信息必刷卷02（安徽专用）-2024年中考数学考前信息必刷卷

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2024年安徽中考数学试卷结构和内容变化不大！2024年数学试卷共23题：10（选择题）+4（填空题）+9，根据最新考试信息、样卷以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，选填题除最后一题为中等难度题目外基本都为基础题，而解答题的第三大题仍然以1道计算题，1道应用题或者1道函数基础题；第四大题为1道图形变化作图和1道解三角形的基础题；第五大题为1道规律探究和1道圆的证明与计算的中等题；第六大题为统计与概率的一道解答题难度中等；第七大题和第八大题为1道几何压轴题和函数压轴题，难度通常较难。
新考法1：第7题对分式的考查，突破传统，新定义与分式结合，强调考生自我学习的能力和培养考生的创新性思维。
新考法2：第15题一般以实数的运算或解方程/不等式或代数式的化简求值，本套试卷在坚持考查基础知识的前提下，对方程组的解法进行考查，突出了灵活的特点；
新考法3：第17题解三角形的考查不再局限于仰角俯角问题，而是结合我国前沿科技航天事业的发展，进行灵活考查，培养考生崇尚科学的信念，树立民族自信心；
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷选择题的前7题、填空题的前2题，解答题的前4题直接考查基础知识，容易拿分）；较难的综合性问题的考查一般出现在选填的最后1题综合性（如本卷中选择题的最后1题即第10题较难）、22题和23题的最后一问，其他的题目多为中等难度的题目。同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·山东聊城·一模）下列各数中最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：，
，
最小的是，
故选：B．
2．（2024·广东阳江·一模）北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：亿，
故选：
3．（2024·辽宁大连·一模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：从正面看，看到的图形为一个长方体，在上方靠近中央凹进去一部分，即看到的图形如下：
，
故选：B．
4．（2024·四川攀枝花·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：A，，计算错误；
B，，计算错误；
C，，计算正确；
D，，计算错误；
故选C．
5．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，，，的平分线交于D，于点E，若，则的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】解：∵，，平分，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
．
∴．
故选C．
6．（2024·安徽安庆·一模）一次函数满足下列两个条件：①y随x的增大而减小：②当时，．符合上述两个条件的一次函数表达式可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：设一次函数的解析式为，
随着的增大而减小，
，故符合的有B，C；
当时，，
图象过点，
符合条件的解析式可以为：．
故选：B．
7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】A
【解析】解：由题意可得，，
∵，
∴，
解得：，
把代入得，，
∴是原方程的解，
故选；A．
8．（2024·广西钦州·一模）某校举行广西特色“嗦粉”文化活动，参赛者小僮和小丽要从“南宁老友粉”、“柳州螺蛳粉”、“桂林米粉”、“玉林牛巴粉”四种粉中选取一种进行讲解，则两人恰好选中同一种粉的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：设分别代表“南宁老友粉”、“柳州螺蛳粉”、“桂林米粉”、“玉林牛巴粉”，
画出树状图如图所示：
，
由图可得，共有种等可能出现的结果，两人恰好选中同一种粉的情况有种，
两人恰好选中同一种粉的概率是，
故选：C
9．（2024·天津南开·一模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，连结，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：，，，
，
∵将绕点A逆时针旋转得到，
，，，
，
，
∴，
设，由旋转的性质得，
∴等边对等角得，，
∴，
∵，
∴，
观察四个选项，只有C选项符合题意，
故选：C．
10．（2024·安徽合肥·一模）如图，E是线段上一点，在线段的同一侧分别以为斜边做等腰直角和等腰直角，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为3
C．周长的最小值为D．面积的最大值为
【答案】D
【解析】A、如图，延长交于点P，过点F作直线．和分别是以为斜边的等腰直角三角形，，，，四边形是矩形．是的中点，是的中点．直线，直线是的中位线，且点在直线上运动．作点A关于直线的对称点，连接，则．当，，三点共线时，最小．，，．在中，，故本选项不符合题意；
B、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，，故本选项不符合题意；
C、四边形是矩形，，的周长为．的最小值为3，，的周长的最小值为，故本选项不符合题意；
D、设，则．，．当时，有最大值，最大值为，故本选项符合题意．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．（2024·湖北孝感·一模）若，则正整数a可以为 ．
【答案】2（答案不唯一，大于1的整数即可）
【解析】解：∵
∴，则正整数a可以为
故答案为：2（答案不唯一，大于1的整数即可）．
12．（2024·辽宁大连·一模）如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接，过作轴，截取（在右侧），连接，交反比例函数的图象于点．则的面积为 ．
【答案】5
【解析】将代入得，
，
所在直线为：
由可得
．
故答案为：5．
13．（2023·四川泸州·二模）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数有 个．
【答案】4
【解析】解：∵整理得：，
∵的不等式组的解集为，
∴，
∵，
等式两边同时乘以得：，
整理得：，
∵关于的分式方程有整数解，
∴，即，
又∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，，
∴符合条件的所有整数有：，
故答案为：4．
14．（2024·安徽芜湖·一模）如图，，，D为边上一点，，三点共线，
（1）
（2）若，则 ．
【答案】
【解析】解：（1）过A作于M，过F作于N，
∵，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
过C作，
∴，，
∴，，
∵，
∴，则，
设，则，
过D作于H，过E作于G，
∴，，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
由得，
解得（负值舍去），则，
由（1）得，
故答案为：．
三、（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
15．（2024·山东东营·一模）解方程组
【答案】
【解析】解：，
，得
，……2分
∴，……3分
把代入①，得
，……4分
∴．……6分
∴．……8分
16．（2024·安徽宣城·一模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了（顶点是网格线的交点）和直线l．
(1)在直线l上标出点P，使点P到边，所在直线的距离相等；
(2)画出关于直线l对称的图形；再将向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【解析】（1）解：如图所示，点P即为所求
……4分
（2）解：如图所示，，即为所求
……8分
四、（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
17．（2024·湖北襄阳·一模）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送人到中国空间站．如图；在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为，后飞船到达B处，此时测得仰角为．
(1)求点A离地面的高度；
(2)求飞船从A处到B处的平均速度；（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由题意知，在中，，，
，
即点A离地面的高度为；……3分
（2）解：在中，由勾股定理得：
，……4分
在中，，
，……5分
，……6分
由题意知，飞船从A处到达B处用时，
，
飞船从A处到B处的平均速度为．……8分
18．（2024·江苏无锡·一模）某商店以30元/件的进价购进了某种商品，这种商品在60天内的日销售价（单位：元/件）与时间（单位：天）之间的关系如表格所示：
日销售量（单位：件）与时间（单位：天）之间的函数表达式为，其中为整数．
(1)求第30天的销售利润；
(2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？日销售利润 （日销售价 进价） 日销售量
【答案】(1)750元
(2)该商品在第20天的日销售利润最大，最大日销售利润是800元
【解析】（1）解：当时，销售量，……1分
销售单价为元/件，……2分
∴第30天的销售利润为元；……3分
（2）解：设日销售利润为W元，
当时，日销售量为，销售单价为元/件，
∴日销售利润，……4分
∵，
∴当时，W最大，最大值为800；……5分
当时，日销售量，销售单价为40元，
∴日销售利润，……6分
∵，y为整数，
∴当时，W最大，最大值为元，……7分
∵，
∴该商品在第20天的日销售利润最大，最大日销售利润是800元．……8分
五、（本大题2个小题，每小题10分，共20分）
19．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【解析】（1）解：（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：．
第六个等式为：，
故答案为：；……3分
（2）解：猜想第个等式为：．……6分
证明：左边，……8分
右边，
左边右边，
猜想成立；
故答案为：．……10分
20．（2023·江苏苏州·一模）如图，中，，D为上的一点，以为直径的交于E，连接交于P，交于F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）证明：∵，
∴，……1分
∵，
∴，……2分
∴，
∴，……3分
∵是的直径，
∴是的切线；……4分
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，……5分
∵，
∴，
∴，……6分
∴，
∴，
∴ ，……7分
∵，
∴，
∴，
∴，……8分
∴，
∴，
∴，……9分
∴，
∴的长为．……10分
六、（本题满分12分）
21．（2024·辽宁葫芦岛·一模）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生“排球垫球成绩”和“掷实心球成绩”的情况，从中随机抽取若干名男生进行这两项测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如图（不完整）所示，（成绩用x表示，单位：个）．分成六组：
A、；B、；C、；D、；E、；F、）．
信息二：排球垫球成绩在D、这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；
信息三：掷实心球成绩（成绩用表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求出被随机抽取的男生人数，并补全条形统计图：
(2)下列结论正确的是______；（填序号）
①；
②排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于；
③掷实心球成绩的中位数记为，则；
④若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；
(3)若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
【答案】(1)40人，图见详解；
(2)①③④；
(3)估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是约有75人．
【解析】（1）由统计图可知：
被随机抽取的男生人数为40人；……1分
∴B组人数为10人，……2分
补图如图所示；
……4分
（2）解： ①：，①符合题意；
② ，∴超过10个的人数占抽取人数的百分比超过，②不符合题意；
③共计40人，故中位数是第20，21名同学的平均数，的有2人，的有11人，由10人，因此第20，21名同学在这一组，③符合题意；
④如果学生3的掷实心球的成绩未到达优秀，那么只有学生1、4、5、6有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，④符合题意；
故答案为：①③④……8分
（3）由信息二可知，在D组中成绩达到22个及以上的有5人，……9分
排球垫球成绩达到22个及以上的有（人），……10分
全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是：（人），……11分
答：估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是约有75人．……12分
七、（本题满分12分）
22．（2024·天津滨海新·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为抛物线上的一动点，且位于直线下方，
①当的面积最大时，求点M的坐标；
②当时，求点M的坐标．
【答案】(1)；
(2)①；②
【解析】（1）∵抛物线过点，
……1分
解得……2分
∴抛物线的解析式为……3分
（2）①∵抛物线的解析式为
∴点C的坐标为．……4分
设直线的解析式为，
将代入，
得解得
∴直线的解析式为． ……5分
如图①，过点M作轴，交于点Q，
设点则有，
……6分
∴当时，的面积最大，最大值为． ……7分
②∵抛物线的解析式为
∴点D的坐标为．
如图②，延长交x轴于点G，延长交y轴于点H，
∵直线为，
∴当时，．
∴．……8分
∵，
∴．
即：．
在△与中，
∴．
∴．
∴点G的坐标为．……9分
设直线的关系式为
由于直线经过点，
得解得
∴直线关系式为为……10分
将与联立方程，得
解得：（不符合题意，舍去）……11分
当时，
∴点M的坐标为……12分
八、（本题满分14分）
23．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形中．
(1)线段 ；
(2)如图，点是的中点，分别是上的点，将沿着翻折得，将沿着翻折使与重合．
①当点从点运动到点时，点走过的路径长为，求的长；
②在①的条件下，若与重合（如图），为中点，为上一动点，将沿翻折得到，若与的重合部分面积是面积的，求的长．
【答案】(1)；
(2)①，②．
【解析】（1）解：如图，过点作于点，
∴……1分
在中，
∵，
∴
∴，……2分
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．……3分
（2）解：①
∴点运动的轨迹为一段弧，设弧所对的圆心角为
由弧长公式得：
解得：即
……4分
如图，点与点重合，过点作，交的延长线于点，则为等腰直角三角形，

……5分
设
在等腰中，
解得：
……6分
在中，
；……7分
②如下图，连接，过点作于点，
∴……8分
∴设，则，
∵为中点，为上一动点，将沿翻折得到，
∴，……9分
∵与的重合部分面积是面积的，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴四边形是平行四边形，……10分
∵，
∴四边形是菱形，
∴，……11分
∵在等腰中，，
∴，，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，……12分
∵，，
∴，
∴，……13分
∴，
∴．……14分
第天（为整数）


日销售价（元/件）

40
分组
人数
2
10
9
6
2
学生
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
排球垫球（个）
26
25
23
22
22
15
掸实心球（米）
7.8
7.8
8.8
9.2