重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（Word版附答案）

这是一份重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知圆 的圆心为 ，且圆 与 轴的交点分别为 ，则圆 的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线CQ与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线：和圆：交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起游于公元1世纪或者2世纪时的中国，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.如图，现有一半径为4的圆纸片(A为圆心，B为圆内的一定点)，且，如图将圆折起一角，使圆周正好过点B，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到A，B两点距离之和最小的点为P，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C.在C上任取一点M，则△MAB面积的最大值是（ ）
A．2B．3C．D．
7．已知椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设为椭圆上一点，则面积的最大值为.若已知，点为椭圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
8．设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．14D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
10．下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
11．设．若，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知双曲线C: （，），过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为P，过右焦点作一条直线交C的右支于A，B两点，的内切圆与相切于点Q，则（ ）
A．线段AB的最小值为
B．的内切圆与直线AB相切于点
C．当时，C的离心率为2
D．当点关于点P的对称点在另一条渐近线上时，C的渐近线方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为 .
14．椭圆上有且仅有4个不同的点满足，其中，则椭圆C的离心率的取值范围为 ．
15．古希腊数学家阿波罗尼斯（Apllnius f Perga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为 .
16．如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是
①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，AB∥CD，，，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
18．圆截直线所得的弦长为，求的值
19．已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
20．如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，M为的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点D到平面的距离．
21．图1是由正三角形和正方形组成的一个平面图形，将其沿折起使得平面底面，连结、，如图2．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．
22．已知中心在坐标原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.
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高二数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1．D2．B3．B4．B5．C6．D
7．D【分析】当面积的最大值时，直线与椭圆相切，设与直线平行的椭圆的切线方程为，与椭圆联立得到，由面积的最大值为，求得，，由均值不等式即得解.
8．A【分析】根据渐近线方程求得，利用双曲线的定义，通过求的最小值来求得的最小值.
9．AC10．CD
11．BCD【分析】根据方程表示的曲线或函数的单调性可得正确的选项。
12．BD【分析】设出直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式可判断A，根据双曲线的定义和内切圆性质可判断B，由题可得进而可判断C，根据条件可得渐近线与x轴的夹角为可判断D.
13．//45°
14．
15．13
16．①②③④
17．【详解】如图，以为坐标原点，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，．
18．【详解】
因此圆心到直线距离为
因为圆截直线所得的弦长为，
所以
19．（1）由题意得，
故，解得，
故拋物线C的方程为.
（2）易得，由题意可设直线PQ的方程为，，
由，消去x，得，
故，
因为，
所以，即，
整理得，
即，
∴，
所以，
所以或，
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.
设，
则由，即，
得，
即点N的轨迹方程为.
20．【详解】（1）以点D为原点，分别以直线为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得 ，
即,∴.
（2）设为平面的法向量，
则即
取得
,
.
（3）设点到平面的距离为,由(2)可知为平面的一个法向量，
即点到平面的距离为.
21．【详解】（1）由题可知：在正方形中，有
又平而平面，平而平面
平面，所以平面
又平面，所以
（2）根据（1）可知：过点作轴垂直平面
建立如图所示空间直角坐标系
设，所以
所以
设平面的一个法向量为
所以，令，所以
所以
平面的一个法向量为
所以二面角的余弦值为
22．【详解】（1）设所求椭圆方程为，由题意知，①
设直线与椭圆的两个交点为，弦的中点为，
由，两式相减得：，
两边同除以，得，即.
因为椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，所以，
所以，，所以，即，②
由①②可得，
所以所求椭圆的方程为；
（2）设,的中点为，
联立，消可得：，
此时，即①
又，，
为对角线的菱形的一顶点为，由题意可知,即
整理可得：②
由①②可得，∵，
设到直线的距离为，则
，
当时，的面积取最大值1，此时
∴直线方程为.