宁夏银川市第二中学2023-2024学年高一（上）期末考试数学试卷（含解析）

这是一份宁夏银川市第二中学2023-2024学年高一（上）期末考试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的定义域是
A．B．
C．D．
3．已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ）
A．4B．1C．D．2
5．函数（）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称B．函数的定义域为
C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上单调递增
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．“”的否定为“”
B．若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件
C．函数与函数是同一个函数
D．若方程在区间上有实数解，则实数的取值范围为
11．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．点在第二象限
C．的最小值为2
D．关于的不等式的解集为
12．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增D．的最小值为1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知幂函数经过点，则
14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数：
（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.
则 .
15．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为 .
16．已知函数满足，对任意的都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知角的终边上有一点的坐标是，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．已知函数，．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
19．已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最大值为2，求的值．
20．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
21．已已知函数（其中）.
(1)若函数的最小正周期是，求的对称中心；
(2)若在上有且仅有2个零点，求的取值范围.
22．设（，）是奇函数.
(1)求m与n的值；
(2)如果对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案与解析
1．C
【分析】根据集合A中的在集合中进行筛选即可求解.
【解答】因为，，
所以，
故选：C.
2．C
【解答】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得.
考点：定义域.
3．D
【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．
【解答】因为点是第三象限的点，所以，故的终边位于第四象限．
故选：D．
4．D
【分析】利用扇形的面积公式：，即可求解.
【解答】圆心角为，设扇形的半径为，
，
解得.
故选：D
【点拨】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.
5．B
【分析】根据函数奇偶性排除不符合的两个选项，再根据的符号，即可得符合的函数图象.
【解答】因为函数（）
所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项；
又，故排除D选项，故选B符合.
故选：B.
6．B
【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解.
【解答】是增函数，
，
是减函数，在上是增函数，
故选：B
7．A
【分析】由正弦差角公式和辅助角公式得到，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案.
【解答】由题可得，，
所以.
故选：A.
8．C
【分析】由函数解析式作出函数的图象，设，且，根据，确定以及的范围，即可得出的取值范围.
【解答】作出函数的图象如图，
设，且，
则函数与直线的三个交点从左到右依次为：，，，
点与在上，，
则与关于直线对称，则，
若，解得，
若满足，且由，则有，
即，
故选：C.
【点拨】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
9．ACD
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、单调性可判断出答案．
【解答】对于A，，即函数的图象关于点不成中心对称，故A错误；
对于B，由，，得，即函数的定义域为，故B正确，
对于C，，当时，函数无意义，故不存在单调性，故C错误；
对于D，由C选项知函数在区间上不具备单调性，故D错误，
故选：ACD．
10．BD
【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、相同函数、一元二次方程的根等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答】A选项，“”的否定为“”，
所以A选项错误.
B选项，函数的定义域为，
当时，如是偶函数.
当为奇函数，则，
所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，B选项正确.
C选项，函数的值域为；函数的值域是，
所以不是同一函数，C选项错误.
D选项，，
由于方程在区间上有实数解，
所以，D选项正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】根据题意，由原不等式的解集可得，，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C.
【解答】原不等式等价于，因为其解集为，所以且
，，故A正确；
因为，则点在第一象限，故B错误；
由可得，，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确；
由可得，不等式即为，化简可得
，则其解集为，故D正确；
故选：ACD
12．AD
【分析】由奇函数的定义即可判断A；
容易验证π是函数的周期，进而判断B；
当时，用辅助角公式将函数化简，即可判断C；
先考虑时，再分和两种情况，求出函数的最小值，再根据函数的周期，即可求出函数在R上的最小值.
【解答】因为,，所以是偶函数，A正确；
显然是周期函数，
因为，所以B错误；
因为当时，
，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，C错误；
因为
当时，设，则，∴，∴，
同理：当时，，
由B中解答知，是的周期，所以的最小值为1，D正确.
故选：AD.
13．##0.5
【分析】将点代入函数解得，再计算得到答案.
【解答】，故，.
故答案为：
14． (答案不唯一).
【分析】举出符合条件的函数即可.
【解答】如，
，，所以是偶函数；
时，，所以在上单调递减；
，的值域是.
故答案为：.答案不唯一.
15．
【分析】根据指数函数的性质可得定点的坐标，从而可得，再利用基本不等式即可得的最小值.
【解答】函数（且）的图象恒过定点A，则，
又点A在一次函数的图象上，所以，故，
又，
所以，
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.
故答案为：.
16．
【分析】构造新函数，求得函数为上的偶函数，得出，在由任意的都有恒成立，得到函数在为单调递增函数，结合函数的取值，即可求解.
【解答】由题意，设函数，
因为函数满足，即，
则，所以函数为上的偶函数，
又由，则，
因为对任意的都有恒成立，
则函数在为单调递增函数，
所以当时，，此时，
当时，，此时，
所以的解集为.
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的综合应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数，结合函数的奇偶性和单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）运用三角函数定义计算即可.
（2）由完全平方公式化简，结合齐次式求值即可.
【解答】（1）因为，所以.
（2）原式.
18．(1)最小正周期为，单调递减区间是，.
(2)，此时；，此时.
【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间；
（2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值.
【解答】（1）的最小正周期，
当，即，时，单调递减，
∴的单调递减区间是，.
（2）∵，则，
故，
∴，此时，即，
，此时，即．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据解析式，列出不等式组，得函数的定义域；
（2）根据复合函数单调性“同增异减”的性质，判断，得函数的单调性，得最大值为，解得a的值.
【解答】（1）令，解得，
所以函数的定义域.
（2）函数，
设，则在单调递增，在单调递减，
因为函数有最大值，根据复合函数的单调性性质，所以，
所以函数也在单调递增，在单调递减，
故函数的最大值为，即
20．(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【解答】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
21．(1)，；
(2)
【分析】（1）首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质确定对称中心；
（2）根据（1）的结果，首先求的取值范围，再结合三角函数的图象和性质，确定端点的取值范围，即可求解.
【解答】（1），
，
，
由题意可知，，得，
所以，
令，，得，，
所以函数的对称中心为，；
（2），
当，，
令，即
若在上有且仅有2个零点，
则，解得：，
所以实数的取值范围是.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的表达式对定义域内所有自变量成立即可求解；
（2）利用奇函数的变换和分离常数法确定的单调性，再利用参变分离即可求解.
【解答】（1）因为是奇函数，
所以，
即对定义域内任意实数x成立.
化简整理得，这是关于x的恒等式，
所以
所以或.
经检验符合题意.
（2）因为，且是奇函数
所以，
因为在R上单调递减，
所以，
即对任意都成立，
由于，其中，
所以，即最小值为3
所以，
即，
将看作一个整体，
解得，
故，
即.