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2022-2023学年重庆市乌江新高考协作体高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年重庆市乌江新高考协作体高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市乌江新高考协作体高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 912−(−10)0+(log214)⋅(log 22)的值等于( )
A. −2 B. 0 C. 8 D. 10
2. 已知集合P={x|−1
A. 67 B. 66 C. 65 D. 64
4. 若复数z满足(z−1)(i−1)=i，则z2=( )
A. −4+3i2 B. 4−3i2 C. −3+4i2 D. 3−4i2
5. “x∈(1,+∞)”是“x属于函数f(x)=ln(x2−2x−8)单调递增区间”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知向量a=(x−3,2)，b=(1,1)，则“x>1”是“a与b夹角为锐角”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知定义在R上的函数y=f(x).对任意区间[a,b]和c∈[a,b]，若存在开区间I，使得c∈I∩[a,b]，且对任意x∈I∩[a,b](x≠c)都成立f(x)
②若对任意a
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
8. 已知函数f(x)=3x−2+2,x≤2|log3(x−2)|,x>2，则函数F(x)=f[f(x)]−2f(x)−199的零点个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图：下列说法正确的是( )
A. 产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍
B. 产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍
C. 产品升级后，产品C的营收减少
D. 产品升级后，产品B、D营收的总和占总营收的比例不变
10. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象经过点D(0,12)，则( )
A. ω=2
B. 点(π3,0)为函数y=f(x)图象的对称中心
C. 直线x=π6为函数y=f(x)图象的对称轴
D. 函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z
11. 已知函数f(x)=|ex−a|，a>0.下列说法正确的为( )
A. 若a=1，则函数y=f(x)与y=1的图象有两个公共点
B. 若函数y=f(x)与y=a2的图象有两个公共点，则0
D. 若y=f(x)在x=x1和x=x2处的切线相互垂直，则x1+x2=0
12. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{an}满足a1=0，an+1=an+n+1,n为奇数an+n,n为偶数，则( )
A. a4=6
B. an+2=an+2(n+1)
C. an=n2−12,n为奇数n22,n为偶数
D. 数列{(−1)nan}的前2n项和为n(n+1)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学用餐平均用时为______分钟．
14. 已知向量a，b满足3|a|=2|b|=3，若|a+2b|= 14，则a，b夹角的余弦值为______．
15. 如图所示，制作某回旋飞梭的飞行翅膀时，需从一个直角三角形的塑料板上裁去一个以其斜边为一边且对角为150°的三角形(图中的阴影部分)再加工而成为游戏者安全考虑，具体制作尺寸为∠ABC=90°，∠BPC=120°，AC=2BC=2 3，则tan(∠PAB+60°)= ______ ．
16. 已知圆O：x2+y2=4，A，B是圆上两点，点P(1,2)且PA⊥PB，则|AB|最大值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：(0.25)−0.5+(127)−13−3π0．
18. (本小题12.0分)
如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面ABCD是边长为2的菱形，AA1=2，∠ADC=2π3，点E在平面A1C1D上，且BE⊥平面A1C1D.
(1)求BE的长；
(2)若F为A1A的中点，求BE与平面FC1B所成角的正弦值．
19. (本小题12.0分)
已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2CD=4，AD=BC= 2，△PAB是斜边为AP的等腰直角三角形．
(Ⅰ)若PC=3 2时，求证：平面PBC⊥平面ABCD；
(Ⅱ)若PC= 22时，求直线PD与平面ABCD所成的角的正弦值．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c⋅cosA+ 3csinA−a−b=0．
(1)求角C；
(2)若c=4，△ABC的面积为4 3，求a，b．
21. (本小题12.0分)
设函数f(x)=axlnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)证明：f(x)>xex−2e．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=aex−ln(x+2)+lna−2．
(1)若函数f(x)在x=2023处取得极值，求a的值及函数的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：912−(−10)0+(log214)⋅(log 22)
=3−1+(−2)×2
=−2．
故选：A．
利用指数与对数的运算法则即可得出．
本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵集合P={x|−1
利用并集定义、不等式性质直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由表中数据可得，x−=16×(4+5+6+7+8+9)=6.5，y−=16×(90+84+83+80+75+68)=80，
线性回归方程为y=−4x+b，则80=−4×6.5+b，解得b=106，
故y=−4x+106，当x=10时，y=−4×10+106=66．
故选：B．
先求出样本中心点，线性回归方程y=−4x+b恒过(x−,y−)，代入即可求出b，再令x=10，代入求解即可．
本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵(z−1)(i−1)=i，∴z=ii−1+1=2i−1i−1，
∴z2=−3−4i−2i=4−3i2，
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由x2−2x−8>0，得x<−2或x>4．
函数t=x2−2x−8的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=1．
则函数t=x2−2x−8的单调增区间为(4,+∞)，
而外层函数y=lnt是定义域内的增函数，
∴函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是(4,+∞)．
由x∈(1,+∞)，不能得到x∈(4,+∞)；反之，由x∈(4,+∞)，能够得到x∈(1,+∞)，
∴“x∈(1,+∞)”是“x属于函数f(x)=ln(x2−2x−8)单调递增区间”的必要不充分条件．
故选：B．
求出函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间，再由充分必要条件的判定得答案．
本题考查复合函数的单调性，考查充分必要条件的判定，是中档题．
6.【答案】A
【解析】解：a⋅b=x−3+2=x−1，若a与b同向共线，
则b=λa，λ>0，
则x−3=λ2=λ，得x=5，
当x=5时，满足x>1，但此时两个向量关系，夹角为0°，则a与b夹角为锐角不成立，
若a与b夹角为锐角，则a⋅b=x−1>0，则x>1，成立，
即“x>1”是“a与b夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：A．
根据向量夹角与向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与数量积的关系是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：对于①，设f(x)=1，满足f(x0)是f(x)在区间[a,b]上的最大值，但x0不是f(x)在区间[a,b]上的一个M点，①错误；
对于②，设f(x)=2x,x∈Q0,x∉Q，对于区间[a,b]，令b为有理数，满足对任意x∈[a,b](x≠b)都成立f(x)
故选：D．
举出反例，得到①②错误．
本题考查了函数新定义的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设f(x)=t，则F(x)=f[f(x)]−2f(x)−199=f(t)−2t−199，
令F(x)=0，即f(t)−2t−199=0，
转化为y=f(t)与y=2t+199的交点，画出图像如图所示：
由图像可知，t1=0，t2∈(2,3)，所以函数f(x)=t1=0有一个解，
f(x)=t2∈(2,3)有两个解，
故F(x)=f[f(x)]−2f(x)−199的零点个数是4个．
故选：C．
通过换元，f(x)=t，则可以转化为y=f(t)与y=2t+199的交点的个数，画出图像既可以解决．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：设产品升级前的营收为a，升级后的营收为2a．
对于产品A，产品升级前的营收为0.1a，升级后的营收为2a×0.2=0.4a，故升级后的产品A的营收是升级前的4倍，A正确．
同理可得B正确，C错误．
产品升级后，产品B，D营收的总和占总营收的比例不变，D正确．
故选：ABD．
设产品升级前的营收为a，升级后的营收为2a，根据饼图，得到升级后的产品A的营收是升级前的4倍，逐项判断即可．
本题考查统计，考查数据分析的核心素养，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，
所以ω=2，故A正确；
f(x)=sin(ωx+φ)=sin(2x+φ)，
图象经过点D(0,12)，
则f(0)=sinφ=12，
故φ=π6+2kπ,k∈Z，
又因为|φ|<π2，
所以φ=π6，
所以f(x)=sin(2x+π6)．
因为f(π3)=sin5π6=12，故B错误；
因为f(π6)=sinπ2=1，
所以直线x=π6为函数y=f(x)图象的对称轴，故C正确；
由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z．
故函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z，故D正确．
故选：ACD．
先求出f(x)的解析式，然后逐项分析验证即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当a=1时，f(x)=|ex−1|=1，则ex=0或ex=2，则x=ln2，故仅有1公共点，则A错误；
对于B，f(x)=|ex−a|=a2，则ex−a=a2或ex−a=−a2，
故a2+a>0a−a2>0a2+a≠a−a2，解得0
又因为a>1时，0
对于D，当ex1−a和a−ex2同时为正或为负时，不成立，
不妨设f(x1)=a−ex1，则f′(x1)=−ex1，f(x2)=ex2−a，则f′(x2)=ex2，
则f′(x1)f′(x2)=−ex1+x2=−1，则x1+x2=0，则D正确．
故选：BCD．
对于A，将a=1代入计算|ex−1|=1即可；对于B，由ex−a=a2或ex−a=−a2，再结合题意可得关于a的不等式组，解出即可；对于C，令f(f(x))=0，可得f(x)=lna，进一步分析可判断选项C；对于D，根据f′(x1)f′(x2)=−ex1+x2=−1即可判断．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A，a2=a1+1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+3+1=8，A错误；
对于B，当n为奇数时，n+1为偶数，则an+2=an+1+n+1，an+1=an+n+1，可得an+2=an+2(n+1)；
当n为偶数时，n+1为奇数，则an+2=an+1+n+1+1，an+1=an+n，可得an+2=an+2(n+1)，B正确；
对于C，当n为奇数且n≥2时a2=a1+1+1，a3=a2+2，a4=a3+3+1，⋯，an−1=an−2+n−2+1，an=an−1+n−1，
累加可得an=a1+1+1+2+3+1+⋯+n−2+1+n−1
=(1+1+3+1+⋯+n−2+1)+(2+4+⋯+n−1)=2+n−12⋅n−12+2+n−12⋅n−12=n2−12，n=1时也符合；
当n为偶数且n≥2时a2=a1+1+1，a3=a2+2，a4=a3+3+1，⋯，an−1=an−2+n−2，an=an−1+n−1+1，
累加可得an=a1+1+1+2+3+1+⋯+n−2+n−1+1=(1+1+3+1+⋯+n−1+1)+(2+4+⋯+n−2)=2+n−1+12⋅n2+2+n−22⋅n−22=n22；则an=n2−12,n为奇数n22,n为偶数，C正确；
对于D，设数列{(−1)nan}的前2n项和为S2n，则S2n=−a1+a2−a3+a4−⋯−a2n−1+a2n，
又a2n−a2n−1=(2n)22−(2n−1)2−12=2n，S2n=2+4+⋯+2n=2+2n2⋅n=n(n+1)，D正确．
故选：BCD．
直接由递推公式求出a4即可判断A选项；分n为奇数或偶数即可判断B选项；分n为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项．
本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分n为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前2n项和，使问题得以解决．
13.【答案】7.5
【解析】解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟；
所以：平均用时：7×6+14×7+15×8+4×107+14+15+4=7.5，
故答案为：7.5．
直接利用平均数的计算公式求解即可．
本题主要考查平均数的求法，属于基础题目．
14.【答案】23
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，即可求解．
【解答】
解：设a，b的夹角为θ，
若3|a|=2|b|=3，则|a|=1，|b|=32，
∵|a+2b|= 14，∴a2+4a⋅b+4b2=14，
即1+6cosθ+9=14，解得cosθ=23．
故答案为：23．
15.【答案】5 3
【解析】解：由题意可得AB= AC2−BC2=3，
又∠APC=150°，∠BPC=120°，
所以∠APB=90°，
设∠PAB=θ，则AP=3cosθ，
因为∠PAB+∠ABP=90°，且∠ABP+∠PBC=90°，
所以∠PBC=∠PAB=θ，
又∠PBC+∠PCB=180°−∠BPC=60°，且∠ACP+∠PCB=60°，
所以∠ACP=∠PBC=θ，
在△ACP中，由正弦定理可得APsin∠ACP=ACsin∠APC，即3cosθsinθ=2 3sin150°，
解得tanθ= 34，
故tan(∠PAB+60°)=tanθ+tan60°1−tanθtan60∘= 34+ 31− 34× 3=5 3．
故答案为：5 3．
由题意利用勾股定理可求AB=3，设∠PAB=θ，可求∠ACP=∠PBC=θ，在△ACP中，由正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanθ= 34，进而利用两角和的正切公式即可求解．
本题考查三角形内角和定理、正弦定理、同角三角函数基本关系式以及两角和的正切公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】 5+ 3
【解析】解：如图示：
设R(x,y)是线段AB的中点，则OR⊥AB，
∴|PR|=12|AB|=|RB|，
在Rt△ORB中，|OB|=2，|OR|= x2+y2，
|RB|=|RP|= (x−1)2+(y−2)2，
由勾股定理得：22=x2+y2+(x−1)2+(y−2)2，
整理得(x−12)2+(y−1)2=34，
故R的轨迹是以C(12,1)为圆心，以r= 32为半径的圆，
故|OR|min=|OC|−r= 14+1− 32= 5− 32，
由圆的弦长公式可得：
|AB|max=2|BR|max=2 |OB|2−(|OR|min)2=2 4−( 5− 32)2= 8+2 15= 5+ 3，
故答案为： 5+ 3．
根据题意作出图象，结合圆的性质及直角三角形中线的性质，可得|OR|min，即可求出|AB|的最大值．
本题考查了圆的性质，考查圆的弦，弦心距，半径的关系，考查数形结合思想，是一道中档题．
17.【答案】解：原式=(0．52)−0.5+(3−3)−13−3
=0.5−1+3−3
=2+3−3
=2
【解析】根据指数幂的运算进行计算．
本题考查指数幂的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,0,0),A1( 3,−1,2),C(0,2,0),B( 3,1,0),C1(0,2,2)，
所以DA1=( 3,−1,2),DC1=(0,2,2)，
设平面A1C1D的法向量为m=(x,y,z)，
则有m⋅DA1=0m⋅DC1=0，即2y+2z=0 3x−y+2z=0，
令y=1，则z=−1，x= 3，
故m=( 3,1,−1)，
又BD=(− 3,−1,0)，
所以BE=|m⋅BD||m|=4 5=4 55；
(2)由(1)可知，平面A1C1D的法向量为m=( 3,1,−1)，
因为F为A1A的中点，所以F( 3,−1,1)，
设平面FC1B的法向量为n=(a,b,c)，
因为FB=(0,2,−1),BC1=(− 3,1,2)，
则有n⋅FB=0n⋅BC1=0，即2b−c=0− 3a+b+2c=0，
令b=1，则c=2,a=5 33，
故n=(5 33,1,2)，
所以|cos|=|m⋅n||m||n|=4 2003= 65，
故BE与平面FC1B所成角的正弦值为 65．
【解析】本题考查了点到面距离的求解以及线面角的求解，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出平面A1C1D的法向量，然后求解即可；
(2)求出平面FC1B的法向量，进行求解即可．
19.【答案】证明：(Ⅰ)因PC=3 2,BC= 2,PB=4，则有PB2+BC2=PC2，即有PB⊥BC，
又PB⊥AB，且AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABCD，
于是得PB⊥平面ABCD，而PB⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABCD；
解：(Ⅱ)在平面ABCD内，过B作直线垂直于AB，交直线CD于E，有CE=1，BE=1，如图，
则∠EBP为二面角C−AB−P的平面角，AB⊥平面EBP，AB⊥PE，于是得CE⊥PE，
Rt△PEC中，PC= 22,CE=1，则PE= 21，
在△PBE中，PE= 21,BE=1,PB=4，
由余弦定理得cos∠PBE=PB2+BE2−PE22PB⋅BE=−12，则有∠PBE=23π，
显然平面ABP⊥平面EBP，在平面EBP内过B作Bz⊥BP，则Bz⊥平面ABP，
以B为原点，分别以射线BA，BP，Bz为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0),A(4,0,0),C(1,−12, 32),D(3,−12, 32),P(0,4,0)，
BA=(4,0,0),BC=(1,−12, 32)，
设平面ABCD的法向量n=(x,y,z)，则n⋅BC=x−12y+ 32z=0n⋅BA=4x=0，令z=1，得n=(0, 3,1)，
而PD=(3,−92, 32)，设PD与平面ABCD所成的角为θ，
sinθ=|cos〈n,PD〉|=|n⋅PD||n||PD|=4 32× 30= 105，
所以PD与平面ABCD所成的角的正弦值为 105．
【解析】(Ⅰ)根据给定条件，证明PB⊥BC，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答．
(Ⅱ)作出二面角C−AB−P的平面角并求出其大小，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)c⋅cosA+ 3csinA−a−b=0，
则由正弦定理可得，sinCcosA+ 3sinCsinA−sinA−sinB=0，
则sinCcosA+ 3sinCsinA−sinA−sin(A+C)=0，sinCcosA+ 3sinCsinA−sinA−sinAcosC−cosAsinC=0，
所以 3sinCsinA−sinA−sinAcosC=0，
因为0
所以 3sinC−1−cosC=0，故2sin(C−π6)=1，
因为0
(2)S△ABC=12absinC= 34ab=4 3，
所以ab=16，
又由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，c=4，即a2+b2−ab=16，
所以a2+b2=32，所以(a−b)2=a2+b2−2ab=0，
所以a=b=4．
【解析】(1)结合三角恒等变换，根据正弦定理边化角求解即可；
(2)由面积公式得ab=16，再根据余弦定理得a2+b2=32，进而可求得a=b=4．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=alnx+a，则f′(1)=a，
又f(1)=0，则y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程y=a(x−1)，
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2)，
所以2=2a，可得a=1，则f′(x)=lnx+1，x>0，
易得，当01e时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1e)上单的递减，在(1e,+∞)上单调递增，
故当x=1e时，函数取得极小值f(1e)=−1e，无极大值．
(2)证明：f(x)>xex−2e等价于xlnx−xex+2e>0，
由(1)可得f(x)=xlnx≥−1e(当且仅当x=1e时等号成立)①，
所以xlnx−xex+2e≥1e−xex，
故只要证明1e−xex≥0即可，(需验证等号不同时成立)
设g(x)=1e−xex，x>0则g′(x)=x−1ex，
当01时，g′(x)>0，函数单调递增，
所以g(x)≥g(1)=0，当且仅当x=1时等号成立②，
因为①②等号不同时成立，
所以当x>0时，f(x)>xex−2e．
【解析】(1)由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a，从而可得导函数，结合导数与极值的关系即可求解；
(2)由于f(x)>xex−2e等价于xlnx−xex+2e>0，结合(1)可得f(x)=xlnx≥−1e，故只要证明1e−xex≥0即可(需验证等号不同时成立)，结合导数可证．
本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．
22.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(−2,+∞)，
f′(x)=aex−1x+2，
∵f(x)在x=2023处取得极值，∴f′(2023)=ae2023−12025=0，
即a=12025e2023．
∴f′(x)=ex2025e2023−1x+2，
∵f′(x)是单调递增函数，且f′(2023)=0，
∴当x∈(−2,2023)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2023,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故f(x)的单调递减区间为(−2,2023)，单调递增区间为(2023,+∞)．
(2)f(x)仅有两个零点，
即aex−ln(x+2)+lna−2=0有两个根，
整理得ex+lna+x+lna=ln(x+2)+x+2，
即ex+lna+x+lna=ln(x+2)+eln(x+2)，
设函数h(x)=ex+x，则上式为：h(x+lna)=h(ln(x+2))，
∵h′(x)=ex+1>0恒成立，∴h(x)单调递增，
∴x+lna=ln(x+2)，即lna=ln(x+2)−x，
令m(x)=ln(x+2)−x，x∈(−2,+∞)，
则m′(x)=1x+2−1=−x+1x+2，
当x∈(−2,−1)时，m′(x)>0；当x∈(−1,+∞)时，m′(x)<0．
∴m(x)在x=−1处取得极大值，也就是最大值，为m(−1)=1，
要想lna=ln(x+2)−x有两个根，只需要lna<1，
即0
【解析】(1)首先求出函数f(x)的定义域，求导并利用f′(2023)=0，即可求出a的值；观察出f′(x)是单调递增函数，进而得出函数f(x)的单调区间；(2)对f(x)进行同构变形，然后构造新函数求出a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
2022-2023学年重庆市乌江新高考协作体高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 912−(−10)0+(log214)⋅(log 22)的值等于( )
A. −2 B. 0 C. 8 D. 10
2. 已知集合P={x|−1
A. 67 B. 66 C. 65 D. 64
4. 若复数z满足(z−1)(i−1)=i，则z2=( )
A. −4+3i2 B. 4−3i2 C. −3+4i2 D. 3−4i2
5. “x∈(1,+∞)”是“x属于函数f(x)=ln(x2−2x−8)单调递增区间”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知向量a=(x−3,2)，b=(1,1)，则“x>1”是“a与b夹角为锐角”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知定义在R上的函数y=f(x).对任意区间[a,b]和c∈[a,b]，若存在开区间I，使得c∈I∩[a,b]，且对任意x∈I∩[a,b](x≠c)都成立f(x)
②若对任意a
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
8. 已知函数f(x)=3x−2+2,x≤2|log3(x−2)|,x>2，则函数F(x)=f[f(x)]−2f(x)−199的零点个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图：下列说法正确的是( )
A. 产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍
B. 产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍
C. 产品升级后，产品C的营收减少
D. 产品升级后，产品B、D营收的总和占总营收的比例不变
10. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象经过点D(0,12)，则( )
A. ω=2
B. 点(π3,0)为函数y=f(x)图象的对称中心
C. 直线x=π6为函数y=f(x)图象的对称轴
D. 函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z
11. 已知函数f(x)=|ex−a|，a>0.下列说法正确的为( )
A. 若a=1，则函数y=f(x)与y=1的图象有两个公共点
B. 若函数y=f(x)与y=a2的图象有两个公共点，则0
D. 若y=f(x)在x=x1和x=x2处的切线相互垂直，则x1+x2=0
12. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{an}满足a1=0，an+1=an+n+1,n为奇数an+n,n为偶数，则( )
A. a4=6
B. an+2=an+2(n+1)
C. an=n2−12,n为奇数n22,n为偶数
D. 数列{(−1)nan}的前2n项和为n(n+1)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学用餐平均用时为______分钟．
14. 已知向量a，b满足3|a|=2|b|=3，若|a+2b|= 14，则a，b夹角的余弦值为______．
15. 如图所示，制作某回旋飞梭的飞行翅膀时，需从一个直角三角形的塑料板上裁去一个以其斜边为一边且对角为150°的三角形(图中的阴影部分)再加工而成为游戏者安全考虑，具体制作尺寸为∠ABC=90°，∠BPC=120°，AC=2BC=2 3，则tan(∠PAB+60°)= ______ ．
16. 已知圆O：x2+y2=4，A，B是圆上两点，点P(1,2)且PA⊥PB，则|AB|最大值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：(0.25)−0.5+(127)−13−3π0．
18. (本小题12.0分)
如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面ABCD是边长为2的菱形，AA1=2，∠ADC=2π3，点E在平面A1C1D上，且BE⊥平面A1C1D.
(1)求BE的长；
(2)若F为A1A的中点，求BE与平面FC1B所成角的正弦值．
19. (本小题12.0分)
已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2CD=4，AD=BC= 2，△PAB是斜边为AP的等腰直角三角形．
(Ⅰ)若PC=3 2时，求证：平面PBC⊥平面ABCD；
(Ⅱ)若PC= 22时，求直线PD与平面ABCD所成的角的正弦值．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c⋅cosA+ 3csinA−a−b=0．
(1)求角C；
(2)若c=4，△ABC的面积为4 3，求a，b．
21. (本小题12.0分)
设函数f(x)=axlnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)证明：f(x)>xex−2e．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=aex−ln(x+2)+lna−2．
(1)若函数f(x)在x=2023处取得极值，求a的值及函数的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：912−(−10)0+(log214)⋅(log 22)
=3−1+(−2)×2
=−2．
故选：A．
利用指数与对数的运算法则即可得出．
本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵集合P={x|−1
利用并集定义、不等式性质直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由表中数据可得，x−=16×(4+5+6+7+8+9)=6.5，y−=16×(90+84+83+80+75+68)=80，
线性回归方程为y=−4x+b，则80=−4×6.5+b，解得b=106，
故y=−4x+106，当x=10时，y=−4×10+106=66．
故选：B．
先求出样本中心点，线性回归方程y=−4x+b恒过(x−,y−)，代入即可求出b，再令x=10，代入求解即可．
本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵(z−1)(i−1)=i，∴z=ii−1+1=2i−1i−1，
∴z2=−3−4i−2i=4−3i2，
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由x2−2x−8>0，得x<−2或x>4．
函数t=x2−2x−8的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=1．
则函数t=x2−2x−8的单调增区间为(4,+∞)，
而外层函数y=lnt是定义域内的增函数，
∴函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是(4,+∞)．
由x∈(1,+∞)，不能得到x∈(4,+∞)；反之，由x∈(4,+∞)，能够得到x∈(1,+∞)，
∴“x∈(1,+∞)”是“x属于函数f(x)=ln(x2−2x−8)单调递增区间”的必要不充分条件．
故选：B．
求出函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间，再由充分必要条件的判定得答案．
本题考查复合函数的单调性，考查充分必要条件的判定，是中档题．
6.【答案】A
【解析】解：a⋅b=x−3+2=x−1，若a与b同向共线，
则b=λa，λ>0，
则x−3=λ2=λ，得x=5，
当x=5时，满足x>1，但此时两个向量关系，夹角为0°，则a与b夹角为锐角不成立，
若a与b夹角为锐角，则a⋅b=x−1>0，则x>1，成立，
即“x>1”是“a与b夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：A．
根据向量夹角与向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与数量积的关系是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：对于①，设f(x)=1，满足f(x0)是f(x)在区间[a,b]上的最大值，但x0不是f(x)在区间[a,b]上的一个M点，①错误；
对于②，设f(x)=2x,x∈Q0,x∉Q，对于区间[a,b]，令b为有理数，满足对任意x∈[a,b](x≠b)都成立f(x)
故选：D．
举出反例，得到①②错误．
本题考查了函数新定义的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设f(x)=t，则F(x)=f[f(x)]−2f(x)−199=f(t)−2t−199，
令F(x)=0，即f(t)−2t−199=0，
转化为y=f(t)与y=2t+199的交点，画出图像如图所示：
由图像可知，t1=0，t2∈(2,3)，所以函数f(x)=t1=0有一个解，
f(x)=t2∈(2,3)有两个解，
故F(x)=f[f(x)]−2f(x)−199的零点个数是4个．
故选：C．
通过换元，f(x)=t，则可以转化为y=f(t)与y=2t+199的交点的个数，画出图像既可以解决．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：设产品升级前的营收为a，升级后的营收为2a．
对于产品A，产品升级前的营收为0.1a，升级后的营收为2a×0.2=0.4a，故升级后的产品A的营收是升级前的4倍，A正确．
同理可得B正确，C错误．
产品升级后，产品B，D营收的总和占总营收的比例不变，D正确．
故选：ABD．
设产品升级前的营收为a，升级后的营收为2a，根据饼图，得到升级后的产品A的营收是升级前的4倍，逐项判断即可．
本题考查统计，考查数据分析的核心素养，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，
所以ω=2，故A正确；
f(x)=sin(ωx+φ)=sin(2x+φ)，
图象经过点D(0,12)，
则f(0)=sinφ=12，
故φ=π6+2kπ,k∈Z，
又因为|φ|<π2，
所以φ=π6，
所以f(x)=sin(2x+π6)．
因为f(π3)=sin5π6=12，故B错误；
因为f(π6)=sinπ2=1，
所以直线x=π6为函数y=f(x)图象的对称轴，故C正确；
由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z．
故函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z，故D正确．
故选：ACD．
先求出f(x)的解析式，然后逐项分析验证即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当a=1时，f(x)=|ex−1|=1，则ex=0或ex=2，则x=ln2，故仅有1公共点，则A错误；
对于B，f(x)=|ex−a|=a2，则ex−a=a2或ex−a=−a2，
故a2+a>0a−a2>0a2+a≠a−a2，解得0
又因为a>1时，0
对于D，当ex1−a和a−ex2同时为正或为负时，不成立，
不妨设f(x1)=a−ex1，则f′(x1)=−ex1，f(x2)=ex2−a，则f′(x2)=ex2，
则f′(x1)f′(x2)=−ex1+x2=−1，则x1+x2=0，则D正确．
故选：BCD．
对于A，将a=1代入计算|ex−1|=1即可；对于B，由ex−a=a2或ex−a=−a2，再结合题意可得关于a的不等式组，解出即可；对于C，令f(f(x))=0，可得f(x)=lna，进一步分析可判断选项C；对于D，根据f′(x1)f′(x2)=−ex1+x2=−1即可判断．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A，a2=a1+1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+3+1=8，A错误；
对于B，当n为奇数时，n+1为偶数，则an+2=an+1+n+1，an+1=an+n+1，可得an+2=an+2(n+1)；
当n为偶数时，n+1为奇数，则an+2=an+1+n+1+1，an+1=an+n，可得an+2=an+2(n+1)，B正确；
对于C，当n为奇数且n≥2时a2=a1+1+1，a3=a2+2，a4=a3+3+1，⋯，an−1=an−2+n−2+1，an=an−1+n−1，
累加可得an=a1+1+1+2+3+1+⋯+n−2+1+n−1
=(1+1+3+1+⋯+n−2+1)+(2+4+⋯+n−1)=2+n−12⋅n−12+2+n−12⋅n−12=n2−12，n=1时也符合；
当n为偶数且n≥2时a2=a1+1+1，a3=a2+2，a4=a3+3+1，⋯，an−1=an−2+n−2，an=an−1+n−1+1，
累加可得an=a1+1+1+2+3+1+⋯+n−2+n−1+1=(1+1+3+1+⋯+n−1+1)+(2+4+⋯+n−2)=2+n−1+12⋅n2+2+n−22⋅n−22=n22；则an=n2−12,n为奇数n22,n为偶数，C正确；
对于D，设数列{(−1)nan}的前2n项和为S2n，则S2n=−a1+a2−a3+a4−⋯−a2n−1+a2n，
又a2n−a2n−1=(2n)22−(2n−1)2−12=2n，S2n=2+4+⋯+2n=2+2n2⋅n=n(n+1)，D正确．
故选：BCD．
直接由递推公式求出a4即可判断A选项；分n为奇数或偶数即可判断B选项；分n为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项．
本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分n为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前2n项和，使问题得以解决．
13.【答案】7.5
【解析】解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟；
所以：平均用时：7×6+14×7+15×8+4×107+14+15+4=7.5，
故答案为：7.5．
直接利用平均数的计算公式求解即可．
本题主要考查平均数的求法，属于基础题目．
14.【答案】23
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，即可求解．
【解答】
解：设a，b的夹角为θ，
若3|a|=2|b|=3，则|a|=1，|b|=32，
∵|a+2b|= 14，∴a2+4a⋅b+4b2=14，
即1+6cosθ+9=14，解得cosθ=23．
故答案为：23．
15.【答案】5 3
【解析】解：由题意可得AB= AC2−BC2=3，
又∠APC=150°，∠BPC=120°，
所以∠APB=90°，
设∠PAB=θ，则AP=3cosθ，
因为∠PAB+∠ABP=90°，且∠ABP+∠PBC=90°，
所以∠PBC=∠PAB=θ，
又∠PBC+∠PCB=180°−∠BPC=60°，且∠ACP+∠PCB=60°，
所以∠ACP=∠PBC=θ，
在△ACP中，由正弦定理可得APsin∠ACP=ACsin∠APC，即3cosθsinθ=2 3sin150°，
解得tanθ= 34，
故tan(∠PAB+60°)=tanθ+tan60°1−tanθtan60∘= 34+ 31− 34× 3=5 3．
故答案为：5 3．
由题意利用勾股定理可求AB=3，设∠PAB=θ，可求∠ACP=∠PBC=θ，在△ACP中，由正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanθ= 34，进而利用两角和的正切公式即可求解．
本题考查三角形内角和定理、正弦定理、同角三角函数基本关系式以及两角和的正切公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】 5+ 3
【解析】解：如图示：
设R(x,y)是线段AB的中点，则OR⊥AB，
∴|PR|=12|AB|=|RB|，
在Rt△ORB中，|OB|=2，|OR|= x2+y2，
|RB|=|RP|= (x−1)2+(y−2)2，
由勾股定理得：22=x2+y2+(x−1)2+(y−2)2，
整理得(x−12)2+(y−1)2=34，
故R的轨迹是以C(12,1)为圆心，以r= 32为半径的圆，
故|OR|min=|OC|−r= 14+1− 32= 5− 32，
由圆的弦长公式可得：
|AB|max=2|BR|max=2 |OB|2−(|OR|min)2=2 4−( 5− 32)2= 8+2 15= 5+ 3，
故答案为： 5+ 3．
根据题意作出图象，结合圆的性质及直角三角形中线的性质，可得|OR|min，即可求出|AB|的最大值．
本题考查了圆的性质，考查圆的弦，弦心距，半径的关系，考查数形结合思想，是一道中档题．
17.【答案】解：原式=(0．52)−0.5+(3−3)−13−3
=0.5−1+3−3
=2+3−3
=2
【解析】根据指数幂的运算进行计算．
本题考查指数幂的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,0,0),A1( 3,−1,2),C(0,2,0),B( 3,1,0),C1(0,2,2)，
所以DA1=( 3,−1,2),DC1=(0,2,2)，
设平面A1C1D的法向量为m=(x,y,z)，
则有m⋅DA1=0m⋅DC1=0，即2y+2z=0 3x−y+2z=0，
令y=1，则z=−1，x= 3，
故m=( 3,1,−1)，
又BD=(− 3,−1,0)，
所以BE=|m⋅BD||m|=4 5=4 55；
(2)由(1)可知，平面A1C1D的法向量为m=( 3,1,−1)，
因为F为A1A的中点，所以F( 3,−1,1)，
设平面FC1B的法向量为n=(a,b,c)，
因为FB=(0,2,−1),BC1=(− 3,1,2)，
则有n⋅FB=0n⋅BC1=0，即2b−c=0− 3a+b+2c=0，
令b=1，则c=2,a=5 33，
故n=(5 33,1,2)，
所以|cos
故BE与平面FC1B所成角的正弦值为 65．
【解析】本题考查了点到面距离的求解以及线面角的求解，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出平面A1C1D的法向量，然后求解即可；
(2)求出平面FC1B的法向量，进行求解即可．
19.【答案】证明：(Ⅰ)因PC=3 2,BC= 2,PB=4，则有PB2+BC2=PC2，即有PB⊥BC，
又PB⊥AB，且AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABCD，
于是得PB⊥平面ABCD，而PB⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABCD；
解：(Ⅱ)在平面ABCD内，过B作直线垂直于AB，交直线CD于E，有CE=1，BE=1，如图，
则∠EBP为二面角C−AB−P的平面角，AB⊥平面EBP，AB⊥PE，于是得CE⊥PE，
Rt△PEC中，PC= 22,CE=1，则PE= 21，
在△PBE中，PE= 21,BE=1,PB=4，
由余弦定理得cos∠PBE=PB2+BE2−PE22PB⋅BE=−12，则有∠PBE=23π，
显然平面ABP⊥平面EBP，在平面EBP内过B作Bz⊥BP，则Bz⊥平面ABP，
以B为原点，分别以射线BA，BP，Bz为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0),A(4,0,0),C(1,−12, 32),D(3,−12, 32),P(0,4,0)，
BA=(4,0,0),BC=(1,−12, 32)，
设平面ABCD的法向量n=(x,y,z)，则n⋅BC=x−12y+ 32z=0n⋅BA=4x=0，令z=1，得n=(0, 3,1)，
而PD=(3,−92, 32)，设PD与平面ABCD所成的角为θ，
sinθ=|cos〈n,PD〉|=|n⋅PD||n||PD|=4 32× 30= 105，
所以PD与平面ABCD所成的角的正弦值为 105．
【解析】(Ⅰ)根据给定条件，证明PB⊥BC，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答．
(Ⅱ)作出二面角C−AB−P的平面角并求出其大小，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)c⋅cosA+ 3csinA−a−b=0，
则由正弦定理可得，sinCcosA+ 3sinCsinA−sinA−sinB=0，
则sinCcosA+ 3sinCsinA−sinA−sin(A+C)=0，sinCcosA+ 3sinCsinA−sinA−sinAcosC−cosAsinC=0，
所以 3sinCsinA−sinA−sinAcosC=0，
因为0
所以 3sinC−1−cosC=0，故2sin(C−π6)=1，
因为0
(2)S△ABC=12absinC= 34ab=4 3，
所以ab=16，
又由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，c=4，即a2+b2−ab=16，
所以a2+b2=32，所以(a−b)2=a2+b2−2ab=0，
所以a=b=4．
【解析】(1)结合三角恒等变换，根据正弦定理边化角求解即可；
(2)由面积公式得ab=16，再根据余弦定理得a2+b2=32，进而可求得a=b=4．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=alnx+a，则f′(1)=a，
又f(1)=0，则y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程y=a(x−1)，
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2)，
所以2=2a，可得a=1，则f′(x)=lnx+1，x>0，
易得，当0
所以f(x)在(0,1e)上单的递减，在(1e,+∞)上单调递增，
故当x=1e时，函数取得极小值f(1e)=−1e，无极大值．
(2)证明：f(x)>xex−2e等价于xlnx−xex+2e>0，
由(1)可得f(x)=xlnx≥−1e(当且仅当x=1e时等号成立)①，
所以xlnx−xex+2e≥1e−xex，
故只要证明1e−xex≥0即可，(需验证等号不同时成立)
设g(x)=1e−xex，x>0则g′(x)=x−1ex，
当0
所以g(x)≥g(1)=0，当且仅当x=1时等号成立②，
因为①②等号不同时成立，
所以当x>0时，f(x)>xex−2e．
【解析】(1)由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a，从而可得导函数，结合导数与极值的关系即可求解；
(2)由于f(x)>xex−2e等价于xlnx−xex+2e>0，结合(1)可得f(x)=xlnx≥−1e，故只要证明1e−xex≥0即可(需验证等号不同时成立)，结合导数可证．
本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．
22.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(−2,+∞)，
f′(x)=aex−1x+2，
∵f(x)在x=2023处取得极值，∴f′(2023)=ae2023−12025=0，
即a=12025e2023．
∴f′(x)=ex2025e2023−1x+2，
∵f′(x)是单调递增函数，且f′(2023)=0，
∴当x∈(−2,2023)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2023,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故f(x)的单调递减区间为(−2,2023)，单调递增区间为(2023,+∞)．
(2)f(x)仅有两个零点，
即aex−ln(x+2)+lna−2=0有两个根，
整理得ex+lna+x+lna=ln(x+2)+x+2，
即ex+lna+x+lna=ln(x+2)+eln(x+2)，
设函数h(x)=ex+x，则上式为：h(x+lna)=h(ln(x+2))，
∵h′(x)=ex+1>0恒成立，∴h(x)单调递增，
∴x+lna=ln(x+2)，即lna=ln(x+2)−x，
令m(x)=ln(x+2)−x，x∈(−2,+∞)，
则m′(x)=1x+2−1=−x+1x+2，
当x∈(−2,−1)时，m′(x)>0；当x∈(−1,+∞)时，m′(x)<0．
∴m(x)在x=−1处取得极大值，也就是最大值，为m(−1)=1，
要想lna=ln(x+2)−x有两个根，只需要lna<1，
即0
【解析】(1)首先求出函数f(x)的定义域，求导并利用f′(2023)=0，即可求出a的值；观察出f′(x)是单调递增函数，进而得出函数f(x)的单调区间；(2)对f(x)进行同构变形，然后构造新函数求出a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
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