2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x2∈A}，则A∩B=( )
A. {1}B. {1,2}C. {1,4}D. ⌀
2.已知在R上的函数f(x)是增函数，满足f(x)A. (−2,+∞)B. (3,+∞)C. (2,+∞)D. (−3,+∞)
3.下列关于空集的说法中，错误的是( )
A. 0∈⌀B. ⌀⊆⌀C. ⌀∈{⌀}D. ⌀⊆{⌀}
4.已知集合A={y|y= x+1}，B={x|1x+1<1}，则A∩B=( )
A. (−1,1]B. [−1,1)C. (0,+∞)D. [0,1]
5.若函数f(x)的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥1，称函数f(x)满足性质ψ，有下列四个函数
①f(x)=1x，x∈(0,1)；②g(x)= x；③h(x)=x2(x≤−1)；④k(x)=11+x2
其中满足性质ψ的所有函数的序号为( )
A. ①②③B. ①③C. ③④D. ①②
6.已知α−β=π6，tanα−tanβ=3，则cs(α+β)的值为( )
A. 12+ 33B. 12− 33C. 13+ 32D. 13− 32
7.已知直线y=kx+m与曲线y=x3−6x2+13x−8交于A，B，C三点，且AB=BC，则2k+m=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
8.已知函数f(x)=2−2|x−1|,x<213f(x−2),x≥2，若函数F(x)=af(x)−x有6个零点，则实数a的取值范围为( )
A. 92二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a>b>0，c∈R则下列关系正确的是( )
A. a+c>b+cB. ac>bc
C. 1a<1bD. 若a>c，则c>b
10.下列结论正确的是( )
A. 2∈Q
B. 集合A，B，若A∪B=A∩B，则A=B
C. 若A∩B=B，则B⊆A
D. 若a∈A，a∈B，则a∈A∩B
11.下列说法正确的有( )
A. 若x<12，则2x+12x−1的最大值是−1
B. 若x>−2，则x+6 x+2≥4
C. 若x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最大值是2
D. 若x<1，则x2−x+9x−1有最大值−5
12.当0A. (1−a)1b>(1−a)bB. (1+a)a>(1+b)b
C. (1−a)b>(1−a)b2D. (1−a)a>(1−b)b
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：sin90∘=______.
14.以角θ的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P(1,2)则tan(θ+π4)=______.
15.若△ABC的内角A，B满足sinBsinA=2cs(A+B)，则当B取最大值时，角C大小为______.
16.若实数a，b∈(0,2)且ab=1，则12−a+22−b的最小值为______
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+cs2x−sin2x，求
(1)f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−(a+1a)x+1.
(1)当a=2时；解不等式f(2x)≤0；
(2)若a>2，解关于x的不等式f(x)≥0.
19.(本小题12分)
在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x(m)，总造价为y(元).
(1)将y表示为关于x的函数；
(2)当x取何值时，总造价最低.
20.(本小题12分)
某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y=168−x−1；当4(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据： 2取1.4)
21.(本小题12分)
已知命题p：∀x∈{x|0≤x≤1}，x2−a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+a+2=0，若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x−2x+1+a.
(1)求关于x的不等式f(x)(2)已知函数g(x)=f(x)⋅[f(x+1)−22x+1]+a2，若g(x)的最小值为g(a)，求满足g(a)=2a的a的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={1,2,3,4,5}，
∴B={x|x2∈A}={−1,− 2,− 3,−2,− 5,1, 2, 3,2, 5}，
则A∩B={1,2}，
故选：B.
先求出集合B，再利用交集运算求解即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)∴x<2x−3，
∴x>3，
在R上的函数f(x)是增函数，满足f(x)故选：B.
此题利用函数的单调性去掉抽象符号，函数f(x)是增函数，得到一个不等式，解不等式组即可
本题主要考查利用函数单调性解抽象函数不等式，基本知识的考查．
3.【答案】A
【解析】解：根据元素与结合关系可知，0∉⌀，A错误；
根据空集是任何集合的子集可知，B显然正确；
根据元素与集合关系可知，⌀∈{⌀}，C正确；
根据集合与集合的关系可知，⌀⊆{⌀}，D正确．
故选：A.
根据元素与集合，集合与集合的关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了元素与集合，集合与集合的关系的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵集合A={y|y= x+1}={y|y≥0}，B={x|1x+1<1}={x|x>0或x<−1}，
∴A∩B=(0,+∞).
故选：C.
求出集合A、B，利用定义写出A∩B.
本题考查了集合的定义与函数的定义域和值域的应用问题，是基础题目．
5.【答案】B
【解析】解：①|1x1−1x2x1−x2|=|1x1x2|≥1(x1,x2∈(0,1))，故①正确；
②| x1− x2x1−x2|=|1 x1+ x2|，当x1>4，x2>4时， x1+ x2>4，1 x1+ x2<14，故②不正确；
③|x12−x22x1−x2|=|x1+x2|，当x1≤−1，x2≤−1时，|x1+x2|≥2，故③正确；
④|11+x12−11+x22x1−x2|=|x1+x2(1+x12)(1+x22)|≤|x11+x12|+|x21+x22|，
因为|x1+1x1|≥2，所以|x11+x12|≤12，同理|x21+x22|≤12，所以|x11+x12|+|x21+x22|≤1，故④不正确，
故选：B.
本题属于新定义题，对每一个函数按照定义要求化简，判断即可．
本题为新定义题目，对每一个函数按照定义要求化简判断即可，只有④的化简略为难点，但放缩过程比较经典，可以重点掌握．
6.【答案】D
【解析】解：tanα−tanβ=3，且α−β=π6，
则：sinαcsα−sinβcsβ=sinαcsβ−csαsinβcsαcsβ=sin(α−β)csαcsβ=12csαcsβ=3，
整理得：csαcsβ=16，
则：cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ= 32，
整理得：sinαsinβ= 32−16，
所以：cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=16− 32+16=13− 32，
故选：D.
首先利用三角函数关系式的变换和同角三角函数的关系时的变换求出结果．
本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】解：因为A，B，C三点在直线y=kx+m，AB=BC，所以B为A、C的中点，
设A(x1,y1)，B(x0,y0)，C(x2,y2)，可得x0=x1+x22,y0=y1+y22，
所以y1=x13−6x12+13x1−8y2=x23−6x22+13x2−8，
两式相加得y1+y2=x13+x23−(6x12+6x22)+13(x1+x2)−16，
=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]−6[(x1+x2)2−2x1x2]+13(x1+x2)−16，
所以2y0=2x0(4x02−3x1x2)−6(4x02−2x1x2)+26x0−16，
整理得y0=4x03−3x1x2x0−12x02+6x1x2+13x0−8，
又因为y0=x03−6x02+13x0−8，
所以有x03−6x02+13x0−8=4x03−3x1x2x0−12x02+6x1x2+13x0−8，
整理得(x02−x1x2)(x0−2)=0，
因为x02−x1x2=(x1−x22)2>0，
所以x0=2，可得y0=23−6×4+13×2−8=2，
此时直线y=kx+m过点(2,2)，则2k+m=2，
所以2k+m=2.
故选：D.
设A(x1,y1)，B(x0,y0)，C(x2,y2)，由已知可得x0=x1+x22,y0=y1+y22，代入解析式将两式相加得x0=2，求出y0可得答案．
本题考查了直线过定点问题，直线和曲线的相交问题，考查了转化思想，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：当x∈[2,4)时，x−2∈[0,2),f(x)=13f(x−2)=23(1−|x−3|)；
当x∈[4,6)时，x−2∈[2,4),f(x)=13f(x−2)=29(1−|x−5|)；
当x∈[6,8)时，x−2∈[4,6),f(x)=13f(x−2)=227(1−|x−7|)；
令F(x)=af(x)−x=0，易知a≠0，则f(x)=xa，
故依题意，函数f(x)与y=xa有6个交点，
作出函数f(x)的图象如下所示，
由图可知，1a∈(kOB,kOA)，而kOB=2277=2189，kOA=295=245，
∴1a∈(2189,245)，
∴a∈(452,1892).
故选：D.
画出函数f(x)的图象，将F(x)的零点问题转化为f(x)与y=xa有6个交点问题来解决，画出图象，根据图象确定a的取值范围．
本小题主要考查分段函数图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为a>b>0，c∈R，由不等式的性质可得a+c>b+c，所以A正确；
当c≤0时，则ac≤bc，所以B不正确；
可得ab>0，由不等式的性质可得aab>bab，即1b>1a，所以C正确；
因为a>b>0，若a>c，则b，c的关系不定，所以D不正确；
故选：AC.
由题意及不等式的性质可得A，B，C，D的真假．
本题考查不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查了元素与集合的关系，有理数集、集合与集合的运算性质，属于基础题．
利用元素与集合的关系及有理数集的性质，集合与集合的运算性质，直接求解即可求得答案．
【解答】
解：对于A， 2是无理数，Q是有理数集，故A错误，
对于B，集合A，B，若A∪B=A∩B，必有A=B，故B正确，
对于C，集合A，B，若A∩B=B，必有B⊆A，故C正确，
对于D，如果一个元素即属于集合A又属于集合B，则这个元素一定属于A∩B，故D正确，
故选：BCD.
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由x<12，则2x−1<0，即2x+12x−1=2x−1+12x−1+1=−(1−2x+11−2x)+1≤−2+1=−1，当且仅当1−2x=11−2x，即x=0时，等号成立，故A正确；
对于B，由x>−2，则x+2>0，即x+6 x+2= (x+6)2x+2= (x+2)2+8(x+2)+16x+2= x+2+16x+2+8≥ 8+8=4，当且仅当x+2=16x+2，即x=2时，等号成立，故B正确；
对于C，由2xy≤(x+2y2)2，当且仅当x=2y时等号成立，且2xy=−x−2y+8，则−x−2y+8≤(x+2y2)2，整理可得(x+2y)2+4(x+2y)−32≥0，[(x+2y)+8]⋅[(x+2y)−4]≥0，由x>0，y>0，解得x+2y≥4，故C错误；
对于D，x2−x+9x−1=(x−1)2+(x−1)+9x−1=(x−1)+9x−1+1=−(1−x+91−x)+1≤−6+1=−5，当且仅当1−x=91−x，即x=−2时，等号成立，故D正确．
故选：ABD.
利用基本不等式求和的最小值，逐项求解，结合取相反数、分离常数项以及建立不等式，可得答案．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：∵0∵0b>b2，∴(1−a)1b<(1−a)b,(1−a)b<(1−a)b2，可知A，C均不正确；
又∵1<1+a<1+b，可得y=(1+b)x和y=xa(x>0)，y=xb(x>0)均为增函数，
∴(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b，可知B不正确；
对于D，(1−a)a>(1−a)b，且(1−a)b>(1−b)b，所以(1−a)a>(1−b)b，可得D正确．
故选：ABC.
根据题意，利用幂函数和指数函数的单调性比大小，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、利用函数单调性比较大小等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：sin90∘=1.
故答案为：1.
直接结合三角函数的特殊值，即可求解．
本题主要考查三角函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切函数公式的应用，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．根据题意任意角三角函数的定义即可求出tanα，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．
【解答】
解：由题意可得x=1，y=2，
∴tanθ=yx=2，
tanθ+π4=1+tanθ1−tanθ=1+21−2=−3.
故答案为−3.
15.【答案】2π3
【解析】【分析】
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简，利用基本不等式求出tanB的最大值，进而求出B的最大值，即可求出C的度数．
【解答】
解：已知等式变形得：sinB=2sinAcs(A+B)，
∴sinB=2sinAcsAcsB−2sin2AsinB，
∴tanB=2sinAcsA1+2sin2A=2tanA1+3tan2A，
∵A与B为锐角，tanA>0，
∴tanB=21tanA+3tanA≤ 33，当且仅当tanA= 33，即A=π6时取等号，
∴(tanB)max= 33，即B的最大值为π6，
则C=2π3.
故答案为：2π3.
16.【答案】2+2 23
【解析】解：实数a，b∈(0,2)且ab=1，
则b=1a，
故12−a+22−b
=12−a+22−1a
=12−a+2a2a−1
=24−2a+2a−1+12a−1
=24−2a+12a−1+1
=13(24−2a+12a−1)[(4−2a)+(2a−1)]+1
=13[2+2(2a−1)4−2a+4−2a2a−1+1]+1≥13(3+2 2)+1=2+2 23，当且仅当2(2a−1)4−2a=4−2a2a−1，即a=3 2−22时，等号成立，
故12−a+22−b的最小值为2+2 23.
故答案为：2+2 23.
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=2sinxcsx+cs2x−sin2x=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(2)因为x∈[0,π2]，
所以2x+π4∈[π4,5π4]
又f(x)= 2sin(2x+π4)，
则f(x)min=−1，
此时2x+π4=5π4，
即x=π2，
即f(x)取最小值时x的集合为{π2}.
【解析】(1)利用倍角公式化简整理函数f(x)的表达式，由周期T=2π|ω|；
(2)先求解2x+π4∈[π4,5π4]，由正弦函数性质求解最值即可．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数最值的求法，属基础题．
18.【答案】解：(1)当a=2时，函数化为f(x)=x2−52x+1，
则f(2x)=(2x)2−52×2x+1，
所以不等式化为(2x−12)(2x−2)≤0，即12≤2x≤2，
解不等式可得−1≤x≤1，
∴不等式的解集为[−1,1]；
(2)函数f(x)=x2−(a+1a)x+1可化为f(x)=(x−1a)(x−a)，
不等式(x−1a)(x−a)≥0，
因为a>2，则1a所以此时不等式的解集为(−∞,1a]∪[a,+∞).
【解析】(1)将a=2代入可得不等式，解二次不等式后结合指数函数的性质即可求得解集；
(2)将不等式因式分解，根据a的范围比较1a和a的大小关系即可求得不等式的解集．
本题考查了二次不等式和指数函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)矩形局域的面积为200m2，
则矩形的宽为200x，
绿化的面积为2×2×x+2×2×(200x−4)=4x+800x−16，
中间区域硬化地面的面积为(x−4)(200x−4)=216−4x−800x，
故y=(4x+800x−16)×200+(216−4x−800x)×100=400x+80000x+18400，
由x−4>0200x−4>0，解得4故y=400x+80000x+18400，4(2)400x+80000x+18400≥400×2 200+18400=8000 2+18400，当且仅当400x=80000x，即x=10 2时，等号成立，
故当x取10 2时，总造价最低．
【解析】(1)分别计算绿化的面积、中间区域硬化地面的面积，从而可得y表示为关于x的函数；
(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵一次喷洒4个单位的净化剂，
∴浓度f(x)=4y=648−x−1,0≤x≤420−2x,4则当0≤x≤4时，由648−x−4≥4，
解得x≥0，此时0≤x≤4，
当4解得4综合得0≤x≤8，
∴若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x<10)时，
浓度g(x)=2(5−12x)+a[108−(x−6)−1]=(14−x)+16a14−x−a−4，
∵14−x∈(4,8],而1≤a≤4，
∴4 a∈[4,8]，
故当且仅当14−x=4 a时，g(x)有最小值为8 a−a−4，
令8 a−a−4≥4，
解得24−16 2≤a≤4，
∴a的最小值为24−16 2≈1.6.
【解析】(1)将给定的数值代入相应的公式即可；
(2)列出方程后，利用基本不等式求最小值即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
21.【答案】解：由p：∀x∈{x|0≤x≤1}，x2−a≥0为真命题，
则a≤x2对任意x∈{x|0≤x≤1}恒成立，所以a≤(x2)min，即a≤0，
由命题q：∃x∈R，x2+2ax+a+2=0为真命题，则方程x2+2ax+a+2=0有实数解，
即Δ=4a2−4(a+2)≥0，所以a≤−1或a≥2.
因为命题p，q一真一假，
(1)p真q假时，a≤0−1(2)p假q真时，{a>0a⩽−1或a⩾2，解得，a≥2，
综上，实数a的取值范围{a|−1【解析】先分别求出p，q为真命题时a的范围，然后结合复合命题的真假关系即可求解．
本题主要考查了复合命题真假关系的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由题意：f(x)=4x−2⋅2x+a故不等式f(x)(2)由题意得g(x)=(4x−2x+1+a)(2⋅4x−2⋅2x+1+a)+a2，
令t=4x−2x+1，因为2x>0，所以t=4x−2⋅2x=(2x−1)2−1≥−1.
设函数h(t)=(t+a)(2t+a)+a2=2t2+3at+2a2，t∈[−1,+∞).
当t=−3a4>−1，即a<43时，h(t)在[−1,−3a4]上单调递减，在[−3a4,+∞)上单调递增．
所以g(a)=g(x)min=h(t)min=h(−3a4)=78a2=2a，得a=0或167(舍去).
当t=−3a4≤−1，即a≥43时，h(t)在[−1,+∞)上单调递增，
所以g(a)=g(x)min=h(t)min=h(−1)=2a2−3a+2=2a，得a=2或12(舍去).
综上，a的值为0或2.
【解析】(1)消去a后直接解不等式即可；
(2)将f(x)代入g(x)的表达式中，整理进行换元可将表达式整理成一个含参的二次函数在定区间的最值问题，可求出g(x)的最小值为g(a)后解方程即可．
本题主要考查函数最值的求法，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．