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信息必刷卷02（南京专用）-2024年中考数学考前信息必刷卷
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这是一份信息必刷卷02（南京专用）-2024年中考数学考前信息必刷卷，文件包含信息必刷卷02南京专用原卷版docx、信息必刷卷02南京专用解析版docx、信息必刷卷02南京专用参考答案docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
数 学（南京专用）
2024年南京市中考数学试卷结构和2023年相同，根据最新考试信息、样卷以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，选、填题基本都为基础题，相对难度较低，而解答题的最后一题从2022年开始由原来的两问改为三问，明显增加了难度，也是拉开学生分数的重要题型，需要密切关注。
新考法1：第6题通常考查几何图形的性质与变换，难度中等；
新考法2：第7-10、17-18题将会重点考查数与式、解方程（组）或不等式（组），难度偏低；
新考法3：第23题通常会出现解直角三角形应用的相关题型，难度中等；
新考法4：第27题极大可能会出现阅读理解型问题，对学生分析和理解能力要求比较高。
另外，在平时学习中要特别关注基础性（试卷的1-5,7-11,17-18题较为简单可直接拿分、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型（如本卷中的第20题的数据分析题和第21题概率题常结合当下热门问题来考查）和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。近五年来，南京市中考真题中二次函数与几何结合的综合压轴题几乎没考，所以南京市中考数学的难度相对来说还是比较低的，但是复习时也需要练习二次函数与几何结合的综合压轴题，避免2024年中考中出现。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．16的值是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根（一个非负数x的平方等于a，则x叫作a的算术平方根），解题的关键是掌握算术平方根的定义直接求解即可．
【详解】解：∵42=16，
∴16的算术平方根是4，
即16=4．
故选：A．
2．下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．7B．22C．13D．17
【答案】C
【分析】
根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键
【详解】解：∵3=9，4=16，而22=8，9<13<16，
∴大小在3与4之间的是13，
故选：C．
3．一次函数y=2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案．
【详解】解：∵k=2>0，b=1>0，
∴一次函数y=2x+1的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限，
故选：D
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，熟记一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
k>0,b>0时，函数y=kx+b图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；
k＞0,b＜0时，函数y=kx+b图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大；
k＜0,b＞0时，函数y=kx+b图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；
k＜0,b＜0时，函数y=kx+b图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小．
4．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A．a-b>0 B．a-b<0C．ab>0D．ab<0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a?0的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此计算即可得出答案．
【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴化为一般式为：ax2+2ax+a-b=0
，
，
故选：C．
5．某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如下的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（ ）
A．4.5B．4.7C．4.9D．5.1
【答案】B
【分析】根据中位数的定义即可求解．
【详解】解：的情况占50%，故中位数可能是4.7，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作于点H．当AB=BC，∠BOC=30°，DE=2时，EH的长为（ ）
A． 2B．32C．3D．43
【答案】C
【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出OB=33，BE=3，继而OA=OB2-AB2=32求出再根据sin?OBA=OAOB=EHEB=63，即可求．
【详解】解：∵在菱形CDEF中，CD=DE=EF=CF=2，DE∥BC，
∴，
又∵，
∴，，
∴OC=CD+OD=2+4=6，，
∴，，
∴BE=OB-OE=33-23=3
∵AB=BC=3，
∴在中，OA=OB2-AB2=(33)2-32=32，
∵EH⊥AB，
∴sin?OBA=OAOB=EHEB=3233=63，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出OC、OB、OA是解题关键．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7．计算-3--2的结果是 .
【答案】 QUOTE 1 1
【分析】本题考查了有理数的减法、绝对值，先计算有理数的减法，再根据绝对值的性质即可得出答案．
【详解】解：-3--2=-3+2=-1=1，
故答案为：1．
8．要使代数式xx-4有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x>4
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得：x-4>0，解得：x>4；
故答案为：x>4．
【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键．
9．据统计，全国义务教育学校共有7743.1万名学生参加了课后服务，将7743.1万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
解：将7743.1万用科学记数法表示为．
故答案为：．
10．设x1、x2是方程x2-3x-2020=0的两个根，则x12-2x1+x2= ．
【答案】2023
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．
首先根据根与系数关系得到x1+x2=3，之后将x1代入方程中得到x12-3x1-2020=0，变形为x12-3x1=2020，两式相加即可得到答案．
【详解】解：、x2是方程x2-3x-2020=0的两个根，
，x12-3x1-2020=0
?x12-3x1=2020
．
故答案为：2023．
11．如图，已知AB、CD相交于O，于O，∠AOC=40°，则的度数是 °．
【答案】50
【详解】本题主要考查垂线的性质、邻补角，熟练掌握垂线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键．
根据垂线的性质、邻补角的定义解决此题．
【解答】：解：∵OE⊥CD于O，
∴．
∴．
故答案为：50．
12．若关于x的分式方程2x-4=3-mx-4有增根，则m的值是 ．
【答案】-2
【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根的解题思路是关键．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-4=0，得到x=4，然后代入整式方程，算出a的值．
【详解】解：2x-4=3-mx-4，
方程两边都乘x-4，
得2=3x-4-m，
原方程有增根，
最简公分母x-4=0，
解得x=4，
当x=4时，m=-2，
故答案为：-2．
13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是1,3，将OA绕着点A逆时针旋转得到AB，则点B的坐标是 ．
【答案】(4,2)
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
过点A作AD⊥y轴，过点B作BH⊥x轴，交AD于E，根据旋转的性质可知：OA=AB，而∠AOD与∠BAE都是∠OAD的余角，因此两角相等，因此这两个直角三角形就全等，那么AD=BE，OD=AE，由此可得出B点坐标．
【详解】解：过点A作AD⊥y轴，过点B作BH⊥x轴，交AD于E，
将OA绕着点A逆时针旋转90°得到AB，
∴OA=AB，，
∴∠OAD+∠BAE=90°，
∴∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠AOD=∠BAE，
∵∠ODA=∠AEB=90°，
，
∵A的坐标是1,3，
，OD=AE=3
∴B点坐标为4,2
故答案为：4,2．
14．以下对一次函数y=-x+2的图像进行变化的方案中正确的是 （只填序号）．
①向下平移4个单位长度得到一次函数y=-x-2的图像；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y=-x-2的图像；
③绕原点旋转得到一次函数y=x-2的图像；
④先沿x轴对称，再沿y轴对称得到一次函数y=-x-2的图像．
【答案】①②④
【分析】根据一次函数的平移，判断①②，根据旋转的性质以及轴对称的性质，分别画出图形判断③④即可求解．
【详解】解：一次函数y=-x+2
①向下平移4个单位长度得到一次函数y=-x+2-4，即y=-x-2的图像，故①正确，符合题意；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y=-x+4+2，即y=-x-2的图像，故②正确，符合题意；
③如图所示，绕原点旋转90°得到一次函数y=x-2或y=x+2的图像；故③不正确，不符合题意；
④如图所示，先沿x轴对称得到y=x-2，再沿y轴对称得到一次函数y=-x-2的图像，故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，轴对称与旋转的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
15．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，的面积为S2，则S1S2= ．
【答案】2
【分析】连接OA,OC,OE，首先证明出△ACE是⊙O的内接正三角形，然后证明出?BAC??OACASA，得到S△BAC=S△AFE=S△CDE，S△OAC=S△OAE=S△OCE，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接OA,OC,OE，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是⊙O的内接正三角形，
∵，AB=BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
又∵AC=AC，
∴?BAC??OACASA，
∴，
由圆和正六边形的性质可得，S△BAC=S△AFE=S△CDE，
由圆和正三角形的性质可得，S△OAC=S△OAE=S△OCE，
∵，
∴S1S2=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．邻边长分别为2，a2【答案】103或83．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的四条边都相等．
根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可．
【详解】解：①如图，经历三次折叠后，四边形IJHF为菱形，
四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=CD=2，
，
四边形GCEH为菱形，
，
∴DG=FH=2-(a-2)=4-a，
四边形DGJI为菱形，
，
∴IF=a-2-(4-a)=4a-6，
四边形IJHF为菱形，
∴IF=HF，即4-a=4a-6，
解得：a=103；
②如图，经历三次折叠后，四边形DIHF为菱形，
四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=CD=2，
，
四边形JCEG，IJGH，DIHF都为菱形，
?DI=23CD=23
∴a-2=23
解得：a=83；
故答案为：103或83．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（7分）化简，从-1≤x<4中选出你喜欢的整数值代入求值.
【答案】1-xx+1，当x=0时，值为1；当x=3时，值为-12
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是运用分式的通分和约分来计算．
先对小括号里面的分式进行通分再相减；再根据完全平方公式将第二个分式的分母进行变形；最后相乘进行约分、求值即可．
【详解】解：原式
=-(x-2)(x-1)(x+1)×(x-1)2x-2
=1-xx+1，
根据题意x不能取，
当x=0时，原式=1-00+1=1．
当x=3时，原式=1-33+1=-12.
18．（7分）解不等式组并在数轴上表示出解集．
【答案】原不等式组的解集为：，数轴表示见解析．
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后再数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】
解：
解不等式①得：x<4，
解不等式②得：x≥2，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F位于BC，AD上，AE，CF分别平分，．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当满足条件______ 时，四边形AECF是矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB=AC
【分析】1根据平行四边形的性质和角平分线定义即可完成证明；
2根据等腰三角形的性质可得AE⊥BC，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴，
∵AE平分∠BAC，CF平分∠DCA，
∴，，
∴，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）当△ABC满足AB=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是矩形．
故答案为：AB=AC．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，证明四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键．
20．（8分）某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．
(1)这四周西红柿销售单价的众数为 ，黄瓜销售单价的中位数为 ；
(2)分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；
(3)结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．
【答案】(1)6，5.5
(2)西红柿销量的方差为462.5，黄瓜销量的方差为350
(3)西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加
【分析】此题考查了条形统计图，折线统计图，中位数，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据统计图数据解答即可．
【详解】（1）由题意得，这四周西红柿销售单价的众数为6，黄瓜销售单价的中位数为：5+62=5.5；
故答案为：6，5.5；
（2）西红柿销量的平均数，
黄瓜销量的平均数，
西红柿销量的方差S2???=462.5，
黄瓜销量的方差S2??=350；
（3）答案不唯一，如：西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加．
21．（8分）一个不透明的袋子中，装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球是红球的概率为______ ；
(2)搅匀后从中任意摸出2个球，求2个都是红球的概率．
【答案】(1)35
(2)310
【分析】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中2个都是红球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球是红球的概率为33+2=35，
故答案为：35；
（2）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中2个都是红球的结果有6种，
∴2个都是红球的概率为620=310．
22．（8分）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛，问大、小容器的容积各是多少斛?”
【答案】大容器的容积是1324斛，小容器的容积是724斛
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】解：设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，
依题意，得：5x+y=3x+5y=2，
解得：x=1324y=724，
答：大容器的容积是1324斛，小容器的容积是724斛．
23．（8分）如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以40海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东方向上，继续航行1.8小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东方向，避风港M在北偏东方向上．求此时渔船离避风港的距离BM．（参考数据：tan22°≈0.40 w,sin53°≈0.80,cs53°≈0.60，tan53°≈1.33 w）
【答案】约为200海里
【分析】过点分别作PC⊥AB于于D，交AB的延长线于点．设PC=x海里，在中，，在中，，解方程求得MD=120,在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：过点分别作PC⊥AB于于D，交AB的延长线于点．
由题意可知：AB=40×1.8=72海里，
则四边形PCDM为矩形，
∴PC=MD，
设PC=x海里，
在中，，
在中，，
，
，
解得：x=120，
，
在中，BM=MDcs53°=1200.6=200（海里）．
答：渔船离避风港的距离BM约为200海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形并熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB?AC切小圆于点M、N．
(1)求证AB=AC；
(2)若两圆半径分别为3和5，则BC=_________．
【答案】(1)见解析
(2)9.6
【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握切线的性质，是解题的关键．
（1）连接 ，根据切线的性质结合垂径定理，得到∠AMO=∠ANO=90°,AM=12AB,AN=12AC，证明△AMO≌△ANO，得到AM=AN，即可得证；
（2）延长AO交BC于点E，连接OB，得到AE⊥BC，设OE=x，得到AE=5+x，根据BE2=AB2-AE2=OB2-OE2，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 大圆的弦 分别切小圆于点，
∴．
∴∠AMO=∠ANO=90°,AM=12AB,AN=12AC．
∵OA=OA，
∴△AMO≌△ANO．
∴AM=AN．
∴AB=AC．
（2）延长AO交BC于点E，连接OB，
∵△AMO≌△ANO，
∴，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，BC=2BE，
∵OA=5,OM=3,
∴AM=OA2-OM2=4，
∴AB=2AM=8，
设OE=x，
则：AE=5+x，
∵BE2=AB2-AE2=OB2-OE2，
∴82-5+x2=52-x2，
解得：x=75，
∴BE=OB2-OE2=4.8，
∴BC=2BE=9.6．
25．（8分）已知二次函数 y=-x2-2ax+4a+5（a为常数，）．
(1)求证：不论a为何值，该函数图象与x轴必有公共点；
(2)①当a=-2时，求该函数图象的顶点坐标；
②已知，该函数的图象与线段AB有且只有一个公共点，则a 的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)①2,1；②a>0或a<-3且a=-2
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并分类讨论是解题的关键．
（1）根据根的判别式，即可解答；
（2）①把a=-2代入函数解析式，求出顶点坐标即可；
②考虑三种情况，即函数图象的顶点在线段AB上；函数图象的左边交于线段AB时；函数图象的右边交于线段AB时，依次解答即可．
【详解】（1）证明：列方程0=-x2-2ax+4a+5，
，
方程0=-x2-2ax+4a+5有两个不相同的实数根，
即不论a为何值，该函数图象与x轴必有公共点；
（2）解：①当a=-2时，二次函数解析式为y=-x2+4x-3，
，
该函数图象的顶点坐标为2,1；
②函数的图象与线段AB有且只有一个公共点，考虑三种情况，
当函数图象的右边交于线段AB时，
可得当x=-2时，函数图象在线段上方，当x=4时，函数图象在线段下方，
故可得不等式，
解得a≥0，
经过检验当a=0时，函数图象与线段产生两个交点，
∴a≠0，即a>0；
当函数图象的左边交于线段AB时，
可得当x=-2时，函数图象在线段下方，当x=4时，函数图象在线段上方，
故可得不等式，
解得a≤-3，
经过检验当a=-3时，函数图象与线段产生两个交点，
∴a≠-3，即a<-3；
当函数图象的顶点在线段AB时，
二次函数 y=-x2-2ax+4a+5的顶点为-a,a2+4a+5，
即a2+4a+5=1，解得a=-2，
综上所述，a>0或a<-3且a=-2．
26．（9分）如图，P为正方形ABCD对角线BD上一点（不与B、D重合），于E，于F，连接EF．
求证：
(1)AP=EF；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接PC，先证明△ADP≌△CDP，得AP=CP，再证明四边形PECF是矩形，根据矩形的性质即可得出结论；
（2）延长EP交AD于H，先证明△EPF≌△CFP，再根据余角的定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，AD=CD，BD平分∠ADC即，
∴△ADP≌△CDP，
∴AP=CP．
∵PE⊥BC，PF⊥CD．
∴，
∴四边形PECF是矩形，
∴CP=EF，
∴AP=EF．
（2）证明：延长EP交AD于H，则EP⊥AD即．
∵△ADP≌△CDP，
∴，
在矩形PECF中，PE=FC，，PF=FP
∴△EPF≌△CFP
∴，
∴
在△AEH中，，则，即∠EAP+∠PAD+∠AEH=90°，
∴在△AEG中，∠EAP+∠PEG+∠AEH=90°，即，
∴，即AP⊥EF．
【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
27．（9分）背景：在数学综合实践活动中，小明利用等面积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知AD是的角平分线，可证ABAC=BDCD．小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：如图2，过点B作，交AD的延长线于点E，从而证得ABAC=BDCD．
证明：（1）请参照小红提供的思路，利用图2证明：ABAC=BDCD；
运用：（2）如图3，AD是的角平分线，M是BC边的中点，过M点作，交BA的延长线于点N，交AC于点G．若AB=4，AC=6，求线段AN的长；
拓展：（3）如图4，⊙O是的外接圆，AB是直径，点D是半圆AB的中点，连接CD交AB于点E．若AC=3，BC=6，求线段DE的长．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）线段AN的长为1；
（3）线段DE的长为522
【分析】（1）根据材料提示，证明△BDE∽△CDA，即可求解；
（2）由（1）的结论可得BDCD=23，设，分别用含x的式子表示出的长，根据平行线分线段成比例即可求解；
（3）根据等弧所对圆周角相等可得AD是角平分线，根据（1）中的结论可得AEBE的值，设AE=a，用含a的式子分别表示出长，根据直径所对圆心角为直角，运用勾股定理可得AB的值，由此可求出的长，再证OD⊥AB，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴，
∵BE∥AC，
∴，
∴，则BA=BE，
∵，
∴△BDE∽△CDA，
∴BDCD=BEAC，
∴ABAC=BDCD；
（2）解：∵AD平分∠BAC，
∴由（1）的结论可得，ABAC=BDCD，则BDCD=23，
设，则BC=5x，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM=12BC=52x，
∴DM=BM-BD=52x-2x=12x，
∵MN∥AD，
∴ANAB=DMBD，即AN4=12x2x，
∴AN=1，
∴线段AN的长为1；
（3）解：如图所示，连接OD，
∵D是半圆AB的中点，
∴AD?=BD?，
∴，即CD平分∠ACB，
由（1）的结论可得，ACBC=AEBE=12，
设AE=a，则BE=2a，AB=3a，
∴OA=OB=12AB=32a，则OE=OA-AE=32a-a=12a，
∵AB是直径，
∴，则，
在中，AB=AC2+BC2=32+62=35，
∴3a=35，则a=5，
∴OD=OA=12AB=352，OE=12a=52，
∵，
∴∠BOD=2∠BCD=90°，即OD⊥AB，
在中，DE=OD2+OE2=3522+522=522，
∴线段DE的长为：522．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，直径所对圆周角为直角，勾股定理求线段长等知识是解题的关键．
数 学（南京专用）
2024年南京市中考数学试卷结构和2023年相同，根据最新考试信息、样卷以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，选、填题基本都为基础题，相对难度较低，而解答题的最后一题从2022年开始由原来的两问改为三问，明显增加了难度，也是拉开学生分数的重要题型，需要密切关注。
新考法1：第6题通常考查几何图形的性质与变换，难度中等；
新考法2：第7-10、17-18题将会重点考查数与式、解方程（组）或不等式（组），难度偏低；
新考法3：第23题通常会出现解直角三角形应用的相关题型，难度中等；
新考法4：第27题极大可能会出现阅读理解型问题，对学生分析和理解能力要求比较高。
另外，在平时学习中要特别关注基础性（试卷的1-5,7-11,17-18题较为简单可直接拿分、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型（如本卷中的第20题的数据分析题和第21题概率题常结合当下热门问题来考查）和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。近五年来，南京市中考真题中二次函数与几何结合的综合压轴题几乎没考，所以南京市中考数学的难度相对来说还是比较低的，但是复习时也需要练习二次函数与几何结合的综合压轴题，避免2024年中考中出现。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．16的值是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根（一个非负数x的平方等于a，则x叫作a的算术平方根），解题的关键是掌握算术平方根的定义直接求解即可．
【详解】解：∵42=16，
∴16的算术平方根是4，
即16=4．
故选：A．
2．下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．7B．22C．13D．17
【答案】C
【分析】
根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键
【详解】解：∵3=9，4=16，而22=8，9<13<16，
∴大小在3与4之间的是13，
故选：C．
3．一次函数y=2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案．
【详解】解：∵k=2>0，b=1>0，
∴一次函数y=2x+1的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限，
故选：D
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，熟记一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
k>0,b>0时，函数y=kx+b图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；
k＞0,b＜0时，函数y=kx+b图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大；
k＜0,b＞0时，函数y=kx+b图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；
k＜0,b＜0时，函数y=kx+b图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小．
4．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A．a-b>0 B．a-b<0C．ab>0D．ab<0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a?0的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此计算即可得出答案．
【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴化为一般式为：ax2+2ax+a-b=0
，
，
故选：C．
5．某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如下的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（ ）
A．4.5B．4.7C．4.9D．5.1
【答案】B
【分析】根据中位数的定义即可求解．
【详解】解：的情况占50%，故中位数可能是4.7，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作于点H．当AB=BC，∠BOC=30°，DE=2时，EH的长为（ ）
A． 2B．32C．3D．43
【答案】C
【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出OB=33，BE=3，继而OA=OB2-AB2=32求出再根据sin?OBA=OAOB=EHEB=63，即可求．
【详解】解：∵在菱形CDEF中，CD=DE=EF=CF=2，DE∥BC，
∴，
又∵，
∴，，
∴OC=CD+OD=2+4=6，，
∴，，
∴BE=OB-OE=33-23=3
∵AB=BC=3，
∴在中，OA=OB2-AB2=(33)2-32=32，
∵EH⊥AB，
∴sin?OBA=OAOB=EHEB=3233=63，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出OC、OB、OA是解题关键．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7．计算-3--2的结果是 .
【答案】 QUOTE 1 1
【分析】本题考查了有理数的减法、绝对值，先计算有理数的减法，再根据绝对值的性质即可得出答案．
【详解】解：-3--2=-3+2=-1=1，
故答案为：1．
8．要使代数式xx-4有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x>4
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得：x-4>0，解得：x>4；
故答案为：x>4．
【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键．
9．据统计，全国义务教育学校共有7743.1万名学生参加了课后服务，将7743.1万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
解：将7743.1万用科学记数法表示为．
故答案为：．
10．设x1、x2是方程x2-3x-2020=0的两个根，则x12-2x1+x2= ．
【答案】2023
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．
首先根据根与系数关系得到x1+x2=3，之后将x1代入方程中得到x12-3x1-2020=0，变形为x12-3x1=2020，两式相加即可得到答案．
【详解】解：、x2是方程x2-3x-2020=0的两个根，
，x12-3x1-2020=0
?x12-3x1=2020
．
故答案为：2023．
11．如图，已知AB、CD相交于O，于O，∠AOC=40°，则的度数是 °．
【答案】50
【详解】本题主要考查垂线的性质、邻补角，熟练掌握垂线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键．
根据垂线的性质、邻补角的定义解决此题．
【解答】：解：∵OE⊥CD于O，
∴．
∴．
故答案为：50．
12．若关于x的分式方程2x-4=3-mx-4有增根，则m的值是 ．
【答案】-2
【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根的解题思路是关键．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-4=0，得到x=4，然后代入整式方程，算出a的值．
【详解】解：2x-4=3-mx-4，
方程两边都乘x-4，
得2=3x-4-m，
原方程有增根，
最简公分母x-4=0，
解得x=4，
当x=4时，m=-2，
故答案为：-2．
13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是1,3，将OA绕着点A逆时针旋转得到AB，则点B的坐标是 ．
【答案】(4,2)
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
过点A作AD⊥y轴，过点B作BH⊥x轴，交AD于E，根据旋转的性质可知：OA=AB，而∠AOD与∠BAE都是∠OAD的余角，因此两角相等，因此这两个直角三角形就全等，那么AD=BE，OD=AE，由此可得出B点坐标．
【详解】解：过点A作AD⊥y轴，过点B作BH⊥x轴，交AD于E，
将OA绕着点A逆时针旋转90°得到AB，
∴OA=AB，，
∴∠OAD+∠BAE=90°，
∴∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠AOD=∠BAE，
∵∠ODA=∠AEB=90°，
，
∵A的坐标是1,3，
，OD=AE=3
∴B点坐标为4,2
故答案为：4,2．
14．以下对一次函数y=-x+2的图像进行变化的方案中正确的是 （只填序号）．
①向下平移4个单位长度得到一次函数y=-x-2的图像；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y=-x-2的图像；
③绕原点旋转得到一次函数y=x-2的图像；
④先沿x轴对称，再沿y轴对称得到一次函数y=-x-2的图像．
【答案】①②④
【分析】根据一次函数的平移，判断①②，根据旋转的性质以及轴对称的性质，分别画出图形判断③④即可求解．
【详解】解：一次函数y=-x+2
①向下平移4个单位长度得到一次函数y=-x+2-4，即y=-x-2的图像，故①正确，符合题意；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y=-x+4+2，即y=-x-2的图像，故②正确，符合题意；
③如图所示，绕原点旋转90°得到一次函数y=x-2或y=x+2的图像；故③不正确，不符合题意；
④如图所示，先沿x轴对称得到y=x-2，再沿y轴对称得到一次函数y=-x-2的图像，故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，轴对称与旋转的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
15．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，的面积为S2，则S1S2= ．
【答案】2
【分析】连接OA,OC,OE，首先证明出△ACE是⊙O的内接正三角形，然后证明出?BAC??OACASA，得到S△BAC=S△AFE=S△CDE，S△OAC=S△OAE=S△OCE，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接OA,OC,OE，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是⊙O的内接正三角形，
∵，AB=BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
又∵AC=AC，
∴?BAC??OACASA，
∴，
由圆和正六边形的性质可得，S△BAC=S△AFE=S△CDE，
由圆和正三角形的性质可得，S△OAC=S△OAE=S△OCE，
∵，
∴S1S2=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．邻边长分别为2，a2
【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的四条边都相等．
根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可．
【详解】解：①如图，经历三次折叠后，四边形IJHF为菱形，
四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=CD=2，
，
四边形GCEH为菱形，
，
∴DG=FH=2-(a-2)=4-a，
四边形DGJI为菱形，
，
∴IF=a-2-(4-a)=4a-6，
四边形IJHF为菱形，
∴IF=HF，即4-a=4a-6，
解得：a=103；
②如图，经历三次折叠后，四边形DIHF为菱形，
四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=CD=2，
，
四边形JCEG，IJGH，DIHF都为菱形，
?DI=23CD=23
∴a-2=23
解得：a=83；
故答案为：103或83．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（7分）化简，从-1≤x<4中选出你喜欢的整数值代入求值.
【答案】1-xx+1，当x=0时，值为1；当x=3时，值为-12
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是运用分式的通分和约分来计算．
先对小括号里面的分式进行通分再相减；再根据完全平方公式将第二个分式的分母进行变形；最后相乘进行约分、求值即可．
【详解】解：原式
=-(x-2)(x-1)(x+1)×(x-1)2x-2
=1-xx+1，
根据题意x不能取，
当x=0时，原式=1-00+1=1．
当x=3时，原式=1-33+1=-12.
18．（7分）解不等式组并在数轴上表示出解集．
【答案】原不等式组的解集为：，数轴表示见解析．
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后再数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】
解：
解不等式①得：x<4，
解不等式②得：x≥2，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F位于BC，AD上，AE，CF分别平分，．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当满足条件______ 时，四边形AECF是矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB=AC
【分析】1根据平行四边形的性质和角平分线定义即可完成证明；
2根据等腰三角形的性质可得AE⊥BC，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴，
∵AE平分∠BAC，CF平分∠DCA，
∴，，
∴，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）当△ABC满足AB=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是矩形．
故答案为：AB=AC．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，证明四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键．
20．（8分）某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．
(1)这四周西红柿销售单价的众数为 ，黄瓜销售单价的中位数为 ；
(2)分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；
(3)结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．
【答案】(1)6，5.5
(2)西红柿销量的方差为462.5，黄瓜销量的方差为350
(3)西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加
【分析】此题考查了条形统计图，折线统计图，中位数，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据统计图数据解答即可．
【详解】（1）由题意得，这四周西红柿销售单价的众数为6，黄瓜销售单价的中位数为：5+62=5.5；
故答案为：6，5.5；
（2）西红柿销量的平均数，
黄瓜销量的平均数，
西红柿销量的方差S2???=462.5，
黄瓜销量的方差S2??=350；
（3）答案不唯一，如：西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加．
21．（8分）一个不透明的袋子中，装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球是红球的概率为______ ；
(2)搅匀后从中任意摸出2个球，求2个都是红球的概率．
【答案】(1)35
(2)310
【分析】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中2个都是红球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球是红球的概率为33+2=35，
故答案为：35；
（2）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中2个都是红球的结果有6种，
∴2个都是红球的概率为620=310．
22．（8分）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛，问大、小容器的容积各是多少斛?”
【答案】大容器的容积是1324斛，小容器的容积是724斛
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】解：设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，
依题意，得：5x+y=3x+5y=2，
解得：x=1324y=724，
答：大容器的容积是1324斛，小容器的容积是724斛．
23．（8分）如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以40海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东方向上，继续航行1.8小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东方向，避风港M在北偏东方向上．求此时渔船离避风港的距离BM．（参考数据：tan22°≈0.40 w,sin53°≈0.80,cs53°≈0.60，tan53°≈1.33 w）
【答案】约为200海里
【分析】过点分别作PC⊥AB于于D，交AB的延长线于点．设PC=x海里，在中，，在中，，解方程求得MD=120,在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：过点分别作PC⊥AB于于D，交AB的延长线于点．
由题意可知：AB=40×1.8=72海里，
则四边形PCDM为矩形，
∴PC=MD，
设PC=x海里，
在中，，
在中，，
，
，
解得：x=120，
，
在中，BM=MDcs53°=1200.6=200（海里）．
答：渔船离避风港的距离BM约为200海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形并熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB?AC切小圆于点M、N．
(1)求证AB=AC；
(2)若两圆半径分别为3和5，则BC=_________．
【答案】(1)见解析
(2)9.6
【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握切线的性质，是解题的关键．
（1）连接 ，根据切线的性质结合垂径定理，得到∠AMO=∠ANO=90°,AM=12AB,AN=12AC，证明△AMO≌△ANO，得到AM=AN，即可得证；
（2）延长AO交BC于点E，连接OB，得到AE⊥BC，设OE=x，得到AE=5+x，根据BE2=AB2-AE2=OB2-OE2，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 大圆的弦 分别切小圆于点，
∴．
∴∠AMO=∠ANO=90°,AM=12AB,AN=12AC．
∵OA=OA，
∴△AMO≌△ANO．
∴AM=AN．
∴AB=AC．
（2）延长AO交BC于点E，连接OB，
∵△AMO≌△ANO，
∴，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，BC=2BE，
∵OA=5,OM=3,
∴AM=OA2-OM2=4，
∴AB=2AM=8，
设OE=x，
则：AE=5+x，
∵BE2=AB2-AE2=OB2-OE2，
∴82-5+x2=52-x2，
解得：x=75，
∴BE=OB2-OE2=4.8，
∴BC=2BE=9.6．
25．（8分）已知二次函数 y=-x2-2ax+4a+5（a为常数，）．
(1)求证：不论a为何值，该函数图象与x轴必有公共点；
(2)①当a=-2时，求该函数图象的顶点坐标；
②已知，该函数的图象与线段AB有且只有一个公共点，则a 的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)①2,1；②a>0或a<-3且a=-2
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并分类讨论是解题的关键．
（1）根据根的判别式，即可解答；
（2）①把a=-2代入函数解析式，求出顶点坐标即可；
②考虑三种情况，即函数图象的顶点在线段AB上；函数图象的左边交于线段AB时；函数图象的右边交于线段AB时，依次解答即可．
【详解】（1）证明：列方程0=-x2-2ax+4a+5，
，
方程0=-x2-2ax+4a+5有两个不相同的实数根，
即不论a为何值，该函数图象与x轴必有公共点；
（2）解：①当a=-2时，二次函数解析式为y=-x2+4x-3，
，
该函数图象的顶点坐标为2,1；
②函数的图象与线段AB有且只有一个公共点，考虑三种情况，
当函数图象的右边交于线段AB时，
可得当x=-2时，函数图象在线段上方，当x=4时，函数图象在线段下方，
故可得不等式，
解得a≥0，
经过检验当a=0时，函数图象与线段产生两个交点，
∴a≠0，即a>0；
当函数图象的左边交于线段AB时，
可得当x=-2时，函数图象在线段下方，当x=4时，函数图象在线段上方，
故可得不等式，
解得a≤-3，
经过检验当a=-3时，函数图象与线段产生两个交点，
∴a≠-3，即a<-3；
当函数图象的顶点在线段AB时，
二次函数 y=-x2-2ax+4a+5的顶点为-a,a2+4a+5，
即a2+4a+5=1，解得a=-2，
综上所述，a>0或a<-3且a=-2．
26．（9分）如图，P为正方形ABCD对角线BD上一点（不与B、D重合），于E，于F，连接EF．
求证：
(1)AP=EF；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接PC，先证明△ADP≌△CDP，得AP=CP，再证明四边形PECF是矩形，根据矩形的性质即可得出结论；
（2）延长EP交AD于H，先证明△EPF≌△CFP，再根据余角的定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，AD=CD，BD平分∠ADC即，
∴△ADP≌△CDP，
∴AP=CP．
∵PE⊥BC，PF⊥CD．
∴，
∴四边形PECF是矩形，
∴CP=EF，
∴AP=EF．
（2）证明：延长EP交AD于H，则EP⊥AD即．
∵△ADP≌△CDP，
∴，
在矩形PECF中，PE=FC，，PF=FP
∴△EPF≌△CFP
∴，
∴
在△AEH中，，则，即∠EAP+∠PAD+∠AEH=90°，
∴在△AEG中，∠EAP+∠PEG+∠AEH=90°，即，
∴，即AP⊥EF．
【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
27．（9分）背景：在数学综合实践活动中，小明利用等面积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知AD是的角平分线，可证ABAC=BDCD．小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：如图2，过点B作，交AD的延长线于点E，从而证得ABAC=BDCD．
证明：（1）请参照小红提供的思路，利用图2证明：ABAC=BDCD；
运用：（2）如图3，AD是的角平分线，M是BC边的中点，过M点作，交BA的延长线于点N，交AC于点G．若AB=4，AC=6，求线段AN的长；
拓展：（3）如图4，⊙O是的外接圆，AB是直径，点D是半圆AB的中点，连接CD交AB于点E．若AC=3，BC=6，求线段DE的长．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）线段AN的长为1；
（3）线段DE的长为522
【分析】（1）根据材料提示，证明△BDE∽△CDA，即可求解；
（2）由（1）的结论可得BDCD=23，设，分别用含x的式子表示出的长，根据平行线分线段成比例即可求解；
（3）根据等弧所对圆周角相等可得AD是角平分线，根据（1）中的结论可得AEBE的值，设AE=a，用含a的式子分别表示出长，根据直径所对圆心角为直角，运用勾股定理可得AB的值，由此可求出的长，再证OD⊥AB，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴，
∵BE∥AC，
∴，
∴，则BA=BE，
∵，
∴△BDE∽△CDA，
∴BDCD=BEAC，
∴ABAC=BDCD；
（2）解：∵AD平分∠BAC，
∴由（1）的结论可得，ABAC=BDCD，则BDCD=23，
设，则BC=5x，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM=12BC=52x，
∴DM=BM-BD=52x-2x=12x，
∵MN∥AD，
∴ANAB=DMBD，即AN4=12x2x，
∴AN=1，
∴线段AN的长为1；
（3）解：如图所示，连接OD，
∵D是半圆AB的中点，
∴AD?=BD?，
∴，即CD平分∠ACB，
由（1）的结论可得，ACBC=AEBE=12，
设AE=a，则BE=2a，AB=3a，
∴OA=OB=12AB=32a，则OE=OA-AE=32a-a=12a，
∵AB是直径，
∴，则，
在中，AB=AC2+BC2=32+62=35，
∴3a=35，则a=5，
∴OD=OA=12AB=352，OE=12a=52，
∵，
∴∠BOD=2∠BCD=90°，即OD⊥AB，
在中，DE=OD2+OE2=3522+522=522，
∴线段DE的长为：522．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，直径所对圆周角为直角，勾股定理求线段长等知识是解题的关键．
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