福建省厦门市集美区上塘中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
因此的相反数是．
故选C．
2. 在平面直角坐标系中，点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点所在的象限与其坐标的关系，根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点在第二象限，
故选：B．
3. 如图，的同位角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同位角的定义，同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据定义，即可求解．
【详解】解： 的同位角是，
故选：B．
4. 如图，直线与相交于点，且的度数为( )

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角、邻补角；根据对顶角相等即可求出度数，再根据邻补角互补即可求出的度数．
【详解】解：，
又，
，
，
故选：C．
5. 如图，沿着由点到点的方向平移，得到，若，那么平移的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得．
【详解】解：，
，
即平移的距离为3，
故选：C．
6. 能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了命题与定理，直接把已知数据代入各个选项进而判断得出答案．
【详解】解：A、∵当，时，
，，
故“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
B、∵当，时，
，，
故“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
C、∵当，时，
，，
故“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
D、∵当，时，
，，
故“若，则”是假命题的反例可以为：，；
故选：D．
7. 已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的特点并判断出的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键． 根据点在数轴上的位置可判断出的取值范围，然后即可作出判断．
【详解】解∶根据点在数轴上的位置可知，
，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选∶B．
8. 实数有平方根，则可以取的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的定义，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据负数没有平方根，即可解答此题．
【详解】解：∵实数有平方根，
∴，
解得：，
∵，
∴只有选项D符合题意．
故选：D．
9. 在平面直角坐标系中，将沿着的正方向向右平移个单位后得到点．有四个点、、、，一定在线段上的是（ ）
A 点B. 点C. 点D. 点
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的过程以及四个点的坐标进行分析比较即可判断．
【详解】解：∵将A （n2，1）沿着x的正方向向右平移n2+3个单位后得到B点，
∴B（2n2+3，1），
∵n2≥0，
∴2n2+3＞0，
∴线段AB在第一象限，点B在点A右侧，且与x轴平行，距离x轴1个单位，
因为点M（-2n2，1）距离x轴1个单位，在点A左侧，当n=0时，M点可以跟A点重合，点M不一定在线段AB上．
点N（3n2，1）距离x轴1个单位，沿着x的正方向向右平移2n2个单位后得到的，不一定在线段AB上，有可能在线段AB延长线上．不在线段AB上，
点P（n2+2，n2+4）点A右侧，且距离x轴n2+4个单位，不一定在线段AB上，
点Q（n2+1，1）距离x轴1个单位，是将A （n2，1）沿着x的正方向向右平移1个单位后得到的，一定在线段AB上．
所以一定在线段AB上的是点Q．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．
10. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：；；平分；平分．其中正确结论的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
【详解】解：延长，交于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴错误；正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，只要和为即可，
∴平分，平分不一定正确．
故选：．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. （1）______； （2）______；
（3）______； （4）______．
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根；
（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）根据实数的性质，绝对值的意义，即可求解；
（3）根据平方根的定义即可求解；
（4）根据立方根的定义，即可求解．
【详解】解：（1）；
故答案为：．
（2）；
故答案为：．
（3）；
故答案为：．
（4）．
故答案：．
12. 如图，直线，直线与相交．若，则∠2=_____°．
【答案】70
【解析】
【详解】由题意得：直线a∥b，则∠2=∠1=70°，
故答案为70.
13. 在比小的数中，最大的整数是___________．
【答案】1
【解析】
【分析】估算出的范围即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在比小的数中，最大的整数是：1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
14. 如图，这是小明同学在体育课上跳远测量的方法，其中蕴含的数学道理是________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查了垂线段的性质在实际生活中的应用．根据垂线段最短解答．
【详解】解：测量的依据是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
15. 定义新运算：对于任意非负数，任意实数，都有，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据新定义进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），连接AD、BC交于点E，则三角形ABE的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，设，由和的面积列出、的方程组求得、，再由和的面积差求得的面积便可．
【详解】解：连接，如图，
，，，，
，，，，
设，
，
；
，
；
解方程组得，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标的特征，三角形的面积和差的关系，关键是求E点的坐标．
三、解答题（86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，
（1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先根据减法的性质去掉括号，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
18. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，准确计算．
（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为：；
【小问2详解】
解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，．
（1）写出，，的坐标：
______，______，______；
（2）在图中画出平移后的；
（3）求出的面积．
【答案】（1），，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，割补法求三角形面积：
（1）根据平移方式求出对应点坐标即可；
（2）根据（1）所求先描出，，，再顺次连接，，即可；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：∵把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，，，，
∴，，，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：由题意得，．
20. 如图，直线AB，CD相交于O，若，OA平分，求．
【答案】30°
【解析】
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE=60°，∠EOD=120°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC=∠AOE，进而得出答案．
【详解】解：∵∠EOC：∠EOD=1：2，
∴设∠EOC=x，∠EOD=2x，
故x+2x=180°，
解得：x=60°，
可得：∠COE=60°，∠EOD=120°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义，求出∠COE=60°，∠EOD=120°，是解题的关键．
21. 为拓宽学生视野，某校组织学生前往“世界第八大奇迹”兵马俑开展研学，在活动中，同学们随老师到该景区游玩，已知成人票每张元，学生票按成人票五折优惠，他们一共人，购票共需门票元，请问他们一共去了几个成人，几个学生？
【答案】他们一共去了个成人，个学生
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用；设成人人，学生人，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设成人人，学生人，根据题意，得
，
解得，
答：他们一共去了个成人，个学生．
22. 如图，在中，的平分线交于点，作交于点.
（1）求证：∥；
（2）点为射线上一点（不与点重合），连接，的平分线交射线于点，若，，求的度数.
【答案】（1）详见解析；（2）或.
【解析】
【分析】（1）已知平分，由角平分线的定义可得.再由可得，根据内错角相等，两直线平行即可判定∥；（2）分点在线段上和点在的延长线上两种情况求解即可.
【详解】证明：（1）∵平分，
∴.
∵，
∴，
∴∥.
（2）∵是的平分线，
∴.
①当点在线段上时（如图）.
∵∥，
∴.
∵，
∴.
设，
则，.
在中，，，
∴，
解得，
即.
②当点在的延长线上时（如图）.
∵∥，
∴.
∵，
∴.
设，
则，.
在中，，，
∴，
解得，
即.
综上所述，或.
【点睛】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义及三角形的内角和定理，解决第（2）问时要分点在线段上和点在的延长线上两种情况，不要漏解.
23. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：．（实数与实数合并，虚数与虚数合并，实数与虚数无法合并）
（1）填空：______，______；
（2）已知，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】此题考查了新定义，解二元一次方程组，
（1）利用题中的新定义计算即可；
（2）已知第二个等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用复数相等的条件得到a与b的方程，与已知联立求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【小问1详解】
解：根据题中的新定义得：，；
故答案为：，1；
【小问2详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴原式
24. 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
（1）现租用该公司辆甲种货车及辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费元计算，货主应付运费多少元？
（2）能否租用这两种货车一次恰好运走吨货物(不超载也不少运)？若能，请说出有哪几种装运方案？若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）能租用这两种货车一次恰好运走吨货物，一共有种装运方案：租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用；
（1）设甲种货车每辆运货吨，乙种货车每辆运货吨，根据表格列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设租用甲种货车辆，乙种货车辆恰好运走吨货物，可得，求出方程的正整数解即可．
【小问1详解】
解：设甲种货车每辆运货吨，乙种货车每辆运货吨，
根据表格可得：，
解得，
甲种货车每辆运货吨，乙种货车每辆运货吨，
现租用该公司辆甲种货车及辆乙种货车一次刚好运完这批货物，
这批货物有吨，
元，
货主应付运费元；
【小问2详解】
能租用这两种货车一次恰好运走吨货物，理由如下：
设租用甲种货车辆，乙种货车辆恰好运走吨货物，
，
，
当时，；
当时，；
当时，；
一共有种装运方案：租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆．
25. 已知：，一块三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．
（1）如图，若，则______；
（2）若的平分线交边于点，
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与之间的数量关系．
【答案】（1）45 （2）①见解析；②．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定，确定角之间的关系．
（1）过点E作，求出，利用平行线的性质得出即可；
（2）①根据，可得，再根据角平分线性质得出，利用内错角相等证明平行即可；②根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质和平行线的性质得出，即可求出与α之间的数量关系．
【小问1详解】
解：如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：45；
【小问2详解】
解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中， ，
∴，
∵，
∴，且，
∵平分，
∴，
∴．
第一次
第二次
甲种货车的辆数
乙种货车的辆数
累计运货的吨数