2023-2024学年重庆市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年重庆市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|x2−3x−4<0}，N={x|y=ln(x−1)}，则M∩N=( )
A. (1,4)B. [1,4)C. (−1,4)D. [−1,4)
2.已知α∈R，则“csα=−12”是“α=2π3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知扇形的面积为4cm2，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为( )
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
4.设a=lg0.332,b=lg0.232,c=2−32，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )
A. f(x)=2sin(x+π6)
B. f(x)=2sin(x+π3)
C. f(x)=2sin(2x+π6)
D. f(x)=2sin(2x+π3)
6.锐角△ABC中，若sinAcsA=cs2A−12，则A=( )
A. π12B. π8C. π6D. π4
7.定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x+1)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(3)+f(8)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
8.已知函数f(x)=x+4x(x>0)，记该函数在区间[t−1,t](t>1)上的最大值与最小值的差值为g(t)，则g(t)的最小值为( )
A. 17−2B. 1C. 13D. 17−4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数中，在定义域内既为奇函数又为增函数的是( )
A. y=x3B. y=ex−e−xC. y=ln(x2−1)D. y=|sinx|
10.已知函数f(x)=lg(x2−5x+4)，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的定义域是RB. 函数f(x)的值域是R
C. 函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞)D. 不等式f(x)<1的解集是(−1,6)
11.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的初相为π3
B. 若ω=32，则函数f(x)的图象关于x=π2对称
C. 若函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称，则ω可以为3
D. 若函数f(x)在[0,π3]上有且仅有4个零点，则ω的范围是[11,14)
12.已知函数f(x)=|lnx|,x>02|x+1|,x≤0，若存在四个不同的值x1，x2，x3，x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1A. −2≤x1<−1B. 0≤x1x2<1C. x3x4=eD. x3+x4>e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数y=xa是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，则实数a的值可以是______.
−13+lg5+lg2=______.
15.已知α，β满足−π3<α<0,−2π3<β<π3,sin(α−π6)=−35,cs(β+2π3)=1213，则sin(α+β)=______.
16.已知函数f(x)=1−2ex+1−lg2( 1+x2−x),x∈R.点P(x0,y0)(x0>0)是单位圆上的动点，若不等式f(m−2x0y0−1)+f(x0+y0+m+1)<0恒成立，则实数m的范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|(x−3)(x+2)<0}，集合B={x|2a−3(1)当a=2时，求A∩B；
(2)若A∪B=A，求a的取值范围.
18.(本小题12分)
已知f(x)=csxsin(π+x)tan(π−x)sin(3π2+x)cs(π2−x).
(1)化简函数f(x)；
(2)若f(α)=2，求csα−sinαcsα−2sinα的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在[−π3,π4]上单调递增.
(1)求ω的取值范围；
(2)当ω取最大值时，将f(x)的图象向左平移π9个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到g(x)的图象，求g(x)在[−π3,π2]内的值域.
20.(本小题12分)
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)−2023，且对任意x>1，f(x)<2023.
(1)证明：f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(2)解不等式f(x)+f(x−2)>4046.
21.(本小题12分)
如图，半径为1的扇形圆心角为60∘，点P在弧上运动，连结PA，PB，得四边形OAPB.
(1)求四边形OAPB面积的最大值；
(2)求四边形OAPB周长的最大值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=|lga(x−2)−3|，(a>0,a≠1).
(1)证明函数f(x)的图象过定点；
(2)设m∈R，且m>4，讨论函数f(x)在[4,m]上的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：M={x|x2−3x−4<0}={x|−11}，
故M∩N=(1,4).
故选：A.
先求出集合M，N，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：当csα=−12时，α=2π3+2kπ或4π3+2kπ,k∈Z，
当α=2π3时，csα=−12，
所以“csα=−12”是“α=2π3”的必要不充分条件．
故选：B.
根据特殊角的三角函数值，结合充分条件和必要条件的定义，即可得解．
本题考查充分必要条件的判断，特殊角的余弦函数值，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，
因为扇形的圆心角为α=2，
所以面积为S=12αr2=12×2×r2=4，解得r=2，
所以扇形的弧长为l=rα=2×2=4cm.
故选：A.
根据扇形的弧长和面积公式，计算即可．
本题考查了扇形面积和弧长公式的应用问题，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：a=lg0.332=lg32lg0.3<0，b=lg0.232=lg32lg0.2<0，c=2−32>0，
lg0.3>lg0.2，
故a综上所述，c>b>a.
故选：D.
根据已知条件，结合对数的换底公式，以及函数的单调性，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由图可知A=2，且T2=π3−(−π6)=π2，
所以T=π，
因为2πω=π，
所以ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+φ)，
又因为f(−π6)=0，
所以2sin(−π3+φ)=0，即−π3+φ=2kπ，k∈Z，
因为0<φ<π，
所以φ=π3，
所以f(x)=2sin(2x+π3).
故选：D.
根据函数的最值求出A，根据函数的周期求出ω，根据特殊点求出φ的值，即可得解．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：因为锐角△ABC中，若sinAcsA=cs2A−12，
则12sin2A=12cs2A，即sin2A=cs2A，
所以tan2A=1，
因为A为锐角，
故A=π8.
故选：B.
由已知结合二倍角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵f(x+1)为偶函数，
∴f(−x+1)=f(x+1)，即f(x)=f(2−x)，①
∴f(x)的图象关于直线x=1对称，
又f(x)为奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，②
由①②得f(2+x)=f(−x)=−f(x)⇒f(4+x)=f(x)，
∴f(x)是周期为4的函数，
又x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，f(0)=0，
∴f(3)+f(8)=f(−1)+f(0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1.
故选：A.
依题意，可求得定义在R上的奇函数f(x)为周期是4的函数，从而结合x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，可求得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：f(x)=x+4x(x>0)，
由对勾函数的性质可知，f(x)在(0,2]上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=4，
又因为t>1，所以t−1>0，
所以当t≤2时，函数f(x)在[t−1,t]上单调递减，
所以g(t)=f(x)max−f(x)min=t−1+4t−1−(t+4t)=4t−1−4t−1；
当t−1≤2f(x)min=4，
f(t−1)=t−1+4t−1，f(t)=t+4t，
由t+4t−(t−1+4t−1)=4t−4t−1+1≥0，解得1+ 172≤t≤3，
所以当2当1+ 172≤t≤3时，g(t)=f(x)max−f(x)min=t+4t−4；
当t−1>2，即t>3时，函数f(x)在[t−1,t]上单调递增，
所以g(t)=f(x)max−f(x)min=t+4t−(t−1+4t−1)=4t−4t−1+1；
所以g(t)=4t−1−4t−1,13，
作出g(t)的图象，如图所示：
由此可得当g(t)min=g(1+ 172)=1+ 172+41+ 172−4=1+ 172+4×2 17+1−4=1+ 172+ 17−12−4= 17−4.
故选：D.
由对勾函数的性质可得f(x)在(0,2]上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，且f(x)min=f(2)=4，分t≤2、23，求出g(t)的解析式，再作出图象，结合图象求解即可．
本题考查了对数函数的性质、分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：由基本初等函数的性质可知，
y=f(x)=x3的定义域为R，满足f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数且为增函数，A正确；
y=ex−e−x的定义域为R，满足f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数且为增函数，B正确；
y=ln(x2−1)为偶函数，C错误；
y=|sinx|为偶函数，D错误．
故选：AB.
利用基本初等函数的性质逐项判断即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于函数f(x)=lg(x2−5x+4)，由x2−5x+4>0，可得x>4或x<1，
可得函数的定义域为(−∞,1)∪(4,+∞)，故A错误．
由于真数x2−5x+4能取遍所有的正实数，故函数f(x)的值域是R，故B正确．
根据函数的定义域为(−∞,1)∪(4,+∞)，
t=x2−5x+4在(4,+∞)上，满足t大于零且t单调递增，
而t=x2−5x+4在(−∞,1)上，满足t大于零且t单调递减，
故函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞)，减区间是(−∞,1)，故C正确．
不等式f(x)<1，即lg(x2−5x+4)即x2−5x+4>0x2−5x+4<10，求得{x<1或x>4−1故不等式的解集为(−1,1)∪(4,6)，故D错误．
故选：BC.
由题意，根据复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，它的初相为π3，故A正确．
若ω=32，则当x=π2时，函数f(x)=sin7π12，不是最值，可得它的图象不关于x=π2对称，故B错误．
若函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称，则sin(ωπ6+π3)=0，故ωπ6+π3=kπ，k∈Z，故ω不可以为3，故C错误．
若函数f(x)在[0,π3]上有且仅有4个零点，ωx+π3∈[π3,ω+13π]，
故有4π≤ω+13π<5π，求得11≤ω<14，
即ω的范围是[11,14),故D正确．
故选：AD.
由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：画出函数f(x)=|lnx|,x>02|x+1|,x≤0的大致图象，如图所示：
设存在四个不同的值x1，x2，x3，x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=k，其中x1直线y=k与函数y=f(x)的图象相交于四个不同的点，所以k∈(1,2],
由图象知，−2≤x1<−1，选项A正确；
因为函数y=|x+1|的图象关于直线x=−1对称，所以x1+x2=−2，
所以x1x2=x1(−2−x1)=−2x1−x12=−(x1+1)2+1∈[0,1),选项B正确；
因为f(x3)=f(x4)，即−lnx3=lnx4，即lnx3+lnx4=ln(x3x4)=0，
所以x3x4=1，选项C错误；
设y=x3+x4=1x4+x4，因为1由对勾函数的性质知，y=x4+1x4在x4∈(e,e2]上单调递增，
所以x3+x4=x4+1x4>e+1e>e，选项D正确．
故选：ABD.
根据题意画出函数f(x)的大致图象，结合图象得出x1的取值范围，判断选项A是否正确；
利用y=|x+1|的图象关于直线x=−1对称，得出x1+x2=−2，计算x1x2的取值范围，判断选项B是否正确；
由f(x3)=f(x4)得出x3x4的值，判断选项C是否正确；
设y=x3+x4，根据lnx4的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出x3+x4的取值范围，判断选项D即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，也考查了数形结合思想与推理判断能力，是中档题．
13.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：由题意，幂函数y=xa是奇函数，则a为奇数，
又函数在(0,+∞)上单调递减，则a为负数，
则实数a的值可以是−1(答案不唯一).
故答案为：−1(答案不唯一).
根据幂函数的性质求解即可．
本题考查幂函数的应用，属于基础题．
14.【答案】11
【解析】解：原式=0.13×(−13)+lg10=0.1−1+1=10+1=11.
故答案为：11.
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】−6365
【解析】解：因为−π3<α<0,−2π3<β<π3,sin(α−π6)=−35,cs(β+2π3)=1213，
所以−π2<α−π6<0，0<β+2π3<π，
所以cs(α−π6)=45，sin(β+2π3)=513，
则sin(α+β)=sin[(α−π6+β+2π3)−π2]=−cs[(α−π6)+(β+2π3)]
=sin(α−π6)sin(β+2π3)]−cs(α−π6)cs(β+2π3)]
=−35×513−1213×45=−6365.
故答案为：−6365.
由已知结合同角平方关系及两角差的余弦公式及诱导公式即可求解．
本题主要考查了同角平方关系，和差角公式及诱导公式的应用，属于中档题．
16.【答案】(−∞,−58)
【解析】解：因为f(x)=1−2ex+1−lg2( 1+x2−x),x∈R，
f(−x)=1−2e−x+1−lg2( 1+x2+x)
=1−2exex+1+lg2( 1+x2−x)
=1−exex+1+lg2( 1+x2−x)
=−1+2ex+1+lg2( 1+x2−x)
=−f(x)，
所以f(x)为R上奇函数，
又因为y=2ex+1，y=lg2( 1+x2−x)=lg21 x2+1+x均为单调递减函数，
所以y=−2ex+1，y=−lg2( 1+x2−x)均为单调递增函数，
所以f(x)=1−2ex+1−lg2( 1+x2−x)在R上单调递增，
又因为f(m−2x0y0−1)+f(x0+y0+m+1)<0恒成立，
即有f(m−2x0y0−1)<−f(x0+y0+m+1)=f(−x0−y0−m−1)恒成立，
即m−2x0y0−1<−x0−y0−m−1，2m<2x0y0−(x0−y0)恒成立，
又因为点P(x0,y0)(x0>0)是单位圆上的动点，
令x0=csα，y0=sinα(−π2<α<π2)，
则2x0y0−(x0−y0)=2csαsinα−(sinα+csα)，
令t=sinα+csα= 2sin(α+π4)，
因为−π2<α<π2，所以−π4<α+π4<3π4，
所以−1且2csαsinα=t2−1，
所以2csαsinα−(sinα+csα)=t2−t−1=(t−12)2−54，
又因为−1由二次函数的性质可知：(t−12)2−54∈[−54,1).
所以2m<−54，解得m<−58，
所以实数m的范围为(−∞,−58).
故答案为：(−∞,−58).
先判断出函数f(x)为R上单调递增奇函数，再将原不等式转化为2m<2x0y0−(x0−y0)，结合点P(x0,y0)(x0>0)是单位圆上的动点，及三角恒等变换公式求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、单调性、三角恒等变换，考查了转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得A={x|−2当a=2时，B={x|1则A∩B={x|1(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
显然B≠⌀，则2a−3≥−2,2a+1≤3,
解得12≤a≤1，
即a的取值范围是[12,1].
【解析】(1)根据题意，由交集的运算，即可得到结果；
(2)根据题意，由条件可得B⊆A，列出不等式，即可得到结果．
本题主要考查了集合的交集运算及集合并集的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=csxsin(π+x)tan(π−x)sin(3π2+x)cs(π2−x)=csx(−sinx)(−tanx)(−csx)sinx=−tanx；
(2)若f(α)=−tanα=2，则tanα=−2，
所以csα−sinαcsα−2sinα=1−tanα1−2tanα=35.
【解析】(1)利用诱导公式即可求解；
(2)利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=sinωx(ω>0)在[−π3,π4]上单调递增；
故：−π2ω≤−π3，π4≤π2ω；由于ω>0；
解得：0<ω≤32.
故ω的取值范围(0,32].
(2)当ω=32时，函数f(x)=sin32x的图象向左平移π9个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到g(x)=sin(12x+π6)的图象；
由于−π3≤x≤π2，
故0≤12x+π6≤5π12，
由于函数g(x)在[−π3,π2]上单调递增，且sin5π12=sin(π6+π4)= 2+ 64，
故g(x)∈[0, 6+ 24].
【解析】(1)直接利用正弦型函数的单调性求出ω的取值范围；
(2)利用函数图象的平移变换和伸缩变换求出函数g(x)的关系式，最后利用函数的定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，使x11，
所以f(x2x1)<2023，
因为f(x1)−f(x2)=f(x1)−f(x1⋅x2x1)=f(x1)−[f(x1)+f(x2x1)−2023]=2023−f(x2x1)>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(2)由(1)可知f(x)在(0,+∞)上单调递减，
令x=y=1，则有f(1)=f(1)+f(1)−2023，
所以f(1)=2023，
所以f(x)+f(x−2)>4046⇔f(x)+f(x−2)−2023>2023=f(1)⇔f[x(x−2)]>f(1)，
所以x>0x−2>0x(x−2)<1，解得2所以原不等式的解集为(2, 2+1).
【解析】(1)按照单调性的定义及已知条件证明即可；
(2)将不等式变形为f[x(x−2)]>f(1)，结合单调性求解即可．
本题考查了利用定义法证明函数的单调性及利用单调性解抽象不等式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设∠AOP=α，α∈(0∘,60∘)，则∠BOP=60∘−α，
所以四边形OAPB的面积为：
S=12×12×sinα+12×12×sin(60∘−α)
=12(sinα+ 32csα−12sinα)
=12(12sinα+ 32csα)
=12sin(α+60∘)，
当α=30∘时，α+60∘=90∘，sin(α+60∘)=1，
四边形OAPB的面积取得最大值，为12；
(2)过点O作OC⊥AP，则∠AOC=α2，
所以四边形OAPB的周长为：
l=2×1+2×1×sinα2+2×1×sin(30∘−α2)
=2+2sinα2+2(12csα2− 32sinα2)
=2+(2− 3)sinα2+csα2
=2+( 6− 2)sin(α2+75∘)，
当α2=15∘时，α2+75∘=90∘，sin(α2+75∘)=1，
四边形OAPB的周长取得最大值，为2+ 6− 2.
【解析】(1)设∠AOP=α，α∈(0∘,60∘)，得∠BOP=60∘−α，计算四边形OAPB的面积，利用辅助角公式求出四边形OAPB面积的最大值；
(2)过点O作OC⊥AP，得∠AOC=α2，计算四边形OAPB的周长，利用辅助角公式求出四边形OAPB周长的最大值．
本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题．
22.【答案】(1)证明：令x−2=1，即x=3，在a>0，a≠1时，不论a为何值，则f(x)=|0−3|=3，
即函数f(x)的图象恒过定点(3,3)；
(2)解：当a>1时，令f(x)=0，可得lga(x−2)=3，即x=2+a3，
则函数在(2,2+a3)上单调递减，在(2+a3,+∞)上单调递增，
若4>2+a3，即a3<2，即1当43m−2，x∈[4,m]上，函数单调递减，此时函数的最小值为f(m)=|lga(m−2)−3|=−lga(m−2)+3；
当a∈(0,1)，函数在(2,2+a3)上单调递减，在(2+a3,+∞)上单调递增，
因为2+a3<3<4，即a3<2，即a<32，
所以0综上所述：1a>3m−2时，f(x)min=f(m)=|lga(m−2)−3|=3−lga(m−2)；
0【解析】(1)令x−2=1，可得x=3，可得函数恒过的定点的坐标；
(2)分a>1，0本题考查分类讨论的思想及对数函数的单调性的应用，属于中档题．