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2023-2024学年宁夏银川市育才中学高一（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年宁夏银川市育才中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−3A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−3,0,1,2}D. {−2,−1,0,1,2}
2.函数f(x)=tanx在[−π3,π4]上的最小值为( )
A. 1B. 2C. 33D. − 3
3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是( )
A. y=1xB. y=csxC. y=−x2D. y=ln|x|
4.函数f(x)=lg3x+x−3零点所在大致区间是( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
5.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为( )
A. y=2sin(2x+2π3)
B. y=2sin(2x+π3)
C. y=2sin(12x−π3)
D. y=2sin(2x−π3)
6.已知sin(π3+α)= 55，则cs(π6−α)=( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
7.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N=N0e−kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的( )
A. 51.2%B. 48.8%C. 52%D. 48%
8.若将函数f(x)=cs(x+π12)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. g(x)的最小正周期为4πB. g(x)在区间[0,π2]上单调递减
C. g(x)图象的一条对称轴为直线x=π12D. g(x)图象的一个对称中心为(7π12,0)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为 32的是( )
A. 2sin15°cs15°B. cs215°−sin215°
C. 1−2sin215°D. sin215°+cs215°
10.下列结论正确的是( )
A. 命题p：∃x0∈R,x02−x0+1<0，则命题p的否定是：∃x0∈R,x02−x0+1<0
B. 若x>0，则x+4x≥4
C. 若a>b，则a2>b2
D. 不等式x2−4x−5<0的解集为(−1,5)
11.下列计算中正确的是( )
A. 已知tanα=2，则sinα−csαsinα+csα=13
B. sin20°cs10°−cs160°sin10°= 22
C. 1+tan15°1−tan15∘= 3
D. sin105°= 6− 24
12.若函数f(x)=csx+|sinx|，则下列结论正确的是( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)的最小值为− 2
C. 曲线y=f(x)关于直线x=π对称
D. 函数y=f(x)−1在[−π,π]上有3个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知tanα=4，tanβ=3，则tan(α+β)= ______ ．
14.(614)12+(2 2)−23+π0−lg525= ______ ．
15.已知α为钝角，β为锐角，满足csα=−2 55，sinβ= 1010，则α−β=______．
16.已知函数f(x)=x+1x−sinx−1，x∈[−4π,0)∪(0,4π]，则函数f(x)的所有零点之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α以x轴的非负半轴为始边，P( 3,−1)为终边上一点．
(1)求cs2α，tan2α的值；
(2)求cs(α−2π)cs(3π2−α)tan(π−α)sin(−α)cs(3π+α)的值．
18.(本小题12分)
已知α，β为锐角，csα=17，cs(α+β)=−1114．
(1)求sin(α+β)的值；
(2)求csβ的值．
19.(本小题12分)
已知f(x)=2sin(2x+π6)−1．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈[−π4,π3]，求函数f(x)的值域．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2cs2x(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最值及取得最值时x的集合．
21.(本小题12分)
某专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现其注意力指数p与听课时间t(h)之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14,40]时，曲线是函数y=lga(t−5)+83(0(1)试求p=f(t)的函数关系式．
(2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请说明理由．
22.(本小题12分)
已知定义在R上的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的θ∈(−π2,π2)，不等式f(k)+f(cs2θ−2sinθ)≤0有解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|−3则A∩B={0,1,2}．
故选：B．
根据集合交集的定义求解即可．
本题考查集合的交集运算，考查学生计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：易知f(x)=tanx在[−π3,π4]上是增函数，
所以f(x)min=f(−π3)=tan(−π3)=− 3．
故选：D．
利用正切函数的单调性求值．
本题考查正切函数的单调性与最值，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A，y=1x是奇函数，不符合题意；
对于B，y=csx是偶函数，在(0,+∞)上不单调，不符合题意；
对于C，y=−x2是偶函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意；
对于D，y=ln|x|是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，不符合题意．
故选：C．
由函数的奇偶性与单调性逐项判断即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解本题的关键，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=lg3x+x−3，
∴f(1)=lg31+1−3=−2，
f(2)=lg32+2−3=lg32−1<0，
f(3)=lg33+3−3=1，
f(4)=lg34+4−3=lg34+1>0，
f(5)=lg35+5−3=lg35+2>0，
∴函数f(x)=lg3x+x−3零点所在大致区间是(2,3)．
故选：B．
由已知条件分别求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，由此利用零点存在性定理能求出结果．
本题考查函数的零点所在大致区间的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和零点存在性定理的合理运用．
5.【答案】A
【解析】解：由图可知，函数y=Asin(ωx+φ)过点(5π12,−2)，(−π12,2)，
y=2sin(2x+2π3)过点(5π12,−2)，(−π12,2)，符合题意；
对于B，y=2sin(2x+π3)不过点(5π12,−2)，故B错误；
对于C，y=2sin(12x−π3)不过点(5π12,−2)，故C错误；
对于D，y=2sin(2x−π3)不过点(5π12,−2)，故D错误．
故选：A．
由图可知，函数y=Asin(ωx+φ)过点(5π12,−2)，(−π12,2)，再结合选项，依次验证，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为sin(π3+α)= 55，
则cs(π6−α)=cs[π2−(π3+α)]=sin(π3+α)= 55．
故选：A．
由已知结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知，N0e−2k=45N0，解得e−2k=45，
∴当t=6时，N0e−6k=N0(e−2k)3=64125N0，
∴N0−64125N0N0×100%=48.8%，
即前6个小时消除了污染物的48.8%．
故选：B．
由题意可知，N0e−2k=45N0，求出e−2k=45，代入N0e−6k可求出经过6个小时后污染物数量，进而求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=cs(x+π12)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，得到y=cs(2x+π12)的图象，再将所得图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)=cs(2x+π4+π12)=cs(2x+π3)的图象，
故函数g(x)的最小正周期为π，
当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，故函数g(x)在该区间上先减后增，故B错误；
当x=π12时，g(π12)=cs(π6+π3)=0，故C错误；
当x=π12时，g(π12)=cs(π6+π3)=0，故D正确．
故选：D．
首先利用三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数g(x)的关系式，进一步利用余弦型函数的性质判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，2sin15°cs15°=sin30°=12，错误；
对于B，cs215°−sin215°=cs30°= 32，正确；
对于C，1−2sin215°=cs30°= 32，正确；
对于D，sin215°+cs215°=1，错误．
故选：BC．
对于A，利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
对于B，利用二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
对于C，利用二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
对于D，利用同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：p：∃x0∈R,x02−x0+1<0，则命题p的否定是：∀x∈R，x2−x+1≤0，故A错误；
x>0，
则x+4x≥2 x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，故B正确；
令a=1，b=−1，满足a>b，但a2=b2，故C错误；
x2−4x−5<0，解得−1故不等式x2−4x−5<0的解集为(−1,5)，故D正确．
故选：BD．
对于A，结合命题否定的定义，即可求解；
对于B，结合基本不等式的公式，即可求解；
对于C，结合特殊值法，即可求解；
对于D，结合一元二次不等式的解法，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：A.∵tanα=2，∴sinα−csαsinα+csα=tanα−1tanα+1=2−12+1=13，A正确；
B.sin20°cs10°−cs160°sin10°=sin20°cs10°+cs20°sin10°=sin30°=12，B错误；
C.1+tan15°1−tan15∘=tan45°+tan15°1−tan45∘tan15∘=tan60°= 3，C正确；
D.sin105°=sin(60°+45°)= 32× 22+12× 22= 6+ 24，D错误．
故选：AC．
根据两角和差的正弦和正切公式，三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系逐项判断即可．
本题考查了两角和差的正弦和正切公式，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式，是基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：因为f(−x)=cs(−x)+|sin(−x)|=csx+|−sinx|=csx+|sinx|=f(x)，
则f(x)是偶函数，故A错误；
因为f(x+2π)=cs(x+2π)+|sin(x+2π)|=csx+|sinx|=f(x)，
所以f(x)的一个周期为2π，
当x∈[0,π]时，f(x)=csx+sinx= 2sin(x+π4)，
因为x∈[0,π]，则x+π4∈[π4,54π]，f(x)的最小值为−1，
当x∈[π,2π]时，f(x)=csx−sinx= 2cs(x+π4)，
因为x∈[π,2π]，则x+π4∈[54π,94π]，f(x)的最小值为−1，故B错误；
因为f(2π−x)=cs(2π−x)+|sin(2π−x)|=csx+|sinx|=f(x)，
所以曲线y=f(x)关于直线x=π对称，故C正确；
当x∈[0,π]时，令f(x)−1=0，可得sin(x+π4)= 22，
因为x+π4∈[π4,54π]，
所以x+π4=π4或x+π4=3π4，即x=0或x=π2，
当x∈(−π,0)时，令f(x)=1，可得cs(x+π4)= 22，
因为x+π4∈(−3π4,π4)，
所以x+π4=−π4，即x=−π2，
所以函数y=f(x)−1在[−π,π]上有3个零点，故D正确．
故选：CD．
根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断A，由条件可得f(x)的一个周期为2π，分别计算函数f(x)在x∈[0,π]与x∈[π,2π]的最小值，即可判断B，由对称性的定义即可判断C，由函数零点的定义，代入计算，即可判断D．
本题考查的知识要点：函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】−711
【解析】解：∵tanα=4，tanβ=3，则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=4+31−4×3=−711，
故答案为：−711．
直接利用两角和的正切公式求得tan(a+β)的值．
本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：原式=(52)2×12+232×(−23)+1−2=52+12+1−2=2．
故答案为：2．
利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】3π4
【解析】解：∵已知α为钝角，β为锐角，满足csα=−2 55，sinβ= 1010，
∴sinα= 1−cs2α= 55，csβ= 1−sin2β=3 1010，
则cs(α−β)=csα⋅csβ+sinα⋅sinβ=−2 55⋅3 1010+ 55⋅ 1010=− 22．
再根据α−β∈(0,π)，可得α−β=3π4，
故答案为：3π4．
由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、csβ的值，再利用两角差的余弦公式求得cs(α−β)的值，可得α−β的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
16.【答案】0
【解析】解：函数f(x)=x+1x−sinx−1=1x−sinx，
显然函数f(x)是奇函数，对称中心为(0,0)，
令f(x)=0，得1x=sinx，
在同一直角坐标系中作出函数y=1x，y=sinx的图象，如图所示，
由图象可知，两个函数在[−4π,0)∪(0,4π]内有8个交点，即函数f(x)有8个零点，
由对称性可知，零点之和为0，
故答案为：0．
有题意可知函数f(x)是奇函数，对称中心为(0,0)，令f(x)=0，得1x=sinx，在同一直角坐标系中作出函数y=1x，y=sinx的图象，利用数形结合法结合函数的对称性即可求出结果．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数的奇偶性，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
17.【答案】解：角α以x轴的非负半轴为始边，P( 3,−1)为终边上一点，
则tanα=− 33，
(1)cs2α=cs2α−sin2α=cs2α−sin2αsin2α+cs2α=1−tan2αtan2α+1=12，tan2α=2tanα1−tan2α=− 3；
(2)cs(α−2π)cs(3π2−α)tan(π−α)sin(−α)cs(3π+α)=csα⋅(−sinα)⋅(−tanα)−sinα⋅(−csα)=tanα=− 33．
【解析】(1)根据已知条件，结合余弦、正切函数的二倍角公式，即可依次求解；
(2)根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的二倍角公式，以及诱导公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵α，β为锐角，cs(α+β)=−1114．
∴π2<α+β<π，
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 1−(−1114)2=5 314．
(2)∵α为锐角，csα=17，∴sinα= 1−cs2α= 1−(17)2=4 37．
∴csβ=cs[α−(α+β)]=csα⋅cs(α+β)+sinα⋅sin(α+β)
=17×(−1114)+4 37×5 314=12．
【解析】(1)根据α，β为锐角，cs(α+β)=−1114，可得π2<α+β<π，再得出sin(α+β)．
(2)由α为锐角，csα=17，可得sinα的值，再利用csβ=cs[α−(α+β)]，求出csβ的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由f(x)=2sin(2x+π6)−1，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(2)当x∈[−π4,π3]时，2x+π6∈[−π3,5π6]，
可得sin(2x+π6)∈[− 32,1]，
所以f(x)=2sin(2x+π6)−1∈[− 3−1,1]，
所以函数f(x)的值域为[− 3−1,1]．
【解析】(1)根据正弦型函数的单调性即可求解；
(2)根据x的范围求出2x+π6的范围，利用正弦函数的性质即可求出值域．
本题考查了正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+cs2x+1= 2sin(2x+π4)+1，
∴f(x)的最小正周期为T=2π2=π；
(2)当2x+π4=−π2+2kπ(k∈Z)，即x=−3π8+kπ(k∈Z)时，f(x)取最小值1− 2；
当2x+π4=π2+2kπ(k∈Z)，即x=π8+kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值 2+1．
【解析】(1)根据二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式即可得出f(x)= 2sin(2x+π4)+1，然后可得出f(x)的最小正周期；
(2)根据正弦函数的最值即可求出答案．
本题考查了两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，正弦函数的最值，是基础题．
21.【答案】解：(1)当t∈(0,14]时，
设p=f(t)=m(t−12)2+82(m<0)，
将(14,81)代入f(t)，得81=m(14−12)2+82，解得m=−14，
所以当t∈(0,14]时，p=f(t)=−14(t−12)2+82，
当t∈(14,40]时，将(14,81)代入y=lga(t−5)+83，得81=lga(14−5)+83，解得a=13，
所以当t∈(14,40]时，y=lg13(t−5)+83，
综上所述，p=f(t)=−14(t−12)2+82,t∈(0,14]lg13(t−5)+83,t∈(14,40]．
(2)当t∈(0,14]时，令−14(t−12)2+82<80，得0当t∈(14,40]时，令lg13(t−5)+83<80，得32所以在(0,12−2 2)和(32,40]这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节．
【解析】(1)根据图象，分别将点代入对应的函数，即可求解．
(2)当t∈(0,14]时，令−14(t−12)2+82<80，解出t，当t∈(14,40]时，令lg13(t−5)+83<80，解出t，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意，定义在R上的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数．
可得f(0)=0，∴b=1，又f(−1)=−f(1)，可得a=2，∴f(x)=−2x+12x+1+2，
又满足f(−x)=−f(x)，∴a=2，b=1；
(2)f(x)=−2x+12x+1+2=1−2x2(2x+1)=−(2x+1)+22(2x+1)=−12+12x+1，
设x1因为函数y=2x在R上是增函数，且x1所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上为减函数；
(3)由f(x)在R上为减函数，且为奇函数，f(k)+f(cs2θ−2sinθ)≤0，
即f(k)≤−f(cs2θ−2sinθ)=f(−cs2θ+2sinθ)，
可得k≥−cs2θ+2sinθ=sin2θ+2sinθ−1=(sinθ+1)2−2，θ∈(−π2,π2)，
不等式f(k)+f(cs2θ−2sinθ)≤0有解，即k≥(sinθ+1)2−2，θ∈(−π2,π2)有解，
∵θ∈(−π2,π2)，则sinθ∈(−1,1)，∴(sinθ+1)2−2∈(−2,2)，
∴k>−2，即实数k的取值范围是(−2,+∞)．
【解析】(1)利用奇函数的性质，f(0)=0，f(−1)=−f(1)可得a，b；(2)利用单调性定义证明即可；(3)把双“f”去掉，转化为不等式k≥(sinθ+1)2−2，θ∈(−π2,π2)有解问题．
本题考查函数性质，属于中档题．
1.已知集合A={x|−3
2.函数f(x)=tanx在[−π3,π4]上的最小值为( )
A. 1B. 2C. 33D. − 3
3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是( )
A. y=1xB. y=csxC. y=−x2D. y=ln|x|
4.函数f(x)=lg3x+x−3零点所在大致区间是( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
5.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为( )
A. y=2sin(2x+2π3)
B. y=2sin(2x+π3)
C. y=2sin(12x−π3)
D. y=2sin(2x−π3)
6.已知sin(π3+α)= 55，则cs(π6−α)=( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
7.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N=N0e−kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的( )
A. 51.2%B. 48.8%C. 52%D. 48%
8.若将函数f(x)=cs(x+π12)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. g(x)的最小正周期为4πB. g(x)在区间[0,π2]上单调递减
C. g(x)图象的一条对称轴为直线x=π12D. g(x)图象的一个对称中心为(7π12,0)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为 32的是( )
A. 2sin15°cs15°B. cs215°−sin215°
C. 1−2sin215°D. sin215°+cs215°
10.下列结论正确的是( )
A. 命题p：∃x0∈R,x02−x0+1<0，则命题p的否定是：∃x0∈R,x02−x0+1<0
B. 若x>0，则x+4x≥4
C. 若a>b，则a2>b2
D. 不等式x2−4x−5<0的解集为(−1,5)
11.下列计算中正确的是( )
A. 已知tanα=2，则sinα−csαsinα+csα=13
B. sin20°cs10°−cs160°sin10°= 22
C. 1+tan15°1−tan15∘= 3
D. sin105°= 6− 24
12.若函数f(x)=csx+|sinx|，则下列结论正确的是( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)的最小值为− 2
C. 曲线y=f(x)关于直线x=π对称
D. 函数y=f(x)−1在[−π,π]上有3个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知tanα=4，tanβ=3，则tan(α+β)= ______ ．
14.(614)12+(2 2)−23+π0−lg525= ______ ．
15.已知α为钝角，β为锐角，满足csα=−2 55，sinβ= 1010，则α−β=______．
16.已知函数f(x)=x+1x−sinx−1，x∈[−4π,0)∪(0,4π]，则函数f(x)的所有零点之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α以x轴的非负半轴为始边，P( 3,−1)为终边上一点．
(1)求cs2α，tan2α的值；
(2)求cs(α−2π)cs(3π2−α)tan(π−α)sin(−α)cs(3π+α)的值．
18.(本小题12分)
已知α，β为锐角，csα=17，cs(α+β)=−1114．
(1)求sin(α+β)的值；
(2)求csβ的值．
19.(本小题12分)
已知f(x)=2sin(2x+π6)−1．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈[−π4,π3]，求函数f(x)的值域．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2cs2x(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最值及取得最值时x的集合．
21.(本小题12分)
某专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现其注意力指数p与听课时间t(h)之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14,40]时，曲线是函数y=lga(t−5)+83(0
(2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请说明理由．
22.(本小题12分)
已知定义在R上的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的θ∈(−π2,π2)，不等式f(k)+f(cs2θ−2sinθ)≤0有解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|−3
故选：B．
根据集合交集的定义求解即可．
本题考查集合的交集运算，考查学生计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：易知f(x)=tanx在[−π3,π4]上是增函数，
所以f(x)min=f(−π3)=tan(−π3)=− 3．
故选：D．
利用正切函数的单调性求值．
本题考查正切函数的单调性与最值，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A，y=1x是奇函数，不符合题意；
对于B，y=csx是偶函数，在(0,+∞)上不单调，不符合题意；
对于C，y=−x2是偶函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意；
对于D，y=ln|x|是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，不符合题意．
故选：C．
由函数的奇偶性与单调性逐项判断即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解本题的关键，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=lg3x+x−3，
∴f(1)=lg31+1−3=−2，
f(2)=lg32+2−3=lg32−1<0，
f(3)=lg33+3−3=1，
f(4)=lg34+4−3=lg34+1>0，
f(5)=lg35+5−3=lg35+2>0，
∴函数f(x)=lg3x+x−3零点所在大致区间是(2,3)．
故选：B．
由已知条件分别求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，由此利用零点存在性定理能求出结果．
本题考查函数的零点所在大致区间的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和零点存在性定理的合理运用．
5.【答案】A
【解析】解：由图可知，函数y=Asin(ωx+φ)过点(5π12,−2)，(−π12,2)，
y=2sin(2x+2π3)过点(5π12,−2)，(−π12,2)，符合题意；
对于B，y=2sin(2x+π3)不过点(5π12,−2)，故B错误；
对于C，y=2sin(12x−π3)不过点(5π12,−2)，故C错误；
对于D，y=2sin(2x−π3)不过点(5π12,−2)，故D错误．
故选：A．
由图可知，函数y=Asin(ωx+φ)过点(5π12,−2)，(−π12,2)，再结合选项，依次验证，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为sin(π3+α)= 55，
则cs(π6−α)=cs[π2−(π3+α)]=sin(π3+α)= 55．
故选：A．
由已知结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知，N0e−2k=45N0，解得e−2k=45，
∴当t=6时，N0e−6k=N0(e−2k)3=64125N0，
∴N0−64125N0N0×100%=48.8%，
即前6个小时消除了污染物的48.8%．
故选：B．
由题意可知，N0e−2k=45N0，求出e−2k=45，代入N0e−6k可求出经过6个小时后污染物数量，进而求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=cs(x+π12)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，得到y=cs(2x+π12)的图象，再将所得图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)=cs(2x+π4+π12)=cs(2x+π3)的图象，
故函数g(x)的最小正周期为π，
当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，故函数g(x)在该区间上先减后增，故B错误；
当x=π12时，g(π12)=cs(π6+π3)=0，故C错误；
当x=π12时，g(π12)=cs(π6+π3)=0，故D正确．
故选：D．
首先利用三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数g(x)的关系式，进一步利用余弦型函数的性质判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，2sin15°cs15°=sin30°=12，错误；
对于B，cs215°−sin215°=cs30°= 32，正确；
对于C，1−2sin215°=cs30°= 32，正确；
对于D，sin215°+cs215°=1，错误．
故选：BC．
对于A，利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
对于B，利用二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
对于C，利用二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
对于D，利用同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：p：∃x0∈R,x02−x0+1<0，则命题p的否定是：∀x∈R，x2−x+1≤0，故A错误；
x>0，
则x+4x≥2 x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，故B正确；
令a=1，b=−1，满足a>b，但a2=b2，故C错误；
x2−4x−5<0，解得−1
故选：BD．
对于A，结合命题否定的定义，即可求解；
对于B，结合基本不等式的公式，即可求解；
对于C，结合特殊值法，即可求解；
对于D，结合一元二次不等式的解法，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：A.∵tanα=2，∴sinα−csαsinα+csα=tanα−1tanα+1=2−12+1=13，A正确；
B.sin20°cs10°−cs160°sin10°=sin20°cs10°+cs20°sin10°=sin30°=12，B错误；
C.1+tan15°1−tan15∘=tan45°+tan15°1−tan45∘tan15∘=tan60°= 3，C正确；
D.sin105°=sin(60°+45°)= 32× 22+12× 22= 6+ 24，D错误．
故选：AC．
根据两角和差的正弦和正切公式，三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系逐项判断即可．
本题考查了两角和差的正弦和正切公式，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式，是基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：因为f(−x)=cs(−x)+|sin(−x)|=csx+|−sinx|=csx+|sinx|=f(x)，
则f(x)是偶函数，故A错误；
因为f(x+2π)=cs(x+2π)+|sin(x+2π)|=csx+|sinx|=f(x)，
所以f(x)的一个周期为2π，
当x∈[0,π]时，f(x)=csx+sinx= 2sin(x+π4)，
因为x∈[0,π]，则x+π4∈[π4,54π]，f(x)的最小值为−1，
当x∈[π,2π]时，f(x)=csx−sinx= 2cs(x+π4)，
因为x∈[π,2π]，则x+π4∈[54π,94π]，f(x)的最小值为−1，故B错误；
因为f(2π−x)=cs(2π−x)+|sin(2π−x)|=csx+|sinx|=f(x)，
所以曲线y=f(x)关于直线x=π对称，故C正确；
当x∈[0,π]时，令f(x)−1=0，可得sin(x+π4)= 22，
因为x+π4∈[π4,54π]，
所以x+π4=π4或x+π4=3π4，即x=0或x=π2，
当x∈(−π,0)时，令f(x)=1，可得cs(x+π4)= 22，
因为x+π4∈(−3π4,π4)，
所以x+π4=−π4，即x=−π2，
所以函数y=f(x)−1在[−π,π]上有3个零点，故D正确．
故选：CD．
根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断A，由条件可得f(x)的一个周期为2π，分别计算函数f(x)在x∈[0,π]与x∈[π,2π]的最小值，即可判断B，由对称性的定义即可判断C，由函数零点的定义，代入计算，即可判断D．
本题考查的知识要点：函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】−711
【解析】解：∵tanα=4，tanβ=3，则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=4+31−4×3=−711，
故答案为：−711．
直接利用两角和的正切公式求得tan(a+β)的值．
本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：原式=(52)2×12+232×(−23)+1−2=52+12+1−2=2．
故答案为：2．
利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】3π4
【解析】解：∵已知α为钝角，β为锐角，满足csα=−2 55，sinβ= 1010，
∴sinα= 1−cs2α= 55，csβ= 1−sin2β=3 1010，
则cs(α−β)=csα⋅csβ+sinα⋅sinβ=−2 55⋅3 1010+ 55⋅ 1010=− 22．
再根据α−β∈(0,π)，可得α−β=3π4，
故答案为：3π4．
由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、csβ的值，再利用两角差的余弦公式求得cs(α−β)的值，可得α−β的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
16.【答案】0
【解析】解：函数f(x)=x+1x−sinx−1=1x−sinx，
显然函数f(x)是奇函数，对称中心为(0,0)，
令f(x)=0，得1x=sinx，
在同一直角坐标系中作出函数y=1x，y=sinx的图象，如图所示，
由图象可知，两个函数在[−4π,0)∪(0,4π]内有8个交点，即函数f(x)有8个零点，
由对称性可知，零点之和为0，
故答案为：0．
有题意可知函数f(x)是奇函数，对称中心为(0,0)，令f(x)=0，得1x=sinx，在同一直角坐标系中作出函数y=1x，y=sinx的图象，利用数形结合法结合函数的对称性即可求出结果．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数的奇偶性，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
17.【答案】解：角α以x轴的非负半轴为始边，P( 3,−1)为终边上一点，
则tanα=− 33，
(1)cs2α=cs2α−sin2α=cs2α−sin2αsin2α+cs2α=1−tan2αtan2α+1=12，tan2α=2tanα1−tan2α=− 3；
(2)cs(α−2π)cs(3π2−α)tan(π−α)sin(−α)cs(3π+α)=csα⋅(−sinα)⋅(−tanα)−sinα⋅(−csα)=tanα=− 33．
【解析】(1)根据已知条件，结合余弦、正切函数的二倍角公式，即可依次求解；
(2)根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的二倍角公式，以及诱导公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵α，β为锐角，cs(α+β)=−1114．
∴π2<α+β<π，
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 1−(−1114)2=5 314．
(2)∵α为锐角，csα=17，∴sinα= 1−cs2α= 1−(17)2=4 37．
∴csβ=cs[α−(α+β)]=csα⋅cs(α+β)+sinα⋅sin(α+β)
=17×(−1114)+4 37×5 314=12．
【解析】(1)根据α，β为锐角，cs(α+β)=−1114，可得π2<α+β<π，再得出sin(α+β)．
(2)由α为锐角，csα=17，可得sinα的值，再利用csβ=cs[α−(α+β)]，求出csβ的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由f(x)=2sin(2x+π6)−1，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(2)当x∈[−π4,π3]时，2x+π6∈[−π3,5π6]，
可得sin(2x+π6)∈[− 32,1]，
所以f(x)=2sin(2x+π6)−1∈[− 3−1,1]，
所以函数f(x)的值域为[− 3−1,1]．
【解析】(1)根据正弦型函数的单调性即可求解；
(2)根据x的范围求出2x+π6的范围，利用正弦函数的性质即可求出值域．
本题考查了正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+cs2x+1= 2sin(2x+π4)+1，
∴f(x)的最小正周期为T=2π2=π；
(2)当2x+π4=−π2+2kπ(k∈Z)，即x=−3π8+kπ(k∈Z)时，f(x)取最小值1− 2；
当2x+π4=π2+2kπ(k∈Z)，即x=π8+kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值 2+1．
【解析】(1)根据二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式即可得出f(x)= 2sin(2x+π4)+1，然后可得出f(x)的最小正周期；
(2)根据正弦函数的最值即可求出答案．
本题考查了两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，正弦函数的最值，是基础题．
21.【答案】解：(1)当t∈(0,14]时，
设p=f(t)=m(t−12)2+82(m<0)，
将(14,81)代入f(t)，得81=m(14−12)2+82，解得m=−14，
所以当t∈(0,14]时，p=f(t)=−14(t−12)2+82，
当t∈(14,40]时，将(14,81)代入y=lga(t−5)+83，得81=lga(14−5)+83，解得a=13，
所以当t∈(14,40]时，y=lg13(t−5)+83，
综上所述，p=f(t)=−14(t−12)2+82,t∈(0,14]lg13(t−5)+83,t∈(14,40]．
(2)当t∈(0,14]时，令−14(t−12)2+82<80，得0
【解析】(1)根据图象，分别将点代入对应的函数，即可求解．
(2)当t∈(0,14]时，令−14(t−12)2+82<80，解出t，当t∈(14,40]时，令lg13(t−5)+83<80，解出t，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意，定义在R上的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数．
可得f(0)=0，∴b=1，又f(−1)=−f(1)，可得a=2，∴f(x)=−2x+12x+1+2，
又满足f(−x)=−f(x)，∴a=2，b=1；
(2)f(x)=−2x+12x+1+2=1−2x2(2x+1)=−(2x+1)+22(2x+1)=−12+12x+1，
设x1
(3)由f(x)在R上为减函数，且为奇函数，f(k)+f(cs2θ−2sinθ)≤0，
即f(k)≤−f(cs2θ−2sinθ)=f(−cs2θ+2sinθ)，
可得k≥−cs2θ+2sinθ=sin2θ+2sinθ−1=(sinθ+1)2−2，θ∈(−π2,π2)，
不等式f(k)+f(cs2θ−2sinθ)≤0有解，即k≥(sinθ+1)2−2，θ∈(−π2,π2)有解，
∵θ∈(−π2,π2)，则sinθ∈(−1,1)，∴(sinθ+1)2−2∈(−2,2)，
∴k>−2，即实数k的取值范围是(−2,+∞)．
【解析】(1)利用奇函数的性质，f(0)=0，f(−1)=−f(1)可得a，b；(2)利用单调性定义证明即可；(3)把双“f”去掉，转化为不等式k≥(sinθ+1)2−2，θ∈(−π2,π2)有解问题．
本题考查函数性质，属于中档题．
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