人教版 (2019)必修第二册2 万有引力定律课后测评

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这是一份人教版 (2019)必修第二册2 万有引力定律课后测评，共8页。试卷主要包含了北斗问天，国之夙愿，有研究表明等内容，欢迎下载使用。

1．北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
A．周期大 B．线速度大
C．角速度大 D．加速度大
解析：选A 近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，因为地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，故B错误；由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(2π,T)2，解得周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，因此地球静止轨道卫星的周期较大，故A正确；由ω＝eq \f(2π,T)，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，故C错误；由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得加速度a＝Geq \f(M,r2)，因此地球静止轨道卫星的加速度较小，故D错误。
2．如图所示，在同一轨道平面内的两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，周期分别为TA、TB。某时刻A、B和地球恰好在同一条直线上，从此时刻开始到A、B和地球再次共线的时间间隔为t，下列说法中正确的是( )
A．A、B卫星的线速度vAB．A、B卫星的向心加速度aAC．t一定大于TA
D．t一定大于eq \f(TA,2)
解析：选D 设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球的质量为M，根据万有引力提供向心力，得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝ma，可得v＝ eq \r(\f(GM,r))，a＝eq \f(GM,r2)。由v＝ eq \r(\f(GM,r))知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以有vA＞vB，故A错误；由a＝eq \f(GM,r2)知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，所以有aA＞aB，故B错误；由几何关系可知，从图中位置开始至A、B和地球再次共线，A比B多转过的角度为nπ(n＝1,2,3，…)，则有eq \f(2π,TA)·t－eq \f(2π,TB)·t＝nπ(n＝1,2,3，…)，可得t＝eq \f(n,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(TA,1－\f(TA,TB))))(n＝1,2,3，…)，即t一定大于eq \f(TA,2)，故C错误，D正确。
3．(多选)北斗卫星导航系统由不同轨道卫星组成，其中北斗IGSO3卫星的运行轨道为倾斜地球同步轨道，倾角为55.9°，高度约为3.59万千米；北斗M3卫星运行轨道为中远地球轨道，倾角为55.3°，高度约为2.16万千米。已知地球半径约为6 400千米，两颗卫星的运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法中正确的是( )
A．北斗IGSO3卫星的线速度大于北斗M3卫星的线速度
B．北斗IGSO3卫星的周期大于北斗M3卫星的周期
C．北斗IGSO3卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24 h
D．北斗IGSO3卫星与地面上的北京市的距离恒定
解析：选BC 根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r，可知v＝ eq \r(\f(GM,r))，T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，因北斗IGSO3卫星的轨道半径大于北斗M3卫星的轨道半径，所以北斗IGSO3卫星的线速度小于北斗M3卫星的线速度，北斗IGSO3卫星的周期大于北斗M3卫星的周期，故A错误，B正确；北斗IGSO3卫星运行轨道为倾斜地球同步轨道，可知其周期为24 h，可以在每天的同一时刻经过地球上某点的上空，则卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24 h，但是不能定点在北京市的上空，故C正确，D错误。
4．(2022·广东高考)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
解析：选D 由题意可知，火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍，说明火星的公转周期为地球公转周期的1.88倍，根据万有引力提供向心力，得：Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝ma，解得：T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，v＝ eq \r(\f(GM,r))，ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，a＝eq \f(GM,r2)，由于T火>T地，可知，r火>r地、v火5．有研究表明：300年后人类产生的垃圾将会覆盖地球1米厚。有人提出了“将人类产生的垃圾分批转移到无人居住的月球上”的设想，假如不考虑其他星体的影响，且月球仍沿着原来的轨道绕地球做匀速圆周运动，运用你所学物理知识，分析垃圾转移前后，下列说法中正确的是( )
A．地球与月球间的万有引力会逐渐减小
B．月球绕地球运行的线速度将会逐渐变小
C．月球绕地球运行的向心加速度将会逐渐变大
D．月球绕地球运行的周期将变小
解析：选B 月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出线速度、周期和万有引力的表达式进行分析。设地球质量为M，月球质量为m，地球与月球间的万有引力F＝Geq \f(Mm,r2)，由于M>m，M减小、m增加、M＋m固定，故Mm会增加，地球与月球间的万有引力会逐渐增加，直到两者质量相等为止，故A错误；万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r＝ma，解得T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，v＝eq \r(\f(GM,r))，a＝eq \f(GM,r2)，由于M减小，故月球的运行速度减小，向心加速度减小，周期将会增大，故B正确，C、D错误。
6.如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则( )
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越小，T越大
解析：选B 双星系统中两星间距不变，角速度相等，根据v＝rω，因为rBvB，故B正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故mArAω2＝mBrB ω2，因为rBmA，即B的质量一定大于A的质量，故A错误；根据牛顿第二定律得Geq \f(mAmB,L2)＝mAeq \f(4π2,T2)rA＝mBeq \f(4π2,T2)rB，其中rA＋rB＝L，联立解得T＝2π eq \r(\f(L3,GmA＋mB))＝2π eq \r(\f(L3,GM))，故L一定，M越大，T越小，M一定，L越小，T越小，故C、D错误。
7．(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝eq \r(gR)可知，甲的速度是乙的eq \r(2) 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝eq \f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq \f(1,4)
D．由eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq \r(2) 倍
解析：选CD 两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，可得v＝ eq \r(\f(GM,r))，则乙的速度是甲的eq \r(2)倍，故A错误；由ma＝eq \f(GMm,r2)，可得a＝eq \f(GM,r2)，则乙的向心加速度是甲的4倍，故B错误，由F＝eq \f(GMm,r2)，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的eq \f(1,4)，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq \r(2) 倍，故D正确。
8．(多选)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中( )
A．双星做圆周运动的角速度不断减小
B．双星做圆周运动的角速度不断增大
C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小
D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大
解析：选AD 设质量较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，质量较大的星体质量为m2，轨道半径为r2。双星间的距离为L，则L＝r1＋r2，转移的质量为Δm。
根据万有引力提供向心力，对m1：
Geq \f(m1＋Δmm2－Δm,L2)＝(m1＋Δm)ω2r1①
对m2：Geq \f(m1＋Δmm2－Δm,L2)＝(m2－Δm)ω2r2②
由①②得ω＝ eq \r(\f(Gm1＋m2,L3))，总质量m1＋m2不变，两者距离L增大，则角速度ω变小，故A正确，B错误。
由②式可得r2＝eq \f(Gm1＋Δm,ω2L2)，把ω的值代入得
r2＝eq \f(Gm1＋Δm,\f(Gm1＋m2,L3)L2)＝eq \f(m1＋Δm,m1＋m2)L，
因为L增大，所以r2增大，即质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大，故C错误，D正确。
9．半径R＝4 500 km的某星球上有一倾角为30°的固定斜面，一质量为1 kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行。如果物块和斜面间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),3)，力F随时间变化的规律如图所示(取沿斜面向上方向为正)，2 s末物块速度恰好又为0。引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。试问：
(1)该星球的质量大约是多少？
(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？(计算结果保留两位有效数字)
解析：(1)设星球表面的重力加速度为g。小物块在力F1＝20 N作用过程中：
F1－mgsin θ－μmgcs θ＝ma1，
1 s末速度为v＝a1t1，
小物块在力F2＝4 N作用过程中：
F2＋mgsin θ＋μmgcs θ＝ma2，
且有 v＝a2t2，
联立以上四式，解得 g＝8 m/s2，
由Geq \f(Mm,R2)＝mg，
得 M＝eq \f(gR2,G)＝eq \f(8×4 500×1032,6.67×10－11) kg≈2.4×1024 kg。
(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回该星球，抛出物体的最小速度为v′，必须满足mg＝meq \f(v′2,R)，
得v′＝eq \r(gR)＝eq \r(8×4 500×103) m/s＝6×103 m/s，
＝6.0 km/s。
答案：(1)2.4×1024 kg (2)6.0 km/s
eq \a\vs4\al(B)组—重应用·体现创新
10．“双星系统”是由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为eq \f(2,5)L
D．m2做圆周运动的半径为eq \f(2,5)L
解析：选C 设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2。
又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2，
可解得r1＝eq \f(2,5)L，r2＝eq \f(3,5)L。
m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3。综上所述，选项C正确。
11．(多选)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心率)约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120 AU(太阳到地球的距离为1 AU)，S2的运行周期约为16年。假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出( )
A．S2与银河系中心致密天体的质量之比
B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C．S2在P点与Q点的速度大小之比
D．S2在P点与Q点的加速度大小之比
解析：选BCD 设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率0.87＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(c,a)，且由题知，Q与O的距离约为120 AU，即a－c＝120 AU，由此可得出a与c，由于S2围绕致密天体运动，根据万有引力定律，可知无法求出两者的质量之比，故A错误；根据开普勒第三定律有eq \f(a3,T2)＝k，式中k与中心天体的质量M有关，且与M成正比，所以，对S2围绕致密天体运动有eq \f(a3,TS22)＝k致∝M致，对地球围绕太阳运动有eq \f(r地3,T地2)＝k太∝M太，两式相比，可得eq \f(M致,M太)＝eq \f(a3T地2,r地3TS22)，故可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确；根据开普勒第二定律有eq \f(1,2)vP(a＋c)＝eq \f(1,2)vQ(a－c)，解得eq \f(vP,vQ)＝eq \f(a－c,a＋c)，故可以求出S2在P点与Q点的速度大小之比，故C正确；S2不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,r2)，因P点到O点的距离为a＋c，Q点到O点的距离为a－c，解得eq \f(aP,aQ)＝eq \f(a－c2,a＋c2)，故可以求出S2在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。
12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。
解析：(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，
由题意知A、B做匀速圆周运动的角速度相同，
设为ω。根据牛顿第二定律，
有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，
又FA＝FB，
设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2，
由以上各式得r＝eq \f(m1＋m2,m2)r1①
根据万有引力定律，
有FA＝Geq \f(m1m2,r2)，
将①代入上式得FA＝Geq \f(m1m23,m1＋m22r12)，
令FA＝Geq \f(m1m′,r12)，
可得m′＝eq \f(m23,m1＋m22)。②
(2)根据牛顿第二定律，
有Geq \f(m1m′,r12)＝m1eq \f(v2,r1)③
可见星A的轨道半径r1＝eq \f(vT,2π)④
由②③④式解得eq \f(m23,m1＋m22)＝eq \f(v3T,2πG)。⑤
答案：(1)eq \f(m23,m1＋m22)
(2)eq \f(m23,m1＋m22)＝eq \f(v3T,2πG)