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宁夏银川市唐徕中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（原卷版+解析版）
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高一年级数学试卷
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数运算规则、复数的定义解决问题.
【详解】由，得，所以复数的虚部为2.
故选：C.
2. 已知是两个单位向量，则以下四个结论中正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合向量数量积、共线向量举例说明判断AB；利用单位向量的定义判断CD.
【详解】对于A，令，显然不共线，A错误；
对于B，令，显然，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D
3. 已知是平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. 4C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线定理，列方程求即可.
【详解】因为三点共线，
所以，共线，又是平面内两个不共线向量，
所以可设，因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
4. 如图，在梯形中，，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量基本定理和线性运算计算即可.
【详解】因为，，
则，
故选：A.
5. 一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（ ）
A. B. 26C. 8D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，，
所以，所以对该物体所做的功为.
故选：A
6. 若对于向量，是一个单位向量，，与的夹角为，，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】因为是一个单位向量，，与的夹角为，所以，
所以.
故选：D
7. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为S，且，，则外接圆的半径为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理求得正确答案.
【详解】依题意，，即，
，，
，所以，
则为锐角，所以，
所以外接圆的半径为.
故选：C
8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，从而可求，或，进而可得为直角，或，即可判断三角形的形状.
【详解】，
由正弦定理可得：，
可得：，
，可得：，
，可得：，
，或，
为直角，或，
的形状为等腰三角形或直角三角形.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组向量中，可以作为基底的有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答.
【详解】由于零向量与任意非零向量都共线，所以，共线，不可以作为基底，A错误；
由于，所以，不共线，可以作为基底，B正确；
由于，所以，不共线，可以作为基底，C正确；
由于，所以，共线，不可以作为基底，D错误.
故选：BC
10. 已知复数满足（为虚数单位），下列说法正确的有 （ ）
A. 复数在复平面内对应的点在第四象限B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数运算化简复数，根据几何意义判断A，根据共轭复数概念判断B，根据复数模的运算判断C，根据的周期性计算判断D.
【详解】因为，所以，
所以对应点在第四象限，故A正确；，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC
11. 已知，则（ ）
A. B. 若与夹角为
C. 若，则的坐标可以是D. 在方向上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用垂直关系坐标表示求出，再利用向量的坐标运算，结合夹角公式、投影向量的意义逐项判断.
【详解】依题意，，解得，，
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，则与不垂直，C错误；
对于D，在方向上的投影向量，D正确.
故选：ABD
12. 在中，已知，若为内（含边界）一动点，，则下列结论正确的是 （ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 的面积的取值范围是D. 的面积的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意知在以为直径的圆上，A中由余弦定理在中求；B中若，在中由正弦定理可得，即可求；C中结合二倍角正弦函数及正弦函数的性质，利用三角形面积求解即可；D中结合图形知在圆与的交点上时的面积最大，即可求解.
【详解】
由题意知：如上图示，在以为直径的圆上，因为，
所以，所以，.
对于A：时，，，易知，
故在中，，则，错误；
对于B：，若，则，，
所以在中，，即，可得，
所以，正确；
对于C：因为，
又，所以，所以，
即的面积的取值范围是，正确；
对于D：由图知，当在圆与的交点时，
，
即的面积的最大值是，正确.
故选：BCD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分. ）
13. 若向量，，满足，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件对平方化简计算，然后再开方即可.
【详解】因为，，，
所以，所以.
故答案为：
14. 如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得.
【详解】在中，，
，
由正弦定理得，则，
在中，，因此，
所以这颗银杏树的高度为.
故答案为：
15. 在中，的对边分别为，已知，若有唯一解，则实数的取值范围为_________________.
【答案】或
【解析】
【分析】转化为有唯一解，再计算即可.
【详解】因为，
由题意可知，若有唯一解，则有唯一解，
所以或，
即实数的取值范围为或.
故答案为：或.
16. 如图，在边长为3的等边三角形中，交于点点满足，过点的直线交于点，交于点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，在和中，利用正弦定理得，，从而利用两角和差正弦公式化简得，最后利用正弦函数的性质求得最大值.
【详解】在边长为3的等边三角形中，，
所以为的中心，且，，
设，则，
在中，由正弦定理得即，
所以，
同理在中，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，即的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在平面直角坐标系中，点为原点，.
（1）求的坐标以及的值；
（2）若，且，求实数的值.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用向量坐标运算求得坐标，再利用向量模长的坐标运算求解即可.
（2）利用向量数量积的坐标运算求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，又，所以，
因为，所以，所以.
18. 已知不共线两个向量，并且.
（1）若是的中点，用表示；
（2）如果，求夹角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接运用计算即可；
（2）根据平面向量数量积的运算律对进行平方，展开即可得，再根据计算可得.
【小问1详解】
因为，E是BC的中点，
所以；
【小问2详解】
由得，即
又，所以，
所以，因为，
所以，即与的夹角为.
19. 设复数，为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若纯虚数，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入的值，再去计算即可.
（2）先将进行化简，因为是纯虚数，说明实部为0，且虚部不为0，从而求出，再求出模.
【小问1详解】
当时，，.
【小问2详解】
，
因为其为纯虚数，则，解得，
则，.
20. 如图所示，某海域的东西方向上分别有两个观测塔，它们相距海里，现观测塔发现有一艘轮船在点发出求救信号，经观测得知点位于点北偏东同时观测塔也发现了求救信号，经观测点位于点北偏西，这时位于点南偏西且与相距30海里的点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.
（1）求点到点的距离；
（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点大约需要多少分钟.
【答案】（1）20海里
（2）分钟
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理解三角形计算即可；
（2）利用余弦定理解三角形计算即可.
【小问1详解】
由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：，即，
所以（海里）；
【小问2详解】
在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，所以需要的时间为（分钟）.
21. 在中，角所对的边分别为，向量，且.
（1）求角；
（2）若，求的面积；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案；
（2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可；
（3）设，，代入结合两角和与差的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为向量，且，所以，
由正弦定理可知：，
又，所以，所以，则，
又，所以；
【小问2详解】
因为，，，
由余弦定理可得，可得，解得或（舍），
所以的面积为；
【小问3详解】
由（1）得，设，
因为，则，
则，
因为，所以，所以.
22. 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
（1）若，求x－y的值；
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将化成和后，与已知条件比较得，由此即可求出结果；
（2）设，（），将用表示，根据数量积公式，转化二次函数，即可求出结果；
（3）先根据向量共线和三点共线可知存在实数，使得，存在使得，化简整理，根据系数相等可得，再与进行数量积运算即可得到结果．
【小问1详解】
解：（1）∵，所以
∵，
又，
∴，∴；
【小问2详解】
解：设，（）
因为在三角形中，，，，
∴，
∴
；
又，所以，
故的取值范围为
【小问3详解】
解：∵三点共线，
∴存在实数，使得，
∵为的中点，
∴，
又三点共线，∴存在使得，
∴，
∴，解得，
.
高一年级数学试卷
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数运算规则、复数的定义解决问题.
【详解】由，得，所以复数的虚部为2.
故选：C.
2. 已知是两个单位向量，则以下四个结论中正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合向量数量积、共线向量举例说明判断AB；利用单位向量的定义判断CD.
【详解】对于A，令，显然不共线，A错误；
对于B，令，显然，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D
3. 已知是平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. 4C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线定理，列方程求即可.
【详解】因为三点共线，
所以，共线，又是平面内两个不共线向量，
所以可设，因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
4. 如图，在梯形中，，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量基本定理和线性运算计算即可.
【详解】因为，，
则，
故选：A.
5. 一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（ ）
A. B. 26C. 8D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，，
所以，所以对该物体所做的功为.
故选：A
6. 若对于向量，是一个单位向量，，与的夹角为，，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】因为是一个单位向量，，与的夹角为，所以，
所以.
故选：D
7. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为S，且，，则外接圆的半径为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理求得正确答案.
【详解】依题意，，即，
，，
，所以，
则为锐角，所以，
所以外接圆的半径为.
故选：C
8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，从而可求，或，进而可得为直角，或，即可判断三角形的形状.
【详解】，
由正弦定理可得：，
可得：，
，可得：，
，可得：，
，或，
为直角，或，
的形状为等腰三角形或直角三角形.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组向量中，可以作为基底的有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答.
【详解】由于零向量与任意非零向量都共线，所以，共线，不可以作为基底，A错误；
由于，所以，不共线，可以作为基底，B正确；
由于，所以，不共线，可以作为基底，C正确；
由于，所以，共线，不可以作为基底，D错误.
故选：BC
10. 已知复数满足（为虚数单位），下列说法正确的有 （ ）
A. 复数在复平面内对应的点在第四象限B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数运算化简复数，根据几何意义判断A，根据共轭复数概念判断B，根据复数模的运算判断C，根据的周期性计算判断D.
【详解】因为，所以，
所以对应点在第四象限，故A正确；，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC
11. 已知，则（ ）
A. B. 若与夹角为
C. 若，则的坐标可以是D. 在方向上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用垂直关系坐标表示求出，再利用向量的坐标运算，结合夹角公式、投影向量的意义逐项判断.
【详解】依题意，，解得，，
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，则与不垂直，C错误；
对于D，在方向上的投影向量，D正确.
故选：ABD
12. 在中，已知，若为内（含边界）一动点，，则下列结论正确的是 （ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 的面积的取值范围是D. 的面积的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意知在以为直径的圆上，A中由余弦定理在中求；B中若，在中由正弦定理可得，即可求；C中结合二倍角正弦函数及正弦函数的性质，利用三角形面积求解即可；D中结合图形知在圆与的交点上时的面积最大，即可求解.
【详解】
由题意知：如上图示，在以为直径的圆上，因为，
所以，所以，.
对于A：时，，，易知，
故在中，，则，错误；
对于B：，若，则，，
所以在中，，即，可得，
所以，正确；
对于C：因为，
又，所以，所以，
即的面积的取值范围是，正确；
对于D：由图知，当在圆与的交点时，
，
即的面积的最大值是，正确.
故选：BCD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分. ）
13. 若向量，，满足，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件对平方化简计算，然后再开方即可.
【详解】因为，，，
所以，所以.
故答案为：
14. 如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得.
【详解】在中，，
，
由正弦定理得，则，
在中，，因此，
所以这颗银杏树的高度为.
故答案为：
15. 在中，的对边分别为，已知，若有唯一解，则实数的取值范围为_________________.
【答案】或
【解析】
【分析】转化为有唯一解，再计算即可.
【详解】因为，
由题意可知，若有唯一解，则有唯一解，
所以或，
即实数的取值范围为或.
故答案为：或.
16. 如图，在边长为3的等边三角形中，交于点点满足，过点的直线交于点，交于点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，在和中，利用正弦定理得，，从而利用两角和差正弦公式化简得，最后利用正弦函数的性质求得最大值.
【详解】在边长为3的等边三角形中，，
所以为的中心，且，，
设，则，
在中，由正弦定理得即，
所以，
同理在中，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，即的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在平面直角坐标系中，点为原点，.
（1）求的坐标以及的值；
（2）若，且，求实数的值.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用向量坐标运算求得坐标，再利用向量模长的坐标运算求解即可.
（2）利用向量数量积的坐标运算求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，又，所以，
因为，所以，所以.
18. 已知不共线两个向量，并且.
（1）若是的中点，用表示；
（2）如果，求夹角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接运用计算即可；
（2）根据平面向量数量积的运算律对进行平方，展开即可得，再根据计算可得.
【小问1详解】
因为，E是BC的中点，
所以；
【小问2详解】
由得，即
又，所以，
所以，因为，
所以，即与的夹角为.
19. 设复数，为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若纯虚数，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入的值，再去计算即可.
（2）先将进行化简，因为是纯虚数，说明实部为0，且虚部不为0，从而求出，再求出模.
【小问1详解】
当时，，.
【小问2详解】
，
因为其为纯虚数，则，解得，
则，.
20. 如图所示，某海域的东西方向上分别有两个观测塔，它们相距海里，现观测塔发现有一艘轮船在点发出求救信号，经观测得知点位于点北偏东同时观测塔也发现了求救信号，经观测点位于点北偏西，这时位于点南偏西且与相距30海里的点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.
（1）求点到点的距离；
（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点大约需要多少分钟.
【答案】（1）20海里
（2）分钟
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理解三角形计算即可；
（2）利用余弦定理解三角形计算即可.
【小问1详解】
由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：，即，
所以（海里）；
【小问2详解】
在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，所以需要的时间为（分钟）.
21. 在中，角所对的边分别为，向量，且.
（1）求角；
（2）若，求的面积；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案；
（2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可；
（3）设，，代入结合两角和与差的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为向量，且，所以，
由正弦定理可知：，
又，所以，所以，则，
又，所以；
【小问2详解】
因为，，，
由余弦定理可得，可得，解得或（舍），
所以的面积为；
【小问3详解】
由（1）得，设，
因为，则，
则，
因为，所以，所以.
22. 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
（1）若，求x－y的值；
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将化成和后，与已知条件比较得，由此即可求出结果；
（2）设，（），将用表示，根据数量积公式，转化二次函数，即可求出结果；
（3）先根据向量共线和三点共线可知存在实数，使得，存在使得，化简整理，根据系数相等可得，再与进行数量积运算即可得到结果．
【小问1详解】
解：（1）∵，所以
∵，
又，
∴，∴；
【小问2详解】
解：设，（）
因为在三角形中，，，，
∴，
∴
；
又，所以，
故的取值范围为
【小问3详解】
解：∵三点共线，
∴存在实数，使得，
∵为的中点，
∴，
又三点共线，∴存在使得，
∴，
∴，解得，
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