2023-2024学年福建省莆田市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年福建省莆田市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，csα=( )
A. −35
B. 35
C. −25
D. 25
2.已知a=lg32，b=30.1，c=30.2，则( )
A. a3.函数f(x)=lgx+5x−11的零点所在区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.计算：sin20∘sin80∘+cs20∘sin170∘=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
5.若sinα+2csα5csα−sinα=516，则tanα=( )
A. 13B. 12C. −13D. −12
6.已知某种放射性元素在一升液体中的放射量c(单位：Bq/L)与时间t(单位：年)近似满足关系式c=k⋅a−t12(a>0且a≠1).已知当t=12时，c=100；当t=36时，c=25，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量c为10时，t大约为(参考数据：lg25=2.32)( )
A. 50B. 52C. 54D. 56
7.已知集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+3≤x≤m2+4}，如果命题“∃m∈R，A∩B≠⌀”为假命题，则实数a的取值范围为( )
A. {a|a<3}B. {a|a<4}C. {a|18.将函数f(x)=csx的图像先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，若函数g(x)在(−π,0)上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. (0,16]B. (0,23]C. (0,13)D. (0,1]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列计算正确的是( )
A. (169)−14= 32B. 9π−2×92−π=0
C. lg4 3×lg32=14D. e3ln2=9
10.下列命题是真命题的有( )
A. 函数f(x)=sin2x+csx+1的值域为[0,94]
B. g(x)= 3−lg2(3−x)的定义域为[−5,+∞)
C. 函数f(x)=lnx−2x的零点所在的区间是(2,3)
D. 对于命题p：∃x∈R，使得x2−1>0，则¬p：∀x∈R，均有x2−1<0
11.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数y=f(x)的图象关于点(−π3,0)对称
B. 函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称
C. 函数y=f(x)在[−2π3,−π6]单调递减
D. 该图象向右平移π6个单位可得y=2sin2x的图象
12.把函数f(x)= 3sinωx+csωx(0<ω<π)的图象向左平移π6个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则( )
A. f(x)的最小正周期为2π
B. f(x)关于点(5π12,−2)对称
C. f(x)在(−π12,π6)是上单调递增
D. 若f(x)在区间[−π12,a)上存在最大值，则实数a的取值范围为(π6,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=12sin(3x−π4)的最小正周期为______.
14.已知α∈(π2,π)，sinα=35，则cs(π−α)=______.
15.已知m>0，n>0且m+n=3，则3m+6n的最小值为______.
16.已知函数f(x)=lnx,x>0ex+1,x≤0，且函数g(x)=f(x)−m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|−2≤x≤5}.
(1)若a=3，求(∁RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)
已知sinα=17，sin(β−α)=1114，且α,β∈(0,π2).
(1)求β的值；
(2)求cs(2α+β)的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−mx.
(1)若f(x)≥0对一切实数x都成立，求m的值；
(2)已知m=−2，令g(x)=f(x)−x2+1x，求g(x)在(0,+∞)上的最小值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg3(x+a)−lg3(5−2x)，且f(2)=1.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求不等式f(x)>1的解集.
21.(本小题12分)
已知f(x)=cs2x−sin2x+2 3sinxcsx+1
求(1)f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)x∈[−π6,π3]时，f(x)−3≥m恒成立，求实数m的范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x⋅2x−x(k+2)⋅2−x.
(1)求实数k的值，使得f(x)为偶函数；
(2)当f(x)为偶函数时，设g(x)=22x+2−2x−2f(x)x，若∀x∈[1,2]，都有g(x)≤m成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意，点A的纵坐标为45，点A的横坐标为−35，
∴由三角函数的定义可得csα=−35，
故选A.
求出点A的横坐标，利用三角函数的定义可得csα的值．
本题考查三角函数的定义，求得点A的横坐标是关键．
2.【答案】A
【解析】解：因为a=lg32lg31=0，
所以0又b=30.1>30=1，
而30.2>30.1，即c>b>1，
所以c>b>a.
故选：A.
利用指数函数与对数函数的单调性判断即可．
本题考查三个数大小比较的求法，是基础题，
3.【答案】C
【解析】解：y=lgx，y=5x−11在(0,+∞)上单调递增，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．
若0则f(x)在(0,1)上无零点．
∵f(1)=−6<0，f(2)=lg2−1<0，f(3)=lg3+4>0，
f(4)=1g4+9>0，∴根据零点存在定理可知，
∴f(x)在(2,3)上有零点．
故选：C.
根据函数零点存在定理判断即可．
本题考查函数零点存在定理，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：sin20∘sin80∘+cs20∘sin170∘
=sin20∘sin80∘+cs20∘cs80∘
=cs(80∘−20∘)=12.
故选：A.
利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可．
本题考查两角和与差的三角函数，属基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数商的关系化弦为切，即可求得tanα的值．
【解答】
解：∵sinα+2csα5csα−sinα=516，
∴tanα+25−tanα=516，解得tanα=−13.
故选C.
6.【答案】B
【解析】解：由题知，k⋅a−1212=100k⋅a−3612=25，解得k=200，a=2，
所以c=200×2−t12，
由200×2−t12=10，得t=12lg220=12(2+lg25)≈52.
故选：B.
根据已知列方程组先求出k，a的值，然后利用对数运算可得．
本题考查了函数模型的实际应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为命题“∃m∈R，A∩B≠⌀”为假命题，
所以，命题“∀m∈R，A∩B=⌀”为真命题，
因为集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+3≤x≤m2+4}
所以，当A={x|0≤x≤a}=⌀时，a<0，此时A∩B=⌀成立，
当A={x|0≤x≤a}≠⌀时，由“∀m∈R，A∩B=⌀”得a综上，实数a的取值范围为{a|a<3}.
故选：A.
由题命题“∀m∈R，A∩B=⌀”为真命题，进而分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论求解即可．
本题考查了存在量词命题和全称量词命题的真假关系，交集定义及运算，空集的定义，分类讨论的思想，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：将函数f(x)=csx的图像先向右平移π3个单位长度，
得到函数y=cs(x−π3)的图像，
再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，
则g(x)=cs(ωx−π3)，
又函数g(x)在(−π,0)上单调递增，
则(−ωπ−π3,−π3)⊆[−π,0]，
即−ωπ−π3≥−π，
即ω≤23，
又ω>0，
即ω的取值范围是(0,23].
故选：B.
由三角函数图像的变换，结合三角函数的性质求解．
本题考查了三角函数图像的变换，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：A项，(169)−14=(916)14=((34)2)14=(34)12= 34= 32，故选项A正确；
B项，9π−2×92−π=9π−2+2−π=90=1，故选项B不正确；
C项，lg4 3×lg32=lg 3lg4×lg2lg3=12lg32lg2×lg2lg3=14，故选项C正确；
D项，e3ln2=eln8=8，故选项D不正确．
故选：AC.
利用指数幂和对数的运算法则即可求解．
本题考查指数运算，对数运算，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A选项，f(x)=sin2x+csx+1=−cs2x+csx+2，
令t=csx，t∈[−1,1]，则y=−t2+t+2的开口向下，对称轴为t=12，
所以当t=12时，y取得最大值为−(12)2+12+2=94；
当t=−1时，y取得最小值为−(−1)2−1+2=0，所以f(x)的值域为[0,94]，A选项正确．
对于B选项，对于函数g(x)= 3−lg2(3−x)，
由3−x>03−lg2(3−x)≥0，得x<3lg2(3−x)≤3，解得−5≤x<3，
所以g(x)的定义域为[−5,3),B选项错误．
对于C选项，f(x)=lnx−2x在(0,+∞)上单调递增，
f(2)=ln2−1<0,f(3)=ln3−23>0,f(2)f(3)<0，
所以函数f(x)=lnx−2x的零点所在的区间是(2,3)，C选项正确．
对于D选项，命题p：∃x∈R，使得x2−1>0，
其否定是¬p：∀x∈R，均有x2−1≤0，D选项错误．
故选：AC.
根据三角函数的值域、函数的定义域、零点存在性定理、存在量词命题的否定等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查三角函数的最值，函数的零点，命题的否定，函数的定义域的求法，是中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：根据函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A=2,14⋅2πω=π3−π12，可得ω=2，
再根据五点作图法，可得2×π3+φ=π2，解得φ=−π6，所以f(x)=2cs(2x−π6)，
对于A中，当x=−π3，可得f(−π3)=2cs(−5π6)= 3≠0，
所以(−π3,0)不是函数y=f(x)的对称中心，所以A错误；
对于B中，当x=−5π12时，可得f(−5π12)=2cs(−π)=−2，即函数的最小值，
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称，所以B正确；
对于C中，当x∈[−2π3,−π6]，可得2x−π6∈[−3π2,−π2]，
根据余弦函数的性质，可得在函数f(x)在[−2π3,−π6]先减后增，所以C不正确；
对于D中，将函数f(x)=2cs(2x−π6)该图象向右平移π6个单位，
可得y=2cs[2(x−π6)−π6]=2cs(2x−π2)=2sin2x的图象，所以D正确．
故选：BD.
根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为f(x)=2cs(2x−π6)，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解．
本题主要考查三角函数的图像和性质，属于中档题．
12.【答案】CD
【解析】解：因为f(x)= 3sinωx+csωx=2sin(ωx+π6)，
所以把f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)=2sin(ωx+π6ω+π6)的图象，
因为g(x)关于y轴对称，所以π6ω+π6=kπ+π2,k∈Z，即ω=6k+2，k∈Z，
又因为0<ω<π，所以ω=2,f(x)=2sin(2x+π6)，
A.对于T=2π2=π，故A错误；
B.f(5π12)=2sin(2×5π12+π6)=2sinπ=0，故B错误；
C，由2kπ−π2≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)，得kπ−π3≤x≤π6+kπ(k∈Z)，
所以当k=0时，f(x)的单调递增区间为[−π3,π6]，又因为(−π12,π6)⊆[−π3,π6]，
所以f(x)在(−π12,π6)上单调递增，故C正确；
D，若函数f(x)在[−π12,a)上存在最大值，由选项C可知，f(x)在(−π12,π6)上单调递增，且f(π6)=2sin(2×π6+π6)=2sinπ2=2，即f(x)在x=π6时取得最大值，所以a>π6，即实数a的取值范围为(π6,+∞)，故D正确．
故选：CD.
首先化简函数f(x)，再结合函数的性质求ω，并结合函数的性质，判断选项．
本题考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】2π3
【解析】解：由于函数f(x)=12sin(3x−π4)的最小正周期为2π3.
故答案为：2π3.
由题意，利用正弦函数的周期性，得出结论．
本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．
14.【答案】45
【解析】解：因为α∈(π2,π)，sinα=35，
所以csα=− 1−sin2α=−45，
又因为cs(π−α)=−csα，
所以cs(π−α)=45，
故答案为：45.
根据同角三角函数的基本关系、诱导公式求解．
本题考查了同角的三角函数关系、诱导公式，属于基础题．
15.【答案】3+2 2
【解析】解：3m+6n=3(1m+2n)=(1m+2n)(m+n)=1+nm+2+2mn≥3+2 nm×2mn=3+2 2，
当且仅当nm=2mnm+n=3m>0,n>0，即m=3 2−3，n=6−3 2时等号成立．
所以3m+6n的最小值为3+2 2.
故答案为：3+2 2.
根据“1”的代换，化简整理可得3m+6n=1+nm+2+2mn，然后根据基本不等式，求解即可得出答案．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
16.【答案】(1,2]
【解析】解：g(x)=f(x)−m恰有两个不同的零点，等价于f(x)=m有两个不同的根，
也即函数y=m与函数f(x)的图象有两个不同的交点，
当x>0时，y=lnx，此时函数为单调增函数，且y∈R，
当x≤0时，y=ex+1，函数为单调增函数，且y∈(1,2],
所以当m∈(1,2]时，满足题意，
故答案为：(1,2].
将g(x)零点个数问题转为两个函数图象交点个数的问题，分别求出两段函数的值域以及单调性即可得m的取值范围．
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|−2≤x≤5}.
(1)当a=3时，P={x|4≤x≤7}，∁RP={x<4,或x>7}
又Q={x|−2≤x≤5}，
(∁RP)∩Q={x|−2≤x<4}；
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
又Q={x|−2≤x≤5}.
P=⌀或P≠⌀，
①当P=⌀时，a+1>2a+1，所以a<0；
②当P≠⌀时，a≥0a+1≥−22a+1≤5，
所以0≤a≤2；
当a=0时，P={1}是Q的真子集；当a=2时，P={x|3≤x≤5}也满足是Q的真子集，
综上所述：{a|a≤2}.
【解析】(1)将a=3代入集合求解，利用集合间的关系可求(∁RP)∩Q；
(2)利用充要条件的定义，分类讨论集合可求实数a的取值范围．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)因为α，β∈(0,π2)，
所以β−α∈(−π2,π2)，
则csα>0，cs(β−α)>0，
又因为sinα=17，sin(β−α)=1114，
所以csα=4 37，cs(β−α)=5 314，
所以sinβ=sin(β−α+α)=sin(β−α)csα+cs(β−α)sinα=1114×4 37+5 314×17= 32，
因为β∈(0,π2)，
所以β=π3；
(2)因为sin2α=2sinαcsα=2×17×4 37=8 349，cs2α=1−2sin2α=1−2×(17)2=4749，
所以cs(2α+β)=cs2αcsβ−sin2αsinβ=4749×12−8 349× 32=2398.
【解析】(1)由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解；
(2)由二倍角公式，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)≥0，即f(x)min≥0，
而f(x)=x2−mx=(x−m2)2−m24≥−m24≥0恒成立，
则m=0，
所以m的值为0；
(2)由已知有g(x)=x2+2x−x2+1x=2x+1x，
当x∈(0,+∞)时，2x+1x≥2 2x⋅1x=2 2，
当且仅当2x=1x，即x= 22时取得最小值，
故g(x)在(0,+∞)上的最小值为2 2.
【解析】(1)求出函数的最小值，使最小值大于等于0，求出答案；
(2)求出g(x)=2x+1x，利用基本不等式求出最值，得到答案．
本题考查函数的最值的求法及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为f(2)=lg3(2+a)−lg3(5−4)=lg3(a+2)−0=1，
解得a=1.
所以f(x)=lg3(x+1)−lg3(5−2x)，
由题意可得x+1>05−2x>0，解得−1故f(x)的定义域为(−1,52).
(2)不等式f(x)>1等价于lg3(x+1)−lg3(5−2x)>1，
即lg3(x+1)>lg3(5−2x)+lg33=lg3[3(5−2x)]，
由于y=lg3x在(0,+∞)上单调递增，
则x+1>3(5−2x)x+1>05−2x>0，解得2故不等式f(x)>1的解集为(2,52).
【解析】(1)根据题意，直接利用f(2)=1，即可求得参数a的值，继而可求得函数的定义域；
(2)变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可．
本题主要考查函数定义域及其求法，属于基础题．
21.【答案】解：f(x)=cs2x−sin2x+2 3sinxcsx+1
化解可得：f(x)=cs2x+ 3sin2x+1=2sin(2x+π6)+1.
(1)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，
由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z
可得kπ−π3≤x≤kπ+π6.
∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z
(2)x∈[−π6,π3]时，可得2x+π6∈[−π6,π]，
当2x+π6=−π6时，函数f(x)取得最小值为：−12×2+1=0.
要使f(x)−3≥m恒成立，则f(x)min≥m+3，即0≥m+3，
可得：m≤−3.
故得实数m的范围是(−∞,3].
【解析】(1)利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
(2))x∈[−π6,π3]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的最小值，即得到m的取值范围．
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
22.【答案】(1)解：由函数f(x)=x⋅2x−x(k+2)⋅2−x为R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，
即−x⋅2−x+x(k+2)⋅2x=x⋅2x−x(k+2)⋅2−x，
即x(2x+2−x)−x(k+2)(2x+2−x)=0，即x(2x+2−x)(−1−k)=0恒成立，
所以k=−1；
(2)解：由(1)知f(x)=x⋅(2x−2−x)，
可得g(x)=22x+2−2x−2f(x)x=22x+2−2x−2⋅(2x−2−x)=(2x−2−x)2−2⋅(2x−2−x)+2，
令t=2x−2−x，因为函数t1=2x,t2=−2−x在x∈[1,2]都是增函数，
所以函数t=2x−2−x在x∈[1,2]上为递增函数，则tmin=32,tmax=154，
所以y=t2−2t+2,t∈[32,154]，
因为函数y=t2−2t+2的对称轴为t=1，所以函数y=t2−2t+2在[32,154]递增，
所以，当t=154时，ymax=13716，
要使得∀x∈[1,2]，都有g(x)≤m成立，则m≥13716，
即实数m的取值范围[13716,+∞).
【解析】(1)根据题意，结合f(−x)=f(x)，化简得到x(2x+2−x)(−1−k)=0恒成立，即可求解；
(2)根据题意，求得g(x)=(2x−2−x)2−2⋅(2x−2−x)+2，令t=2x−2−x，结合指数函数的性质，求得t∈[32,154]，y=t2−2t+2，结合二次函数的性质，即可求解．
本题考查了函数的奇偶性和恒成立问题，属于中档题．