2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“x<1”是“x2−4x+3>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知tan(α+π4)=34，则cs2(π4−α)=( )
A. 725B. 925C. 1625D. 2425
3.函数y=4x+2x+1+3(x∈R)的值域为( )
A. [2,+∞)B. (3,+∞)C. (133,+∞)D. [9,+∞)
4.已知tan(α+β)=2，tan(α−β)=3，则tan2β=( )
A. 17B. −1C. 1D. −17
5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ)为常数，A>0，ω>0的部分图象如图所示，则f(0)的值为( )
A. 2B. 22C. 0D. − 2
6.已知a>b>0，二次函数f(x)=ax2+2x+b有且仅有一个零点，则a2+b2a−b的最小值为( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
7.已知函数f(x)=f(x−2),x≥−3(x+4)2,−5≤x<−3，若函数g(x)=f(x)−|k(x+1)|有9个零点，则实数k的取值范围为( )
A. [16,14]B. (−14,−16]∪[16,14)C. (−14,−16)∪(16,14)D. [−14,−16]∪[16,14]
8.高斯函数是数学中的一种函数，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数.则方程x2=2[x]+1的解的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若幂函数f(x)=(m2+m−11)xm−1在(0,+∞)上单调递减，则( )
A. m=3B. f(−1)=1C. m=−4D. f(−1)=−1
10.已知a2+a−2=3，则a+a−1等于( )
A. 5B. − 5C. 1D. −1
11.已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是( )
A. sin(π3+α)=sin(2π3−α)B. sin(π4+α)=−cs(5π4−α)
C. tan(π3−α)=tan(2π3+α)D. tan2αsin2α=tan2α−sin2α
12.已知函数f(x)=(sinx+csx)⋅|sinx−csx|，下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. 若|f(x1)|+|f(x2)|=2，则x1+x2=kπ2(k∈Z)
C. f(x)在区间[−π2,π2]上是增函数
D. y=f(x)的对称轴是x=kπ+π4(k∈Z)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合A={−1,0,1}，B={x|x=t2,t∈A}，那么用列举法表示集合B=__________.
14.函数y=(12)x2−2x的值域为__________.
15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x+2)为偶函数，f(3)=3，则f(7)+f(4)=______.
16.已知函数f(x)=|lg2(−x)|,x<0x2−2x+2,x≥0，函数F(x)=f(x)−a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
若函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且其定义域均为{x|x∈R,x≠±1}.若f(x)+g(x)=1x−1，求f(x)，g(x)的解析式.
18.(本小题12分)
已知tanα=−34，求：
(1)求sin(2π−α)+cs(5π2+α)sin(α−π2)的值；
(2)求sinα+csαsinα−2csα的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg(3−4x+x2)定义域为M
(1)求定义域M；
(2)当x∈M时，求g(x)=2x+2−3×4x的最值及相应的x的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=m−3x1+3x是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若对任意的t∈[0,5]，不等式f(t2+2t+k)+f(−2t2+2t−5)>0恒成立，求实数k的取值范围.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=|x−a|，g(x)=x2+2ax+1(a为正常数)，且函数f(x)和g(x)的图象与y轴的交点重合．
(1)求a实数的值；
(2)若h(x)=f(x)+b g(x)(b为常数)，试讨论函数h(x)的奇偶性；
(3)若关于x的不等式f(x)−2 g(x)>a有解，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
关于x的一元二次方x2+mx+n=0恒有两个实数根x1，x2.
(1)当n=3−m且两个根皆为负时，求实数m的取值范围.
(2)不等式t≤(m−1)2+(n−1)2+(m−n)2恒成立，求实数t的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得．
【解答】
解：解不等式x2−4x+3>0得x>3或x<1，
记A=(−∞,1)∪(3,+∞)，B=(−∞,1)，
因为B⫋A，
所以“x<1”是“x2−4x+3>0”的充分不必要条件．
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】
解：∵tan(α+π4)=34，
∴cs2(π4−α)=sin2(α+π4)
=sin2(α+π4)sin2(α+π4)+cs2(α+π4)
=tan2α+π4tan2α+π4+1
=342342+1
=925，
故选：B.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用换元法及配方法求函数的值域，是基础题．
令t=2x(t>0)，把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．
【解答】
解：令t=2x(t>0)，
∴函数y=4x+2x+1+3(x∈R)化为f(t)=t2+2t+3=(t+1)2+2(t>0)，
∴f(t)>3.
即函数y=4x+2x+1+3(x∈R)的值域为(3,+∞).
故选：B.
4.【答案】D
【解析】解：tan(α+β)=2，tan(α−β)=3，
则tan2β=tan[(α+β)−(α−β)]
=tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β)
=2−31+2×3
=−17.
故选：D.
由tan2β=tan[(α+β)−(α−β)]=tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β)，能求出结果．
本题考查三角函数值的求法，考查二倍角正切公式等基础知识，考查运算运解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数的解析式的求法，是较易题．
由题意直接求出A，求出函数的周期，推出ω，利用图象经过的特殊点，求出函数的解析式，然后求出f(0)的值．
【解答】
解：由函数的图象可知，A=2，T=4×(5π6−π2)=4π3，ω=2π4π3=32.
由于函数图象经过(5π6,−2)，且是“五点”作图法的第四个点，
所以32×5π6+φ=3π2，
所以φ=π4.
所以fx=2sin32x+π4，
所以f(0)=2sin(0+π4)= 2.
故选A.
6.【答案】D
【解析】解；∵a>b>0，二次函数f(x)=ax2+2x+b有且仅有一个零点，
∴△=4−4ab=0，
即ab=1，a>b>0，a−b>0
∵a2+b2a−b=(a−b)2+2a−b=(a−b)+2a−b≥2 2
∴a2+b2a−b的最小值为2 2，
故选；D.
根据题意得出∴△=4−4ab=0，即ab=1，a>b>0，a−b>0，变形为基本不等式的条件a2+b2a−b=(a−b)2+2a−b=(a−b)+2a−b≥2 2，即可得出答案．
本题考查了二次函数的性质，基本不等式，难度不大，简单知识的综合，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：令g(x)=0，则f(x)=|k(x+1)|，
则函数h(x)=k(x+1)过定点(−1,0)，
在直角坐标系中画出函数f(x)与函数y=|h(x)|的图象，
∵当x=3时f(x)=1，当x=5时f(x)=5，
∴由图象可知，若函数g(x)=f(x)−|k(x+1)|有9个零点，
则1−05+1≤|k|<1−03+1，∴16≤|k|<14
∴16≤k<14或−14故选：B.
令g(x)=0，则f(x)=|k(x+1)|，在直角坐标系中画出f(x)和y=|k(x+1)|的图象，根据图象结合条件即可得到关于k的不等式．
本题考查了函数的零点的判定定理的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题属于新概念题，考查了高斯函数的性质、一元二次不等式的解法，属于中档题．
根据函数新定义得x−1<[x]≤x，结合方程得2x−1【解答】
解：由题意[x]≤x<[x]+1，则x−1<[x]≤x，
所以2x−1<2[x]+1≤2x+1，即2x−1故x2−2x+1=(x−1)2>0x2−2x−1=(x−1)2−2≤0⇒x∈[1− 2,1)∪(1,1+ 2],
由x2=2[x]+1≥0，则[x]≥−12且[x]∈Z，故[x]≥0，且x2=2k+1，k∈N*，
若x2=3，则x= 3，满足；
若x2=5，则x= 5，满足；
若x2=7，则x= 7>1+ 2，不满足；
故其它情况均不满足题设，
综上，x= 3、x= 5为方程x2=2[x]+1的解，共2个．
故选：C.
9.【答案】CD
【解析】解：因为幂函数f(x)=(m2+m−11)xm−1在(0,+∞)上单调递减，
所以，m2+m−11=1m−1<0，
解得m=−4，
故f(x)=x−5，
所以f(−1)=−1.
故选：CD.
根据幂函数的定义和性质可得m2+m−11=1m−1<0，解之即可．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：∵a2+a−2=(a+a−1)2−2，
又∵a2+a−2=3，
∴(a+a−1)2=5，
∴a+a−1=± 5.
故选：AB.
根据已知条件，结合指数幂的运算性质，即可求解．
本题主要考查指数幂的运算性质，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系，属基础题．
利用诱导公式分析运算即可判断ABC，根据平方关系和商数关系分析计算即可判断D.
【解答】
解：对于A，sin(π3+α)=sin[π−(π3+α)]=sin(2π3−α)，故A正确；
对于B，sin(π4+α)=cs[π2−(π4+α)]=cs(π4−α)
=−cs[π+(π4−α)]=−cs(5π4−α)，故B正确；
对于C，tan(π3−α)=−tan[π−(π3−α)]=−tan(2π3+α)，故C错误；
对于D，tan2αsin2α=sin2αcs2αsin2α=(1−cs2αcs2α)⋅sin2α
=sin2αcs2α−sin2α=tan2α−sin2α，故D正确．
故选：ABD.
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的图象与性质，正确作出分段函数的图象是解题的关键，属于中档题．
由已知写出分段函数，作出其图象，结合图象逐一判断四个选项得答案．
【解答】
解：f(x)=(sinx+csx)|sinx−csx|=cs2x,sinx其图象如图：
由图可知，f(x)是周期为2π的周期函数，故A错误；
若|f(x1)|+|f(x2)|=2，由|f(x1)|≤1，|f(x2)|≤1，
则只有|f(x1)|=|f(x2)|=1，即x1，x2只能是函数的最值点的横坐标，
可得x1+x2=kπ2(k∈Z)，故B正确；
由图象可得，f(x)在区间[−π2,π2]上不是单调函数，故C错误；
由图象可知，y=f(x)的对称轴是x=kπ+π4(k∈Z)，故D正确．
故选：BD.
13.【答案】{0,1}
【解析】【分析】
本题主要考查集合的表示方法，属于较易题.
根据集合A={−1,0,1}，B={x|x=t2,t∈A}，将A中元素一一代入x=t2，可得集合B.
【解答】
解：∵集合A={−1,0,1}，B={x|x=t2,t∈A}，
∴B={0,1}，
故答案为：{0,1}
14.【答案】(0,2]
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性的应用，注意指数函数的性质，考查计算能力，属于基础题．
求出指数的取值范围，利用指数函数的单调性，即可求出函数的值域．
【解答】
解：因为x2−2x=(x−1)2−1，所以x2−2x≥−1，
又因为指数函数y=(12)x是减函数，且y=(12)x>0，
所以y=(12)x2−2x∈(0,2].
故答案为：(0,2].
15.【答案】−3
【解析】解：根据题意，函数f(x+2)为偶函数，则有f(x)=f(4−x)，
又由f(x)为奇函数，则有f(x)=−f(−x)，
则有f(4−x)=−f(−x)，变形可得f(x+4)=−f(x)，则f(7)=−f(3)=−3，
又由f(x)为R上为奇函数，则f(0)=0，f(4)=−f(0)=0，
故f(7)+f(4)=−3+0=−3；
故答案为：−3.
根据题意，分析可得f(x+4)=−f(x)，则有f(7)=−f(3)，f(4)=−f(0)，计算可得答案．
本题考查抽象函数性质的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
16.【答案】(174,25716]
【解析】【分析】
本题考查了函数零点，分段函数的图象，属于中档题．
作出f(x)的函数图象，得出F(x)的各零点的关系及范围，从而得出结论．
【解答】
解：作出f(x)的函数图象如图所示：
由图象可知x3+x4=2，且−4≤x1<−2.
∵lg2(−x1)=−lg2(−x2)，∴x1x2=1.
∴x2x1+x3x12+x4x122=1x12+x12.
令t=x12，则4令g(t)=t+1t(4又g(4)=174，g(16)=25716.
∴174故答案为：(174,25716].
17.【答案】解：依题意，函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以f(−x)+g(−x)=1−x−1，
所以−f(x)+g(x)=1−x−1，①，
又因为f(x)+g(x)=1x−1，②，
由①②联立，可得f(x)=xx2−1(x≠±1)，g(x)=1x2−1(x≠±1).
【解析】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题．
利用函数的奇偶性得到方程组，解出f(x)，g(x)的解析式即可．
18.【答案】解：(1)由诱导公式得，sin(2π−α)+cs(5π2+α)sin(α−π2)=−sinα−sinα−csα=2tanα=−32；
(2)sinα+csαsinα−2csα=tanα+1tanα−2=−111.
【解析】本题主要考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
(1)利用诱导公式化简求值即可；
(2)利用同角三角函数间的基本关系求解．
19.【答案】解：(1)∵y=lg(3−4x+x2)，
∴3−4x+x2>0，
解得：M={x<1或x>3}，
∴M={x<1或x>3}.
(2)由f(x)=2x+2−3×4x=4×2x−3×(2x)2
令2x=t，
∵M={x3}，∴t>8或0∴f(x)=y=4t−3t2=−3(t−23)2+43，(t>8或0由二次函数性质可知：
当0当t>8时，f(x)∈(−∞,−160)；
当2x=t=23，即x=lg223时，f(x)=43.
综上可知：当x=lg223时，f(x)取到最大值为43，无最小值．
【解析】(1)由题意可知3−4x+x2>0，从而解出集合M；
(2)由题意，利用换元法求函数的最大值及最大值点；
本题考查对数函数的定义域，考查求函数的最值，正确运用配方法求最值是关键．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=m−3x1+3x的定义域为R，
由f(x)是奇函数，得f(0)=m−12=0，解得m=1，即f(x)=1−3x1+3x，
由于f(−x)=1−3−x1+3−x=3x−13x+1=−f(x)，即函数f(x)是奇函数，
所以m=1.
(2)由(1)知，f(x)=21+3x−1，而函数y=1+3x在R上单调递增，
因此f(x)在R上单调递减，
不等式f(t2+2t+k)+f(−2t2+2t−5)>0
化为f(t2+2t+k)>−f(−2t2+2t−5)，
由f(x)是奇函数，得−f(−2t2+2t−5)=f(2t2−2t+5)，
因此不等式化为f(t2+2t+k)>f(2t2−2t+5)，
于是t2+2t+k<2t2−2t+5，
即k依题设，对任意的t∈[0,5]，不等式k显然当t=2时，t2−4t+5取得最小值1，从而k<1，
所以实数k的取值范围是{k|k<1}.
【解析】本题主要考查函数恒成立问题，复合型指数函数，利用函数的奇偶性解决参数问题，属于中档题．
(1)由奇函数在R上有定义知f(0)=0，即可求m的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，结合奇函数可得k21.【答案】解：(1)由题意得：f(0)=g(0)，即|a|=1，又∵a>0，∴a=1.
(2)由(1)可知，f(x)=|x−1|，
g(x)=x2+2x+1=(x+1)2，
∴h(x)=f(x)+b g(x)=|x−1|+b|x+1|，
若h(x)为偶函数，即h(x)=h(−x)，则有b=1，此时h(2)=4，h(−2)=4，
故h(2)≠−h(−2)，即h(x)不为奇函数；
若h(x)为奇函数，即h(x)=−h(−x)，则b=−1，此时h(2)=2，h(−2)=−2，
故h(2)≠h(−2)，即h(x)不为偶函数；
综上，当且仅当b=1时，函数h(x)为偶函数，且不为奇函数；
当且仅当b=−1时，函数h(x)为奇函数，且不为偶函数；
当b≠±1时，函数h(x)既非奇函数又非偶函数．
(3)关于x的不等式f(x)−2 g(x)>a有解，
即x的不等式|x−1|−2|x+1|>a有解，
故|x−1|−2|x+1|的最大值大于或等于a，
画出函数y=|x−1|−2|x+1|的图象，如图所示：
由图象可知，|x−1|−2|x+1|的最大值为2，
∴a<2.
【解析】本题考查函数的奇偶性，绝对值不等式，画具体函数图象，属于中档题.
(1)由题意得：f(0)=g(0)，即|a|=1，可得a=1；
(2)利用奇偶函数的定义，确定b的值，进而可得函数的奇偶性；
(3)关于x的不等式f(x)−2 g(x)>a有解转化为|x−1|−2|x+1|的最大值大于或等于a，画出函数y=|x−1|−2|x+1|的图象，由图象可得答案．
22.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+mx+3−m=0的两个根皆为负，
∴m2−4(3−m)≥0−m<03−m>0⇒2≤x<3.
故实数m的取值范围为[2,3).
(2)f(x)=x2+mx+n恒有两个零点，则Δ=m2−4n>0.
设n=m24−k(k>0)，
则(m−1)2+(n−1)2+(m−n)2=(n−1)2+(n−m)2+(m−1)2
=2(n−m+12)2+m2+1−2(m+12)2+(m−1)2=2(n−m+12)2+32(m−1)2
=2(m24−k−m+12)2+32(m−1)2=2(m2−2m−2−4k4)2+32(m−1)2
=2((m−1)2−3−4k4)−2+32(m−1)2，
令u=(m−1)2≥0，则(m−1)2+(n−1)2+(m−n)2=2(u−3−4k4)2+32u
=18((u−3−4k)2+12u)=18[u2−8uk+16k2+6u+12k+9]=18[(u−4k)2+6u+12k+9]>98，
又t≤(m−1)2+(n−1)2+(m−n)2恒成立，
∴t≤98，
故t的最大值为98.
【解析】(1)利用判别式和韦达定理即可；
(2)根据二次函数f(x)恒有两个零点可得m2−4n>0，设n=m24−k,k>0，将(m−1)2+(n−1)2+(m−n)2转化关于m的函数，利用换元法求出值域即可求出所求．
本题主要考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质，解题的关键是配凑成关于 m的二次函数，同时考查了学生计算能力，属于难题．