2024年中考数学考信息必刷卷01（南京专用）

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数 学（南京专用）
2024年南京中考数学试卷结构机构和内容发生变化！2024年数学试卷共27题：6（选择题）+10（填空题）+11（解答题），根据最新考试信息、样卷以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，选填题基本都为基础题，填空最后一题会增加难度，设置区分度；而解答题对相似与圆、二次函数与圆等能力考察，明显增加了难度，也是拉开学生分数的重要题型，需要密切关注。
新考法1：第16题的特有题型会以几何图形的折叠或旋转为基础考查其几何性质；
新考法2：第22题将会重点考查锐角三角函数函数的应用，难度中等；
新考法3：第26题和第27题极大可能分别会考查几何中的类比探究和二次函数综合问题，运算能力和分析能力要求比较高。
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的前15题直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选填最后一题以及解答的压轴题）、应用型（如本卷中的第23题的方程函数题结合当下热门问题来考查）和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1300000＝1.3×106，
故选：C．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．a8÷a2＝a4
C．a2•a3＝a6D．（2ab）3＝6a3b3
【答案】A
【分析】A、根据幂的乘方运算法则计算判断即可；
B、根据同底数幂的除法运算法则计算判断即可；
C、根据同底数幂的乘法运算法则计算判断即可；
D、根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可．
【详解】解：A、原式＝a6，符合题意；
B、原式＝a6，不合题意；
C、原式＝a5，不合题意；
D、原式＝8a3b3，不合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查的是同底数幂的乘除法运算，幂的乘方的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3．若式子1-1x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：由题可知：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．
4．如果一组数据2，3，x，4，3，6（x为非负整数）的中位数为3，则x的值有几种可能（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据中位数的概念求出可能的值即可．
【详解】解：将除x的数据从小到大排列为：2，3，3，4，6，这组数据的中位数为3，
加入x后中位数为3，
∵x为非负整数，
∴x的值可能为0，1，2，3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查中位数的概念，熟练掌握中位数的概念是解题的关键．
5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A．12（x+4.5）＝x﹣1B．12（x+4.5）＝x+1
C．12（x+1）＝x﹣4.5D．12（x﹣1）＝x+4.5
【答案】A
【分析】设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
【详解】解：设木长x尺，根据题意可得：
12(x+4.5)=x-1，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
6．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=56或54或154或256．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
【详解】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得m+n=04m+n=300，
解得m=100n=-100，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，
解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③正确；
令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，
当100﹣40t＝50时，可解得t=54，
当100﹣40t＝﹣50时，可解得t=154，
又当t=56时，y甲＝50，此时乙还没出发，
当t=256时，乙到达B城，y甲＝250；
综上可知当t的值为56或54或154或256时，两车相距50千米，
∴④正确；
综上可知正确的有①②③④共四个，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．
二、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7．分解因式：ma2﹣6ma+9m＝ m（a﹣3）2 ．
【答案】m（a﹣3）2．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式即可得出结论．
【详解】解：ma2﹣6ma+9m
＝m（a2﹣6a+9）
＝m（a﹣3）2．
故答案为：m（a﹣3）2．
【点睛】本题考查的是提公因式法和公式法因式分解，正确找出公因式是解题的关键．
8．比较大小：27 ＞ 33．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把27、33分别化为28、27的形式，再根据两正数比较大小的法则进行比较即可．
【详解】解：∵27=28，33=27，28＞27，
∴28＞27，即27＞33．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，解答此题的关键是熟知二次根式的化简法则及实数大小比较的法则．
9．在△ABC中，若|sinA-12|+（22-csB）2＝0，则∠C的度数是 105° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用非负数的性质得到sinA-12=0，22-csB＝0，即sinA=12，csB=22，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
【详解】解：∵|sinA-12|+（22-csB）2＝0，
∴sinA-12=0，22-csB＝0，
即sinA=12，csB=22，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
10．已知x=1y=2是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：把x=1y=2代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．若关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有两个实数根，则k2+k+3的最小值为 9 ．
【答案】9．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，求出k的取值范围，再将k2+k+3配方成(k+12)2+114，根据k的取值范围即可求出代数式的最小值．
【详解】解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有两个实数根，
∴Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，
∴k≤﹣3，
∵k2+k+3=(k+12)2+114，
∵k≤﹣3，
∴当k＝﹣3时，k2+k+3取得最小值为(-3+12)2+114=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法等，熟练掌握根的判别式与配方法是解题的关键．
12．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的点，连接CD，AC，OD，且AB＝4，OD∥AC，设CD＝x，AC＝y，则y与x之间的函数表达式为 y＝4-12x2 ．
【答案】y＝4-12x2．
【分析】连接BC，交OD于点E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据平行线的性质得出∠OEB∠CED＝90°，根据勾股定理得出OE＝2-14x2，根据题意推出OE是△ABC的中位线，根据三角形中位线性质即可得解．
【详解】解：连接BC，交OD于点E，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，OA＝OB，
∴∠OEB＝∠CED＝∠ACB＝90°，CE＝BE，
∴CE2＝CD2﹣DE2，BE2＝OB2﹣OE2，
∴CD2﹣DE2＝OB2﹣OE2，
∵CD＝x，OB＝OD＝2，
∴x2﹣DE2＝22﹣（2﹣DE）2，
∴DE=14x2，
∴OE＝2-14x2，
∵OA＝OB，CE＝BE，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC＝2OE，
∵AC＝y，
∴y＝4-12x2，
故答案为：y＝4-12x2．
【点睛】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理，熟记勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值是______.
【答案】24
【分析】根据平行线间高相等，得到S△ACD＝S△ACO＝6，继而根据k值的几何意义计算出k值即可．
【详解】解：如图，连接OC、OA，
∵⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，
∴BC∥OD，
∴S△ACD＝S△ACO＝6，
∵丨k丨＝2S△COB＝2×2×6＝24，且反比例函数图象在一象限，
∴k＝24，
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握三角形面积的计算是解答本题的关键．
14．如图，⊙O的内接四边形ABCD，AD∥BC，⊙O的直径AE与BC交于点F，连接BD．若AE∥CD，sin∠DBC=23，EF＝2，则AE的长为 6 ．
【答案】6．
【分析】根据题意得到∠ADE＝90°，又由圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到DE＝BD，再根据平行线分线段成比例定理得到EFEA=EGED=13，进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接CE，连接DE交BC于G，
∵AD∥BC，
∴AB=DC，
∴∠DEC＝∠ADB，AB＝CD，
∵AE∥CD，
∴AD=EC，
∴∠EDC＝∠DBA，
∴△DEC≌△BDA（AAS），
∴DE＝BD，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FGE＝90°，
∵sin∠DBC=23，
∴DGDB=23，
∴DGDE=23，
∴EGED=13，
∵AD∥BC，
∴EFEA=EGED=13，
∵EF＝2，
∴AE＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了圆的相关性质和平行线分线段成比例定理，熟练掌握这些结论是解题的关键．
15．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点P是直线AD上一动点，点E在直线PB上，若∠BEC＝∠BCP，则CE的最小值是 433 ．
【答案】433．
【分析】连接AE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OE，OB，OC，OA．利用相似三角形的性质判断出∠AEB＝120°，得出点E的运动轨迹，可得结论．
【详解】解：连接AE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OE，OB，OC，OA．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥CB，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠BEC＝∠BCP，∠CBE＝∠PBC，
∴△EBC∽△CBP，
∴BCBP=EBBC，
∴BC2＝BE•BP，
∴AB2＝BE•BP，
∴ABBE=BPAB，
∵∠ABE＝∠ABP，
∴△ABE∽△PBA，
∴∠AEB＝∠BAP＝120°，
∴点E在⊙O上运动，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OBA＝∠OAB＝30°，
OA＝OB=433，
∴OC=OB2+BC2=(433)2+42=833，
∵EC≥OC﹣OE=433，
∴EC的最小值为433．
故答案为：433．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质以及面积法的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例得出当CP最短时，CE最短．
16．定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，△ABC有一边的长是BC的2倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A'C所在直线交l2于点D，则CD＝ 2103或22或2 ．
【答案】CD的值为2103或22或2．
【分析】①当AB=2BC时，画出图形分两种情况分别求得CD=2x=2103或CD=2AC＝22；②当AC=2BC时，画出图形分两种情况讨论，求得CD＝AB＝BC＝2．
【详解】解：①当AB=2BC时，
Ⅰ．如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB=2BC，
∴BC＝AE＝2，AB＝22，
∴BE＝2，即EC＝4，
∴AC＝25，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴∠DCF＝45°，
设DF＝CF＝x，
∵l1∥l2，
∴∠ACE＝∠DAF，
∴DFAF=AECE=12，即AF＝2x，
∴AC＝3x＝25，
∴x=253，CD=2x=2103．
Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=2AC＝22．
②当AC=2BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1，
∴CD＝AB＝BC＝2；
Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE＝BC，
∴AC=2BC=2AE，
∴∠ACE＝45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，
∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，
综上所述，CD的值为2103或22或2．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．
选择题：本题共11小题，共118分。
17．先化简，后求值：(3x-1-x-1)÷x2-4x+4x-1，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将使分式有意义的x的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝（3x-1-x2-1x-1）÷(x-2)2x-1
=4-x2x-1÷(x-2)2x-1
=(2+x)(2-x)x-1•x-1(2-x)2
=2+x2-x，
∵x﹣1≠0且x﹣2≠0，
∴x≠1且x≠2，
∴x＝0，
则原式＝1．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．求不等式组5x-1＞3x-4-13x≤23-x的解集，并写出它的自然数解．
【答案】-32＜x≤1，0，1．
【分析】先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的自然数解即可．
【详解】解：5x-1＞3x-4①-13x≤23-x②，
解不等式①，得x＞-32，
解不等式②，得x≤1，
所以不等式组的解集为-32＜x≤1．
所以它的自然数解为0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．【阅读材料】
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形AECD是菱形．
【答案】见解答．
【分析】由作法得CF＝DF，EF＝BF，则可判断△CEF≌△DBF，所以CE＝DB，∠CEF＝∠DBF，则CE∥BD，在根据斜边上的中线性质得到CD＝AD＝BD，则AD＝CD＝CE，然后根据菱形的判定方法可得到四边形AECD是菱形．
【详解】证明：由作法得CF＝DF，EF＝BF，
在△CEF和△DBF中，
FE=FB∠CFE=∠DFBFC=FD，
∴△CEF≌△DBF（SAS），
∴CE＝DB，∠CEF＝∠DBF，
∴CE∥BD，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD，
∴AD＝CE，
∵AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形AECD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形AECD是菱形．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和菱形的判定与性质．
20．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取甲、乙两个班（每个班均为40人）的学生进行测试，并对成绩进行整理（成绩为整数，满分100分）．
a．甲班成绩统计表：
b．乙班良好这一组学生的成绩：
70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．
c．乙班成绩统计图：
（1）已知甲班没有3人的成绩相同，成绩是76分的学生，在 乙 班的名次更好些；
（2）从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好．
【答案】（1）乙；
（2）甲班的整体成绩更好．理由见解答．
【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据中位数与优秀率的意义进行解答即可（答案不唯一）．
【详解】解：（1）成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些．理由如下：
甲班成绩的中位数是76分，而且没有3人的成绩相同，所以成绩是76分的学生在甲班位于第20或第21名；
乙班优秀学生有3+9＝12（人），根据乙班良好学生的成绩可知成绩是76分的学生在乙班位于第16名，
所以成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些．
故答案为：乙；
（2）甲班的整体成绩更好．理由如下：
甲班成绩的中位数是76分，乙班成绩的中位数是71+732=72（分），
甲班成绩的优秀率是40%，乙班成绩的优秀率是1240×100%＝30%，
甲班成绩的中位数、优秀率均高于乙班，所以甲班的整体成绩更好．
【点睛】本题考查了统计的应用，中位数、众数、优秀率的意义，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
21．一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分．甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是 12 ．
【答案】（1）16；
（2）12．
【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为212=16．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有8种，
∴甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率为816=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34）
【答案】28米．
【分析】过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F，设EF＝x米，根据正切的定义用x表示DF，证明△ABC∽△EFC，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F，
设EF＝x米，
∵∠CDE＝127°，
∴∠DEF＝127°﹣90°＝37°，
在Rt△EDF中，tan∠DEF=DFEF，
则DF＝EF•tan∠DEF≈34x，
由题意得：∠ACB＝∠ECF，
∵∠ABC＝∠EFC＝90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴ABEF=BCFC，即1.5x=328+34x，
解得：x＝22.4，
∴DF=34x＝16.8，
∴DE=DFsin∠DEF≈16.835=28（米），
答：DE的长度约为28米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理是解题的关键．
23．某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装．甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多30元，用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同．
（1）求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？
（2）社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠．问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）甲、乙两种粮油套装的单价分别是120元和90元；
（2）购买甲种粮油套装10件和乙种粮油套装30件时花费最少，最少花费是3120元．
【分析】（1）设甲种粮油套装的单价为x元，则乙种粮油套装的单价为（x﹣30）元，根据“用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同”列出方程，解方程即可；
（2）设购买甲种粮油套装m件，购买乙种粮油套装（40﹣m）件，购买总花费w元，先根据购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍，求出m的取值范围，再根据总费用＝甲、乙两种粮油套装费用之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值．
【详解】解：（1）设甲种粮油套装的单价为x元，则乙种粮油套装的单价为（x﹣30）元，
根据题直：1200x=900x-30，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的根，
∴x﹣30＝90，
答：甲、乙两种粮油套装的单价分别是120元和90元；
（2）设购买甲种粮油套装m件，购买乙种粮油套装（40﹣m）件，购买总花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝120×0.8m+90×0.8（40﹣m）＝24m+2880，
∵24＞0，
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值3120，
∴40﹣m＝30，
答：购买甲种粮油套装10件和乙种粮油套装30件时花费最少，最少花费是3120元．
【点睛】本题考查了一次函数应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一次函数解析式．
24．如图，四边形BCDF内接于⊙O，BC是⊙O的直径，⊙O的切线AC交BD的延长线于点A．过D作DE⊥BC交⊙O于点E，交BF的延长线于点G，设cs∠A＝x（45°＜∠A＜90°）．
（1）求证：∠BFD＝∠BDG．
（2）若BF＝5FD，x=35，求∠GBC的度数．
（3）若EF是⊙O的直径．记y=FGEF，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）∠GBC＝45°；
（3）y=1x-2x（0＜x＜22）．
【分析】（1）连接CF，由BC是⊙O的直径，可得∠BCF＝90°﹣∠CBF，而DE⊥BC，有∠G＝90°﹣∠CBF，故∠G＝∠BCF＝∠BDF，从而∠G+∠GDF＝∠BDF+∠GDF，即∠BFD＝∠BDG；
（2）设GE交BC于H，由AC是⊙O的切线，BC为⊙O直径，可得∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠A，知CDBC=35，设CD＝3m，则BC＝5m，求出BD=BC2-CD2=4m，DH=BD⋅CDBC=125m，可得BH=BD2-DH2=165m，证明△FBD∽△DBG，得BFBD=DFDG，根据BF＝5DF，可得DG=45m，故GH＝DG+DH=165m，即得△BGH是等腰直角三角形，∠GBC＝45°；
（3）连接FG，设GE交BC于H，由CDBC=x，设BC＝t＝EF，则CD＝tx，可得BD=BC2-CD2=1-x2t，DH=BD⋅CDBC=tx1-x2，DE＝2DH＝2tx1-x2，再证△GFD∽△BCD，得FGBC=DFCD，又y=FGEF，即可得DF＝txy，在Rt△FDE中，（txy）2+（2tx1-x2）2＝t2，根据cs∠A＝x（45°＜∠A＜90°），可得y=1-2x2x=1x-2x．
【详解】（1）证明：连接CF，如图：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠CBF，
∵DE⊥BC，
∴∠G＝90°﹣∠CBF，
∴∠G＝∠BCF，
∵∠BCF＝∠BDF，
∴∠G＝∠BDF，
∴∠G+∠GDF＝∠BDF+∠GDF，
∴∠BFD＝∠BDG；
（2）解：设GE交BC于H，如图：
∵AC是⊙O的切线，BC为⊙O直径，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠A，
∵csA＝x=35，
∴cs∠BCD=35，
∴CDBC=35，
设CD＝3m，则BC＝5m，
∴BD=BC2-CD2=4m，
∴DH=BD⋅CDBC=125m，
∴BH=BD2-DH2=(4m)2-(125m)2=165m，
由（1）知∠BFD＝∠BDG，
∵∠FBD＝∠DBG，
∴△FBD∽△DBG，
∴BFBD=DFDG，
∵BF＝5DF，
∴5DF4m=DFDG，
∴DG=45m，
∴GH＝DG+DH=45m+125m=165m，
∴BH＝GH，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴∠GBC＝45°；
（3）解：连接FG，设GE交BC于H，如图：
∵AC是⊙O的切线，BC为⊙O直径，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠A，
∵csA＝x，
∴cs∠BCD＝x，
∴CDBC=x，
设BC＝t＝EF，则CD＝tx，
∴BD=BC2-CD2=1-x2t，
∴DH=BD⋅CDBC=1-x2t⋅txt=tx1-x2，
∵BC为⊙O直径，DE⊥BC，
∴DE＝2DH＝2tx1-x2，
∵EF为⊙O的直径，BC为⊙O直径，
∴∠FDE＝90°＝∠BDC＝∠FDG，
∵四边形BCDF内接于⊙O，
∴∠GFD＝∠BCD，
∴△GFD∽△BCD，
∴FGBC=DFCD，
∵y=FGEF，
∴y=FGBC，
∴y=DFtx，
∴DF＝txy，
在Rt△FDE中，DF2+DE2＝EF2，
∴（txy）2+（2tx1-x2）2＝t2，
整理得：x2y2＝（2x2﹣1）2，
∴y2=(2x2-1)2x2，
∵cs∠A＝x（45°＜∠A＜90°），
∴0＜x＜22，
∴y=1-2x2x=1x-2x；
∴y关于x的函数表达式为y=1x-2x（0＜x＜22）．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰直角三角形判定与性质等，解题的关键是掌握圆的相关性质和相似三角形的判定定理．
25．问题发现
（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为 3 ；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．
问题解决
（3）有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；
（2）82；
（3）存在符合要求的面积最小的四边形OABC；1503cm2，103cm．
【分析】（1）作△ABC的外接圆，当C处于点C'时，△ABC面积最大；
（2）将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，证明C、D、E在同一条直线上，由△ACE是等腰直角三角形得出结果；
（3）类比（1）的方法，将△AOB绕A点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，分析得：S四边形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO＝S△BOE﹣S△BCE＝2253-S△BCE，故使△BCE的面积最大，因BE＝30，∠BCE＝120°，故作正△BEF，作它的外接圆⊙I，进而求得其最大值．
【详解】解：（1）作△ABC的外接圆，
∵AB＝2，∠C＝60°，
∴当C处于点C'时，△ABC面积最大，
∵C'A＝C'B，∠C'＝60°，
∴△ABC'为等边三角形，边长为2，
过点C'作C'D⊥AB于D，
则AD＝1，
∴C'D=C'A2-AD2=3，
∴S△ABC=12AB•C′D=12×2×3=3，
故答案为：3；
（2）如图1，
∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴可以将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，∠CAE＝90°，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴C、D、E在同一条直线上，
∴CD+DE＝CE=2AC=82；
（3）存在符合要求的面积最小的四边形OABC；
如图2，
连接OB，
∵∠AOC＝60°，OA＝OC，
∴将△AOB绕O点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，
∴∠BOE＝60°，OE＝OB，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝OB＝30，∠BEO＝60°，∠CBE＝∠ABO＝∠CEO，
∴∠CBE+∠CEB＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∴∠CBE＝30°，
∴△BOE的高为：30×sin60°＝153，
∵S四边形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO
＝S△BOE﹣S△BCE
=12×30×153-S△BCE
＝2253-S△BCE，
∴要使四边形OABC的面积最小，就要使△BCE的面积最大，
作正△BEF，作它的外接圆⊙I，作直径FC′，
当C与C′重合时，S△BCE最大，
S△BCE最大=12×30×（15×33）＝753，
∴S四边形OABC最小＝2253-753=1503（cm2），
此时OA＝OC=12OEcs30°=1532=103（cm）．
【点睛】本题考查了用旋转构造图形，利用三角形全等和等腰（等边）三角形的性质和知识，解决问题的关键是作辅助线和利用“定弦对定角”等模型．
26．已知：抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣2过点A（3，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在直线y＝﹣1下方的部分沿直线y＝﹣1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G．点M（m，y1）在图象G上，且y1≤0．
①求m的取值范围；
②若点N（m+k，y2）也在图象G上，且满足y2≥4恒成立，则k的取值范围为 k≤﹣4或k≥4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将A（3，4）代入y＝ax2+（a﹣2）x﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）①图象G的解析式分为两部分，当x≤-1-52或x≥1+52时，y＝x2﹣x﹣2，此时与x轴的两个交点为（﹣1，0），（2，0）；当-1-52＜x＜1+52时，根据对称性求出解析式为y＝﹣（x-12）2+14，即y＝﹣x2+x，此时与x轴的两个交点为（0，0），（1，0）．所以当点M（m，y1）在图象G上，且y1≤0时，可得m的取值范围是﹣1≤m≤0或1≤m≤2；
②先根据y2≥4求出自变量的取值范围是m+k≤﹣2或m+k≥3，又由①知﹣1≤m≤0或1≤m≤2，根据不等式的性质即可得出k≤﹣4或k≥4．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣2过点A（3，4），
∴4＝9a+3（a﹣2）﹣2，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）①∵y＝x2﹣x﹣2，
∴当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，
∴y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点（﹣1，0），（2，0）．
当y＝﹣1时，x2﹣x﹣2＝﹣1，解得x=1±52，
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x-12）2-94，
∴顶点为（12，-94），它关于直线y＝﹣1对称点的坐标为（12，14），
∴当x≤-1-52或x≥1+52时，图象G的解析式不变，仍然为y＝x2﹣x﹣2；
当-1-52＜x＜1+52时，图象G的解析式为y＝﹣（x-12）2+14，即y＝﹣x2+x，
当y＝0时，﹣x2+x＝0，解得x＝0或1，
∴如果点M（m，y1）在图象G上，且y1≤0时，﹣1≤m≤0或1≤m≤2；
②由图象可知，y≥4时，x2﹣x﹣2≥4，
x2﹣x﹣6≥0，
（x﹣3）（x+2）≥0，
解得x≤﹣2或x≥3．
∴m+k≤﹣2或m+k≥3，
又∵﹣1≤m≤0或1≤m≤2，
∴k≤﹣4或k≥4．
故答案为k≤﹣4或k≥4．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，对称轴与坐标轴平行时二次函数解析式的特点，不等式的性质，难度适中．运用数形结合是解题的关键．
27．（1）【操作发现】
如图1，在矩形ABCD和矩形CEGF中，CGAG=12，AB＝9，AD＝12，小明将矩形CEGF绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示．
①问：AGBE的值是否变化？若不变，求AGBE的值；若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求AG的长度．
（2）【类比探究】
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝25，∠BAC＝α°，tan∠ABC=12，G为BC中点，点D为平面内一动点，且DG=55，将线段BD绕点D逆时针旋转α°得到DE，则四边形BACE面积的最大值为 24 ．
【答案】（1）①54；
②AG的长为66-4或66+4．
（2）24．
【分析】（1）①解直角三角形求出AC，CG，CE，可得结论．
②分两种情形：如图2﹣1中，当点E在线段BF上时，如图2﹣2中，当点E在BF的延长线上时，分别求出BJ，EJ，可得结论．
（2）如图3中，连接AD，AG，过点G作GH⊥AB于点H．解直角三角形求出GH，证明△ABD∽△CBB′，推出S△ADBS△CB'B=(ABBC)2=(258)2=516，由题意DG=55，推出点G的运动轨迹是以G为圆心，55为半径的圆，当点D在HG的延长线上时，△ABD的面积最大，由此可得结论．
【详解】解：（1）①AGBE 的值不变，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝9，AD＝BC＝12，∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=15，
∵CG：AG＝1：2，
∴CG=13AC＝5，AG=23AC＝10，
∵四边形CEGF是矩形，
∴∠CBG＝∠B＝90°，
∴GE∥AB，
∴CECB=EGAB=CGCA=13，
∴CE＝4，GE＝3，
∴BE＝BC﹣EC＝12﹣4＝8，
∴AGBE=108=54，
故答案为：54；
②如图2﹣1中，当点E在线段BF上时，连接CG，过点C作CJ⊥EF于J．
∵S△CEF=12EC•CF=12•EF•CJ，
∴CJ=3×45=125，
∴EJ=CE2-CJ2=165，BJ=BC2-CJ2=2465，
∴BE＝BJ﹣EJ=2465-165，
∵∠ACB＝∠GCE，
∴∠BCE＝∠ACG，
∵ACCB=CGCE=54，
∴△ACG∽△BCE，
∴AGBE=ACBC=54，
∴AG=54×(2465-165)=66-4．
如图2﹣2中，当点E在BF的延长线上时，同法可得BE＝BJ+EJ=2465+165，
∴AG=54BE＝66+4，
综上所述，AG的长为66-4或66+4．
（2）如图3中，连接AD，AG，过点G作GH⊥AB于点H．
∵AB＝AC＝25，BG＝GC，
∴AG⊥BC，
∵tan∠ABC=AGBG=12，
∴AG＝2，BG＝4，
∵sin∠ABG＝sin∠GBH，
∴GHBG=AGAB，
∴GH4=225，
∴GH=455，
∵AB＝AC，DB＝DB′，∠BAC＝∠BDB′，
∴∠ABC＝∠DBB′，ABBC=BDBB'，
∴∠ABD＝∠CBB′，
∴△ABD∽△CBB′，
∴S△ADBS△CB'B=(ABBC)2=(258)2=516，
∵DG=55，
∴点G的运动轨迹是以G为圆心，55为半径的圆，
当点D在HG的延长线上时，△ABD的面积最大，最大值=12×25×（455+55）＝5，
∴△BCB′的面积的最大值为16，
∴四边形ABB′C的面积的最大值=12×8×2+16＝24．
故答案为：24．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
老师的问题：
已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求作：菱形AECD．
小明的作法：
（1）取CD的中点F；
（2）连接BF并延长到E，使FE＝FB；
（3）连接AE，CE．
四边形AECD就是所求作的菱形．
平均数
众数
中位数
优秀率
79
84
76
40%
说明：
①成绩等级分为：80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60以下为不合格；
②统计图中每小组包含最小值，不包含最大值．