解析）

2023年浙江省金华市部分学校中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  年冬奥会在北京举行，据了解北京冬奥会的预算规模为亿美元，其中亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上当时，的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，按下列步骤作图：以为圆心，适当长为半径画弧交，于点，点；分别以，为圆心，适当长为半径画弧，两弧的交点为；作射线若射线经过点，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形已知为较长直角边，，则正方形的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图是一座立交桥的示意图道路宽度忽略不计，为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点的距离与时间的对应关系如图所示，结合题目信息，下列说法错误的是(    )
 

A. 甲车从口出，乙车从口出 B. 立交桥总长为
C. 从口出比从口出多行驶 D. 乙车在立交桥上共行驶

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  二次根式中字母的取值范围是______．

12.  分解因式：          ．

13.  一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除分别标有的数字，，，不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一个小球不放回，再任意摸出一个小球，则两次摸出的小球上所标数字之和为正数的概率是______．

14.  现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽接缝处不重叠，那么剪去的扇形纸片的圆心角为______．

15.  如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点，若点关于直线的对称点恰好落在的中位线上，则的长为______．

16.  如图是一款重型订书机，其结构示意图如图所示，其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，厘米，不使用时，，是中点，，且点在的延长线上，则的长为______ 厘米；使用时如图，按压使得，此时点落在上，若厘米，则压杆到底座的距离为______ 厘米．
 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
在的方格中，、、均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．

在线段上找一点，使得；
作，使得为格点；
作，且、为格点．

20.  本小题分
“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“、、、”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表表，图：
血型统计表

本次随机抽取献血者人数为______人，图中______；
补全表中的数据；
若这次活动中该校有人义务献血，估计大约有多少人是型血？
现有个自愿献血者，人为型，人为型，人为型，若在人中随机挑选人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率．

21.  本小题分
如图，已知抛物线经过、两点．
求抛物线的解析式和顶点坐标；
当时，求的取值范围；
点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．

22.  本小题分
公园草坪上有一架秋千，秋千静止时，底端到地面的距离为，从竖直位置开始，向右可摆动的最大夹角为，，已知秋千的长．

如图，当向右摆动到最大夹角时，求到地面的距离；
如图，若有人在点右侧搭建了一个等腰帐篷，已知，，帐篷的高为，秋千摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？

23.  本小题分
如图，直线与反比例函数分别交于点、，经探索研究发现：结论始终成立另一直线交线段于点，交反比例函数图象于点．
当时．
求反比例函数的解析式．
若，求点的坐标．
当：：时，请直接写出与的数量关系．

24.  本小题分
菱形的对角线，相交于点，点是射线上一个动点，过点作交射线于点，以，为邻边作矩形．
如图，当点在线段上时，求证：；
若，，直线与直线交于点，将沿直线翻折得到．
求的最小值；
当是等腰三角形时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，正确．
故选：．
分别根据完全平方公式，积的乘方运算法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
故选：．
找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，
，
，
，
．
故选：．
根据得到，依据，，由角的和差关系可求．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

是的直径，弦，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
即的半径为，
故选：．
连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理可得，证出为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．
此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
设，，
，
，
解得，
．
故选：．
根据正弦函数的定义即可直接求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由作法得平分，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
设，则，，
，
∽，
，即，解得，
即的长为．
故选：．
先利用勾股定理计算出，利用基本作图得到平分，再证明得到，设，则，，接着证明∽，利用相似比得到，然后解方程即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了相似三角形的判定与性质．
 

9.【答案】 

【解析】分析
设则正方形的面积，由题意可知，由此即可解决问题．
本题主要考查勾股定理，正确表示出直角三角形两直角边长、小正方形的边长是解题的关键．
解答
解：
设则正方形的面积
由题意可知，
，
，
，
正方形的面积为，
，
正方形的面积，
故选C．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据两车运行时间，可知甲车从口出，乙车从口出，故A正确；
由图象可知，两车通过、、弧时每段所用时间均为，
通过直行道，，时，每段用时为．
所以立交桥总长为，故B正确；
根据两车运行路线，从口驶出比从口多走，弧长之和，
用时为，则多走，故C正确；
根据题意乙车行驶时间为：秒，故D错误；
故选：．
根据题意，根据弧长公式并结合图象问题可得．
本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式与公式法相结合的因式分解．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，两次摸出的小球上所标数字之和为正数的结果有种，
两次摸出的小球上所标数字之和为正数的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，两次摸出的小球上所标数字之和为正数的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．
 

14.【答案】 

【解析】解：
解得：，
扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是
剪去的扇形纸片的圆心角为．
剪去的扇形纸片的圆心角为．
故答案为．
已知扇形底面半径是，就可以知道展开图扇形的弧长是，根据弧长公式得到．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：取、的中点、，连接、、．
如图中，当点落在上时，设，

由题意可知：，，，，
在中，，
，
解得．

如图中，当点落在上时，设，

在中，，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
．

如图中，当点落在直线上时，易证四边形是正方形，可得．

，
此时点在中位线的延长线上，不符合题意．
综上所述，满足条件的线段的长为或．
故答案为：或．
取、的中点、，连接、、分三种情形：如图中，当点落在上时；如图中，当点落在上时；如图中，当点落在直线上时，分别求解即可解决问题；
本题考查轴对称、三角形的中位线、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
 

16.【答案】； 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
延长，则过点，根据和厘米可得的长；过点作于，可得，利用勾股定理可得的长，最后利用三角函数可得答案．
【解答】
解：如图，延长，则过点，

四边形是矩形，，
，
，
即，
，
是中点，
厘米，
如图，过点作于，
，
，
，
在中，厘米，
，
，
即，
厘米．
故答案为：；．  

17.【答案】解：

． 

【解析】

【分析】第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项去绝对值，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，最后合并即可得出结论．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．  

18.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

19.【答案】解：如下图：

点即为所求；
即为所求；
线段即为所求． 

【解析】根据相似三角形的性质作图；
根据等底等高作三角形；
根据网格线的特征作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握相似三角形的性质和三角形的面积公式是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：这次随机抽取的献血者人数为人，
所以；
故答案为，；

型献血的人数为人，
型献血的人数为人，

故答案为，；

从献血者人群中任抽取一人，其血型是型的概率，
，
估计这人中大约有人是型血；

画树状图如图所示，

所以．
用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算的值；
先计算出型的人数，再计算出型人数，从而可补全上表中的数据；
用样本中型的人数除以得到血型是型的概率，然后用乘以此概率可估计这人中是型血的人数；
画出树状图，根据概率公式即可得到结果．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图．
 

21.【答案】解：把、两点坐标代入得，
，解得，，
二次函数的关系式为，
答：二次函数的关系式为，顶点坐标为；
当时，，
当时，，
所以当时，；
，
，
，
又抛物线的顶点坐标为，
点在轴上方的抛物线上，
当时，即，
解得，，，
点的坐标为或． 

【解析】把、两点坐标代入可求出、，进而确定函数关系式，再将二次函数写出顶点式，进而得出顶点坐标；
根据抛物线的关系式，求出当、时相应的的值即可；
求出的长为，要使，则其高为，再在抛物线上找一点使其纵坐标的绝对值为即可．
本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数、、是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：过作于，
在中，，
，
，
，
到地面的距离为；
当秋千摆动的夹角最大时，由知，，
，
，
∽，
，
，
，
，
当恰好在帐篷的边时，，，
，
会撞到，
移动的距离为． 

【解析】过作于，解直角三角形即可得到结论；
当秋千摆动的夹角最大时，由知，，由∽可知，求得，当恰好在帐篷的边时，，，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：针对于直线，令，则，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作轴于，

，
，
∽，
，
，
，，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数的解析式为；

，
，
，
，
，
过点作轴于，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
直线的解析式为，
联立，解得，舍或，
；

：：，
，则，
，
，
同的方法得，点，
过点作轴于，
同的方法得，∽，
，
，
，，
，
，
将点坐标代入直线中，解得，
，
将点的坐标代入反比例函数的图象上，
． 

【解析】先求出，，进而求出，再根据，求出，再判断出∽，得出，进而求出，即可得出结论；
先求出，同的方法求出点，进而得出直线的解析式为，即可得出结论；
先设出，得出，进而得出，同的方法求出点，代入直线解析式中得出，进而求出点的坐标，将点坐标代入反比例函数解析式中，即可让得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直线和双曲线的交点坐标的求法，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形，求出点的坐标是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，，
；
解：设，则，，
，
令，
由于抛物线开口向上，
当，
，
即；
：若，则在的垂直平分线上，显然不成立；
：若，设，则，令与交于，

由翻折而得，
为中点，且，
，
，
在中，，，，，
，
解得：，
；
：若，则在的垂直平分线上，显然不成立，
综上所述，． 

【解析】证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，得，，进而得结论；
根据抛物线的最小值解答即可；
根据翻折的性质和等腰三角形的性质分三种情况解答即可．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，抛物线的性质，关键是根据菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，抛物线的性质解答．