福建省厦门市翔安区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分；考试时间：120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，有且只有一个选项正确）
1. 4的算术平方根是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：，
算术平方根为2．
故选：A
2. 点(-2，1)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【详解】解：∵点（-2，1）的横坐标为负正，纵坐标为正，
∴点（-2，1）在第二象限，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此类试题属于难度一般的基础性试题，考生解答此类试题时，只需把各象限的基本知识把握好，从而判断出结果．
3. 下列四个实数中，无理数是（ ）
A. B. 0.101001C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数，熟记定义是解题关键．根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），结合有理数概念逐项判断即可解题．
【详解】解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．0.101001是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 下列每对数值中是方程x-3y=1的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【详解】解：A.把，代入方程，左边右边，所以是方程的解；
B.把，代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
C.把，代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
D.把，代入方程，左边右边，所以不是方程的解．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把，的值代入原方程验证二元一次方程的解．
5. 已知与互为补角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了互补两角的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用互补两角的关系得出答案．
【详解】解：与互为补角，
．
故选：D
6. 如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是（ ）

A. 同位角相等，两直线平行B. 两直线平行，同位角相等
C. 内错角相等，两直线平行D. 两直线平行，内错角相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定定理，即同位角相等，两直线平行．根据，由同位角相等，两直线平行，即可判定．
【详解】解：如图，

，
．
故选：A
7. 如果，那么mn的值是（ ）
A. B. 4C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是非负数的性质，熟知当非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．先根据非负数的性质求出，的值，进而可得出结论．
【详解】解：，
，，
，，
．
故选：D
8. 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据铁皮数的和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y，列出方程组即可．
【详解】∵ 铁皮数的和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y，
∴列方程组，得，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，特别是一个盒身与两个盒底配成一个盒子的意义是解题的关键．
9. 如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（ ）
A. C与DB. A与BC. A与CD. B与C
【答案】A
【解析】
【分析】先比较2.5、 、3的平方，从而得到的范围并确实答案．
【详解】解：由6．25＜7＜9可得2．5＜＜3，
所以表示的点在数轴上表示时，在C和D两个字母之间．
故答案选A．
10. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，……，依次扩展下去，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查点的坐标规律．根据题意，先写出前8个点的坐标，再找出规律即可，具体见详解．
【详解】解：，，，，，，，，……
，，，
．
故选：D．
二．填空题（每题4分，共24分）
11. 计算：①的相反数是______；②=_____；
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
①直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案；
②直接利用立方根的定义得出答案．
【详解】解：①的相反数是；
②．
故答案为：①；②．
12. 命题“对顶角相等”的题设是_________，结论是________．
【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等
【解析】
【分析】判断一件事情的语句叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，由此即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
命题“对顶角相等”的题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
【点睛】本题考查了写出命题的题设和结论，熟练掌握题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，是解题的关键．
13. 如果是方程组的解，那么代数式的值为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】把代入方程组求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】把代入方程组，可得：，
解得：，
即：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
14. 如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC，OM平分∠BOD，如果∠AOE＝50°，那么∠BOM的度数是________．
【答案】20°##20度
【解析】
【分析】由余角的定义求得∠EOC＝40°，然后结合对顶角相等和角平分线的性质得到∠BOM的度数．
【详解】解：如图，
∵AO⊥BC于点O
∴∠AOC＝90°
∵∠AOE＝50°
∴∠EOC＝90°－∠AOE＝ 90°－50°＝40°
又∵∠BOD＝∠EOC＝40°，OM平分∠BOD
∴∠BOM＝∠BOD＝20°
故答案：20°．
【点睛】本题考查了利用角的平分线进行有关角的计算的问题，熟练掌握并灵活运用角平分线的定义及对顶角的性质是解题的关键．
15. 如图，AB∥CD，∠BAP＝60°﹣α，∠APC＝45°+α，∠PCD＝30°﹣α，则α＝_____．
【答案】15°．
【解析】
【分析】过点P作一条直线平行于AB，根据两直线平行内错角相等得：∠APC=∠BAP+∠PCD，得到关于α的方程，解方程即可．
【详解】过点P作PM∥AB，∴AB∥PM∥CD，∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，∴45°+α=（60°﹣α）+（30°﹣α），解得：α=15°．
故答案为15°．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．
16. 关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由ax+by=c，b=a+1，c=b+1，得ax+ay+y=a+2，由对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解即可求解；
【详解】解：∵ax+by=c，b=a+1，c=b+1，
∴ax+ay+y=a+2
∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解
∴令a=0，则y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2
得：ax=-a，
∴x=-1，
∴公共解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程，由b=a+1，c=b+1得到ax+ay+y=a+2是解题的关键．
三．解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 计算或解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程：
（1）先计算立方根和算术平方根，再计算加减法即可；
（2）根据实数的运算法则求解即可；
（3）先把常数项移到方程右边，再根据求平方根的方法解方程即可；
（4）根据求立方根的方法解方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
小问3详解】
解：∵，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
18. 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】两个方程相加即可消去未知数y，从而求得x的值，然后把x的值代入求得y的值
【详解】解：
①+②得：3x=3，
则x=1，
把x=1代入①得：1-y=1，
解得：y=0，
则方程组的解是：；
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的方法，通过代入消元法或加减消元法将二元方程转化为一元一次方程求解是解题的关键.
19. 将以下推理过程的理由填入括号内．
如图，已知，交于点，．求证：．
证明： ，
，
（已知），
，
．
【答案】已知；B；两直线平行，内错角相等；2；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知；B；两直线平行，内错角相等；2；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
20. 若27的立方根是m，m的平方根是n．
（1）求m的值；
（2）求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，解答此题的关键是要熟练掌握平方根、立方根的性质．
（1）根据题意，可得，据此求出的值即可；
（2）根据题意，可得，再根据算术平方根的含义和求法，求出的值即可．
【小问1详解】
的立方根是，
．
【小问2详解】
的平方根是，
，
．
21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，．
（1）画出；
（2）若中任意一点，经平移后对应点为，，请画出平移后得到的，并写出点和点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据点，的坐标描点再连线即可．
（2）由题意得，向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到的．根据平移的性质作图，即可得出答案．
【小问1详解】
如图，即为所求．
【小问2详解】
由题意得，向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到的．
如图，即为所求．
由图可得，点，点．
22. 已知：直线AD，BC被直线CD所截，AC为 ∠BAD的角平分线，∠1+∠BCD=180°．
求证：∠BCA=∠BAC．
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】分析：方法1由∠5=∠BCD可证AD∥BC，再利用角平分线的定义即可求出结果；方法2由∠ADC+∠BCD=180°可证AD∥BC，再利用角平分线的定义即可求出结果.
本题解析：
证明：
方法1 ∵ AD是一条直线，
∴∠1+∠5=180° （平角的定义）或（邻补角的定义）
∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）
∴ ∠5=∠BCD（同角的补角相等）
∴ AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠4=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵ AC为∠BAD的角平分线（已知）
∴ ∠2=∠4（角平分线的定义）
∴ ∠2=∠3（等量代换）即：∠BCA=∠BAC．
方法2 ∵ AD与CD交于点D，
∴ ∠1=∠ADC （对顶角相等）
∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）
∴ ∠ADC+∠BCD=180°（等量代换）
∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴ ∠4=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵AC为∠BAD的角平分线（已知）
∴ ∠2=∠4（角平分线定义）
∴ ∠2=∠3（等量代换）
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质、平行线的判定.角平分线将角平分成相等的两部分.同旁内角互补，两直线平行.本题考查的是基础知识.
23. 运输公司小张向主任汇报工作：“今天有大小两种货车，2辆大货车和3辆小货车一次共运货16吨，4辆大货车和5辆小货车一次共运货35吨，5辆大货车与6辆小货一次共运货37吨．”老总和说小张：“你的后两条记录后有一条数据有误！”，请你帮助小张找出哪条记录有错？并且计算出正确数据应该是多少？
【答案】第二组数据是错误的，4辆大货车和5辆小货车一次可以运货30吨
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设大货车一辆一次可运货吨，小货车一辆一次可以运货吨，根据第一、二组数据列出二元一次方程组，解得，得出第二组数据记录有错；再由第一、三组数据列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【详解】解：设大货车一辆一次可运货吨，小货车一辆一次可以运货吨，
由第一、二组数据得：，
解得：，
，
不符合题意，
第二组数据：4辆大货车和5辆小货车一次共运货35吨，记录有错；
由第一、三组数据得：，
解得：，
，
答：第二组数据记录有错，4辆大货车和5辆小货车一次共运货30吨．
24. 已知关于，的方程组
（1）若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值；
（2）当，都是实数，且满足2a+b=4，就称点为完美点．当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是完美点，请说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是理解新定义的含义．
（1）根据已知条件，把不含的两个二元一次方程联立成方程组，求出，的值，再把，的值代入方程，求出即可；
（2）解方程组，求出，，根据点为完美点，列出含有，和的等式，把和用表示出来，最后根据，列出关于的方程，解方程即可．
【小问1详解】
关于，方程组的解也是二元一次方程的一个解，
，
②①得：，
，
，
解得：；
【小问2详解】
时，点为完美点，理由如下：
，
①得：③，
②③得：，
，
把代入②得：，
方程组解为：，
为完美点，
又，，
，，
，
，
，
，
时，点为完美点．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（，），点坐标为（，），且是方程的解．
（1）求出、两点的坐标；
（2）点在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连结，若的面积为，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，连结，在轴上是否存在点，使？，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了解一元一次方程，坐标与图形性质，解答本题的关键要熟练掌握利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住平面直角坐标系中各特殊位置点的坐标特征．
（1）通过解一元一次方程求出，从而得到点和的坐标；
（2）先确定点坐标为，根据点平移的规律得到点向上平移4个单位，再向右平移4个单位得到点，所以点向上平移4个单位，再向右平移4个单位得到点，即，再计 算出，然后设点坐标为，利用三角形面积公式得到，再求出即可得到点的坐标．
【小问1详解】
解方程，
解得：，
，，
，；
小问2详解】
轴，
点的纵坐标为3，
的对应点为点，
，
点向上平移了4个单位，
点向上平移了4个单位，
点到的距离为4，
，
；
【小问3详解】
，轴，
点坐标为，
点向上平移4个单位，再向右平移4个单位得到点，
点向上平移4个单位，再向右平移4个单位得到点，
，
如图，连接，
，
设点坐标为，
，
解得或，
点的坐标为或．