2023-2024学年江苏省南京市第五十中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市第五十中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 圆C. 矩形D. 平行四边形
2.下列事件是必然事件的是
( )
A. 打开电视机，正在播广告
B. 367人中至少有2人的生日相同
C. 小明到达公交车站时，赶上想要乘坐的汽车
D. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯
3.下列分式中，是最简分式的是( )
A. 4m10mnB. 3−aa−3C. x2−y2x2+y2D. x−1x2−x
4.为了解某校初二年级800名学生的体重，抽取了200名学生进行调查，下列说法正确的是( )
A. 该校初二年级每一名学生的体重是个体B. 从中抽取的200名学生是样本
C. 该校初二年级800名学生是总体D. 样本容量是200名学生
5.对于分式2x−3x+2，下列说法错误的 是
( )
A. 当x=32时，分式的值为0B. 当x=−2时，分式无意义
C. 当x>1时，分式的值为正数D. 当x=5时，分式的值为1
6.如图，在▵ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB=7，AC=4，则DE的长度为
( )
A. 1B. 1.5C. 3D. 5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.代数式1x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
8.分式cab,abc的最简公分母是___．
9.已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组．若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为_____．
10.一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的可能性大，则红球至多有_____个．
11.不改变分式0.3m+15nm−0.4n的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为_____________．
12.已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是_____.(写出一个正确的答案即可)
13.如图，某校根据学生上学方式进行了一次抽样调查，绘制出了一个未完成的扇形统计图，若该校骑车的学生有350人，则步行的学生有_____人．
14.如图，在▱ABCD中，∠A=64∘，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角的度数为_____ ∘．
15.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．当对角线AC、BD满足_____条件时，EG⊥HF．
16.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=CG=4，AH=CF=2.点P为矩形内一点，四边形AEPH、四边形CGPF的面积分别记为S1、S2，则S1+S2=_____．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算与求证：
(1)计算：x2x−1−1x−1；
(2)求证：1b−1a⋅aba2−b2=1a+b．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
先化简，再求值：x+2−5x−2÷x2−6x+9x−2，请在1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
19.(本小题8分)
某商场开业期间为了吸引顾客，推出了有奖销售的促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品(若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘).下表是此次促销活动中的一组统计数据：
(1)a=_____________；b=_____________．
(2)转动该转盘一次，估计指针落在“红色”区域的概率约是_____________；(结果精确到0.1)
(3)在该转盘中，估计“黄色”区域的扇形的圆心角约是多少度？(结果精确到1∘)
20.(本小题8分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，∠AFD=∠CEB.求证：四边形DFBE为平行四边形．
21.(本小题8分)
如图，▵ABC的顶点坐标分别为A1,1,B3,3,C4,1．
(1)画出▵A1B1C1,使▵A1B1C1 与▵ABC关于原点O对称．
(2)画出▵ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的▵A2B2C2，并写出点B2的坐标．
22.(本小题8分)
为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师抽测了该校八年级(1)班50名学生一分钟的跳绳次数，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：请结合图表完成下列问题：
(1)本次调查的方式是______________(填“普查”或“抽样调查”)，样本容量是______________；
(2)m=______________，并把频数分布直方图补充完整；
(3)若该校八年级学生共500人，规定在一分钟内跳绳次数少于120次时测试不合格，则该校一分钟跳绳不合格的人数大约有多少人？
23.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AC>AB．
(1)求作：菱形DBEC，使菱形的顶点D落在AC边上；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若∠BAC=90∘，AB=2，AC=4，求(1)中的菱形DBEC的面积．
24.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O．
(1)求证：四边形AEFD为矩形；
(2)若AB=6,OE=4,∠BAE=∠DEF，求BF、DF的长．
25.(本小题8分)
已知甲、乙两地相距200km，一辆汽车从甲地开往乙地．
(1)若该汽车先以50km/h的速度行驶了50 km，再以100 km/h的速度行驶了剩下的路程，求该汽车从甲地到乙地的时间；
(2)若该汽车采用以下两种不同方式行驶：
方式1：前12的路程以速度a km/h行驶，后12的路程以速度b km/h行驶；
方式2：前12的时间以速度a km/h行驶，后12的时间以速度b km/h行驶．
①设该汽车以方式1、方式2行驶到达目的地的时间分别为t1h、t2h.请用含a、b的代数式分别表示t1 ，t2；
②当a≠b时，哪种方式先到达目的地？请说明理由；
26.(本小题8分)
【教材重现】以下是苏科版八(下)数学教材第94页第19题第(1)(2)问．
在正方形ABCD中：
(1)如图1，如果点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，那么AE与BF相等吗？证明你的结论；
(2)如图2，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足为M，那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
(1)直接判断教材中的第(1)问的AE与BF是否相等？不必说明理由；
(2)完成教材中的第(2)问的解答；
【变式探究】
(3)如图3，当M点恰好是BF的中点时，对角线AC交GE于点H，判断MH与GE的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，A不合题意；
圆是中心对称图形，也是轴对称图形，B不合题意；
矩形是中心对称图形，是轴对称图形，C不合题意；
平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，D符合题意，
故选D．
2.【答案】B
【解析】【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件的定义，直接利用随机事件、必然事件的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、打开电视机，有可能正在播广告，也有可能播放其他节目，这是随机事件，故此选项不合题意；
B、367人中至少有2人的生日相同属于必然事件，故此选项符合题意；
C. 小明到达公交车站时，赶上想要乘坐的汽车，这是随机事件，故此选项不合题意；
D. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯，这是随机事件，故此选项不合题意；
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了最简分式，直接判断分子和分母在因式分解后有没有公因式即可．
【详解】解：A选项中分子和分母有公因式2m，所以A选项不符合题意；
B选项中分子和分母有公因式3−a，所以B选项不符合题意；
C选项中的分子和分母没有公因式，所以C选项符合题意；
D选项中分子和分母有公因式x−1，所以D选项不符合题意；
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是正确记忆各自的概念．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A.该校初二年级每一名学生的体重是个体，故A符合题意；
B.从中抽取的200名学生的体重是样本，故B不符合题意；
C.该校初二年级800名学生的体重是总体，故C不符合题意；
D.样本容量是200，说法错误，故D不符合题意．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答．直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可．
【详解】解：A.当x=32时，2x−3=0，x+2≠0，分式2x−3x+2的值为0，故此项选项不符合题意；
B.当x=−2时，x+2=0，分式2x−3x+2无意义，故此选项不符合题意；
C当x>1时，当x=32时，2x−3=0，x+2≠0，分式2x−3x+2的值为0，故此选项符合题意；
D.当x=5时，2x−3x+2=10−35+2=1，故此选项不符合题意．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长AC，BE，相交于点F，证明▵ABE≌▵AFE，得出BE=EF，AB=AF，然后利用三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：延长AC，BE，相交于点F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠AEF=90∘，
又AE=AE，
∴▵ABE≌▵AFE，
∴BE=EF，AB=AF，
∵AB=7，AC=4，
∴CF=AF−AC=AB−AC=3，
∵D是BC的中点，BE=EF，
∴DE=12CF=1.5，
故选：B．
7.【答案】x≠3
【解析】【详解】根据分式的有意义的条件，分母不能为0，可知x−3≠0，解得x≠3，
因此符合题意的x的取值范围为x≠3．
故答案为：x≠3．
8.【答案】abc
【解析】【分析】本题考查的是最简公分母的确定，根据最简公分母的含义可得答案．
【详解】解：分式cab,abc的最简公分母是abc，
故答案为：abc
9.【答案】15
【解析】【分析】本题考查了频率、频数及总数间关系，掌握频率=频数÷总数，各频数之和等于总数，各频率之和等于1是解决本题的关键．先计算出第五组的频数，再计算第四组的频数．
【详解】解：第五组的频数为：100×0.25=25，
所以第四组的频数为：100−60−25=15，
故答案为：15．
10.【答案】4
【解析】【分析】本题考查了可能性大小的 知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．根据哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可．
【详解】解：一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到白球的可能性大，
∴白球的数量多于红球的数量，
∴红球至多有4个，
故答案为：4．
11.【答案】3m+2n10m−4n
【解析】【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解．
【详解】解：0.3m+15nm−0.4n=3m+2n10m−4n
故答案为：3m+2n10m−4n．
12.【答案】1x2+1(答案不唯一)
【解析】【分析】本题考查的是分式的定义以及分式的值的含义，只需要构建一个分子与分母同号且分子不为0的分式即可．
【详解】解：∵一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，
∴这个分式可以是1x2+1(答案不唯一)，
故答案为：1x2+1(答案不唯一)．
13.【答案】400
【解析】【分析】本题考查的是从扇形统计图中获取信息，先求解总人数与步行人数的百分比，再进一步可得答案．
【详解】解：∵该校共有学生是：350÷126360=1000(人)
∴步行的学生所占的百分比是1−10%−15%−3501000=40%，
∴估计步行的有1000×40%=400(人)．
故答案为400．
14.【答案】52
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理．由旋转的性质可知BC=BC1，从而得到∠BCC1=∠C1，再由旋转角∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，，
∴BC=BC1，
∴∠BCC1=∠C1，
∵∠A=64∘，
∴∠BCD=∠C1=64∘，
∴∠BCC1=∠C1=64∘，
∴∠CBC1=180∘−2×64∘=52∘，
即旋转角的度数为52∘，
故答案为：52．
15.【答案】AC=BD
【解析】【分析】本题考查四边形的中点四边形，根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．
【详解】如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、DA的中点，
则EH、FG分别是▵ABD、▵BCD的中位线，EF、HG分别是▵ACD、▵ABC的中位线，
∴EH=FG=12BD，EF=HG=12AC，
∴当AC=BD，有EH=FG=HG=EF，
则四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥HF，
故添加：AC=BD．
故答案为：AC=BD．
16.【答案】21
【解析】【分析】本题考查矩形的性质，过P作PK⊥AB并延长KP交CD于T，过P作PM⊥AD并延长MP交BC于N，结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案．
【详解】过P作PK⊥AB并延长KP交CD于T，过P作PM⊥AD并延长MP交BC于N，连接PA，PB，PC，PD，
∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=8，AE=CG=4，AH=CF=2，
∴BE=DG=AH=CF=2，AD=BC，AD/​/BC，AB=CD，AB/​/CD，
，
∵PK⊥AB，PM⊥AD，
∴PK+PT=AD，PM+PN=MN，
∴S1+S2=12×AE×PK+12×CG×PT+12×AH×PM+12×CF×PN=12×4×PK+12×4×PT+12×2×PM+12×2×PN
=12×4×KT+12×2×MN
=12×4×8+12×2×5
=16+5
=21．
故答案为：21．
17.【答案】【 小问1详解】
解：x2x−1−1x−1
=x2−1x−1
=x+1x−1x−1
=x+1；
【小问2详解】
∵1b−1a⋅aba2−b2
=a−bab⋅aba+ba−b
=1a+b，
∴1b−1a⋅aba2−b2=1a+b

【解析】【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握混合运算的运算顺序是解本题的关键；
(1)直接利用分母不变，把分子相减，再约分即可；
(2)先计算左边，先计算括号内分式的减法，再计算除法，再与右边比较即可得到结论．
18.【答案】【详解】解：x+2−5x−2÷x2−6x+9x−2
=x+2x−2x−2−5x−2⋅x−2x−32
=x2−9x−2⋅x−2x−32
=(x+3)x−3x−32
=x+3x−3；
∵x≠2且x≠3．
∴当x=1时，原式=1+31−3=−2．

【解析】【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法，再计算除法，最后结合分式有意义的条件确定x=1，再代入计算即可．
19.【答案】【小问1详解】
解：357÷600=0.595，0.59×800=472，
故答案为：0.595；472
【小问2详解】
解：估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6，
故答案为：0.6，
【小问3详解】
解：1−0.6×360∘=144∘，
故答案为：“黄色”区域的扇形的圆心角约是144∘．

【解析】【分析】(1)根据频率的定义计算m=357时的频率和频率为0.59时的频数；
(2)从表中频率的变化，估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6，
(3)可根据“黄色”区域的的概率为1−0.6=0.4，然后根据扇形统计图的意义，用360∘乘以0.4即可估计“黄色”区域的扇形的圆心角．
本题考查了，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB/​/CD，
∴∠AFD=∠CDF，
∵∠AFD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CDF，
∴DF//BE，
又∵DE//BF，
∴四边形DFBE为平行四边形．

【解析】【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先证明DF/​/BE，再结合平行四边形的性质可得答案．
21.【答案】【小问1详解】
如图所示▵A1B1C1即为所求；
【小问2详解】
如图所示▵A2B2C2即为所求，B2(3,−3)．

【解析】【分析】本题考查作图−旋转变换，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键．
(1)分别作出三角形三顶点原点O对称的对应点，再顺次连接可得；
(2)分别作出三角形三顶点原点O顺时针方向旋转90∘得到的对应点，再顺次连接可得．
22.【答案】【小问1详解】
解：由题意，得：本次调查的方式是抽样调查，样本容量是50，
故答案为：抽样调查；50；
【小问2详解】
解：m=50−6−8−12−6=18，
补图如下：
；
【小问3详解】
解：500×6+850=140，
∴一分钟跳绳不合格的人数大约有140人．

【解析】【分析】本题主要考查频数分布直方图，关键是考查学生读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．
(1)根据题意及表格得本次调查为抽样调查，样本容量为50，即可求出答案；
(2)根据样本容量即可求出m，并根据m的值，即可将直方图补充完整；
(3)从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组，共6+8=14人，然后除以总人数即可求出该校八年级(1)班学生进行一分钟跳绳不合格的概率，然后即可得出人数．
23.【答案】【小问1详解】
如图所示，菱形DBEC即为所求；
．
【小问2详解】
由(1)得四边形DBEC是菱形，
∴BD=BE=CE=CD，
设BD=CD=x，则AD=AC−CD=4−x，
在Rt▵ADB中，根据勾股定理得AB2+AD2=BD2，
∴22+(4−x)2=x2，
解得x=52，
∴BD=BE=CE=CD=52，
∴菱形DBEC的面积=52×2=5．

【解析】【分析】本题考查了作图−复杂作图，菱形的判定与性质，勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
(1)作BC的垂直平分线交AC于D，然后以B点为圆心，BC为半径画弧交BC的垂直平分线于E，则四边形DBEC满足条件；
(2)根据菱形的性质得到BD=BE=CE=CD，设BD=CD=x，则AD=AC−CD=4−x，利用勾股定理得到22+(4−x)2=x2，解方程得到菱形的边长，从而得到菱形的面积．
24.【答案】【小问1详解】
证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC，
∴AD=BC=EF，
又∵AD//EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90∘，
∴平行四边形AEFD为矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形AEFD为矩形，
∴AF=DE,OA=OF=12AF,OD=OE=12DE,AE=DF，
∴AF=DE=2OE=8,OA=OF=OD=OE，
∴∠DEF=∠AFE，
又∵∠AEF=90∘，
∴∠EAF+∠AFE=90∘，
又∵∠BAE=∠DEF，∠DEF=∠AFE，
∴∠BAE+∠EAF=90∘，
∴∠BAF=90∘，
在Rt▵BAF中，由勾股定理得：BF2=AB2+AF2=62+82=100，
∴BF=10，
∵S▵BAF=12AB⋅AF=12BF⋅AE，
∴12×6×8=12×10×AE，
解得AE=4.8，
∴DF=AE=4.8．

【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解题的关键．
(1)先根据一组对边平行且相等证明四边形AEFD为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证明四边形AEFD为矩形；
(2)先根据矩形的性质通过导角证明∠BAF=90∘，再用勾股定理解Rt▵BAF求出BF，最后根据S▵BAF=12AB⋅AF=12BF⋅AE求出AE即可．
25.【答案】【小问1详解】
解：50÷50+200−50÷100=2.5h
答：该汽车从甲地到乙地的时间为2.5h．
【小问2详解】
①由题意可得：t1=100a+100b=100a+bab，
t2=20012a+12b=400a+b，
②∵t1−t2=100a+bab−400a+b=100a−b2aba+b
∵ab>0，a+b>0，a−b2>0，
∴100a−b2aba+b>0，
即t1−t2>0，所以t1>t2．
答：方式2先到达目的地．

【解析】【分析】本题考查的是分式的应用，列代数式，分式的值的大小比较，分式的加减运算，理解题意是解题关键．
(1)利用路程除以速度等于时间列式计算即可；
(2)①利用路程除以速度等于时间分别列式计算t1，t2即可；②利用作差的方法比较两个分式的值的大小即可得到结论．
26.【答案】【详解】(1)证明：相等；
在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠C=90∘，
∵AE⊥BF，
∴∠BFC=90∘−∠CBF=∠AEB，
∴▵ABE≌▵BCF，
∴AE=BF；
(2)证明：作GP⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABP=90∘，
∵GP⊥BC，
∴∠A=∠ABP=∠BPG=90∘
∴四边形ABPG是矩形，
∴GP=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，
∴BC=GP，
又∵∠BCF=90∘，
∴∠BFC+∠CBF=90∘，
又∵GE⊥BF，
∴∠GEP+∠CBF=90∘，
∴∠GEP=∠BFC，
在▵BCF和▵GPE中，
∠GEP=∠BFC∠GPE=∠BCFBC=GP,
∴▵BCF≌▵GPE，
∴GE=BF；
(3)作HQ⊥BC，连接CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90∘，
∴∠ACB=45∘，
又∵HQ⊥BC，
∴∠CHQ=45∘，
∴∠4+∠5=∠2+∠3=45∘，
又∵HQ⊥BC,HE⊥BF，
∴∠HMB=∠HQB=90∘，
∴∠1=∠4，
又∵在Rt▵BCF中，M是BF的中点，
∴CM=BM=FM=12BF，
∴∠1=∠2=∠4，
∴∠3=∠5，
∴MH=MC=12BF，
又由(2)得：GE=BF，
∴MH=12GE．

【解析】【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键．
(1)证明▵ABE≌▵BCF即可证明；
(2)作GP⊥BC，证明▵BCF≌▵GPE即可证明结论；
(3)作HQ⊥BC，连接CM，根据直角三角形性质得出CM=BM=FM=12BF，进一步证出结论即可；
转动转盘的次数n
100
200
400
600
800
1000
落在“红色”区域的次数m
60
122
240
357
b
603
落在“红色”区域的频率mn
0.6
0.61
0.6
a
0.59
0.603
组别
次数x
频数(人数)
第1组
80≤x<100
6
第2组
100≤x<120
8
第3组
120≤x<140
12
第4组
140≤x<160
m
第5组
160≤x<180
6