福建省厦门市外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共8页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念，理解无理数的概念是解答的关键．根据无理数的概念判定解答即可．
【详解】解：、0和是有理数，是无理数，
故选：D．
2. 如图，直线a，b相交，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了邻补角和对顶角的知识，比较简单，注意在计算角度时不要出错．根据图形及可求出和的值，进而能得出的值．
【详解】解：由图形可得：，
．
故选：C．
3. 如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标确定位置．根据点A的坐标为，点的坐标为确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案．
【详解】解：如图，
点的坐标为．
故选：A．
4. 用符号表示“4的平方根是”，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方根，主要考查学生的理解能力和计算能力．根据的平方根是求出即可．
【详解】解：4的平方根是，用数学式子表示为：，
故选：D．
5. 已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
∴二元一次方程组的解为：，
∴，
，
，
，
故*表示的方程可能是；
故选：C．
6. 已知点轴，且，则点N的坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据轴，可求得点N的横坐标，再根据，即可求得点N的纵坐标．
【详解】解：∵轴，
∴点N的横坐标是，
∵，
∴点N的纵坐标是或0，
∴点N坐标是或，
故选：C．
7. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案．
【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，
由题意得，，
故选：A．
8. 能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据假命题的判断方法，只要找到满足题设条件，而不满足题设结论的a，b值即可．
本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键．
【详解】解：当，时，，
根据有理数的大小比较法则可知：
则此时满足，但不满足，
因此，“若，则”是假命题；
故选：．
9. 用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设长方形的长边长为a，短边长为b，根据点A的横坐标的绝对值为3个长边加上1个短边，纵坐标为1个长边加上1个短边减去2个短边列出方程组求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：设长方形的长边长为a，短边长为b，
∵，
∴，
解得，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，即，
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解二元一次方程组，正确列出方程组求出长方形长边和短边的长是解题的关键．
10. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（ ）
A. 1B. 1.2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，无理数的大小比较，结合已知条件，求得正方形的边长范围是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：设大正方形的边长为，中正方形的边长为，小正方形的边长为，
根据题意，得，，
故，，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵由图可知，小正方形答边长与中正方形的边长之和大于，
∴，
∴，，
∴选项B、D不符合题意；
∴正方形的边长可能为，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 点（﹣1，﹣2）在第_____象限．
【答案】三
【解析】
【分析】根据各象限内的点的坐标特征判断即可.
【详解】点（﹣1，﹣2）在第三象限．
故答案为：三．
【点睛】此题考查的是平面直角坐标系内的点，掌握各象限内的点的坐标特征是解决此题的关键.
12. 如图，一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果，那么_____．
【答案】##20度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，先根据直角三角板的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，点O为原点，，，则的面积为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查的是坐标系中三角形面积的求法，需要准确对点位进行标注，并根据公式进行求解即可．首先在坐标系中标出A、B两点坐标，由于A点在x轴上，所以面积较为容易计算，根据三角形面积的计算公式，即可求出的面积．
【详解】解：过B点作垂直x轴于D点，如图所示，
则，
∴．
故答案为：6．
14. 根据如表回答下列问题
（1）的算术平方根是______；
（2）满足的整数n有______个．
【答案】 ①. ②. 10
【解析】
【分析】（1）根据表格给的对照表即可求出；
（2）由表格找到，，列出不等式，找出整数，558，559，560，561，562，563，564，565，566，的10个值即可，
【详解】解：（1）由表中数据可得：的算术平方根是，
（2）∵，，
∴，
∴，558，559，560，561，562，563，564，565，566，共10个，
故答案为：10．
15. 已知关于x、y的方程组的解满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解方程组，解题的关键是根据题意得出．
根据得出，根据，得出，求出n的值即可．
【详解】解：，
得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边OA在x轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形…依此规律，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系寻找，再求解．
本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．
【详解】解：由已知，点A每次旋转转动，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍，
∵，
∴点的在x轴的正半轴上，
则，
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据算术平方根和立方根定义进行求解即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
18. 请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
如图，于D，点E在的延长线上，于G，交于点F，．
求证：平分．
证明：∵于D，于G（已知）
∴（______）
∴______（同位角相等，两直线平行）
∴（______）
______（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴平分（角平分线的定义）
【答案】垂线的定义；；两直线平行，内错角相等；
【解析】
【分析】根据垂线的定义可得，再根据平行线的判定可得，由平行线的性质可得、，再由，从而可得，再根据角平分线的性质即可证明结论．
本题考查垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：于点，于点（已知），
（垂线的定义），
（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
平分（角平分线的定义）．
故答案为：垂线的定义；；两直线平行，内错角相等；．
19. 在如图所示方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）．
（1）在图1中，将先向右平移2格，再向上平移1格得到，请画出；
（2）在图2中，线段与相交于点O，且，请画一个，使得中的一个角等于．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作；
（1）把向右平移个单位即可；
（2）把向右平移个单位，再向下平移2个单位，根据平行线的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：解：如图，所作；
【小问2详解】
解：如图，为所作．
∵，
∴，
∴即为所求．
20. 为助力“双减”政策落实，某校初中开展了丰富多彩的小组活动．下表是七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
（1）文艺小组和科技小组每次活动的时间分别为多少小时？
（2）九年级科技小组活动的次数是多少？
【答案】（1）文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为
（2）九年级文艺小组活动的次数是是次或者次
【解析】
【分析】本题考查了统计表，有理数运算，列代数式，正确理解表格的意义列出代数式是解题的关键．
（1）因七、八年级科技小组活动的次数相同，两个年级课外活动总时间的差就是七年级比八年级文艺小组活动次数多2次的时间，由此可求得文艺小组每次活动的时间，进而可求得科技小组每次活动的时间；
（2）设九年级参加科技活动的次数为，则参加文艺活动的次数为：（非负整数），根据文艺活动的次数为非负整数即可求得结果．
【小问1详解】
解：由表格中的数据对比可知：
文艺小组每次活动的时间为：，
科技小组每次活动的时间为：，
文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为；
【小问2详解】
解：设九年级参加科技活动的次数为（非负整数），
则参加文艺活动的次数为：（非负整数），
当时，；
当时，；
所以，九年级文艺小组活动的次数是是次或者次，
答：九年级文艺小组活动的次数是是次或者次．
21. 如图，平面直角坐标系中，已知，，A，B在x轴上，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是作辅助线．由、，得，可得，再证，即可得答案．
【详解】证明：延长，交边于点F，
∵、，
∴轴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 阅读材料，完成下列任务：
材料一：我们可以用以下方法表示无理数的小数部分．
∵，
∴，即．
∴的整数部分为2．
∴的小数部分为．
材料二：我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）．
∵面积为107的正方形的边长是，且，
∴设，其中．
画出边长为的正方形，如图：
根据图中面积，得．
当较小时，忽略，得．解得．
∴．
任务：
（1）利用材料一中的方法，求的小数部分；
（2）利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数）．（备注：请画出示意图、标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
（1）根据材料一中的解题过程进行求解即可；
（2）根据材料二中的解题过程进行求解即可．
【小问1详解】
解：，
，即，
的整数部分为9，
的小数部分为．
【小问2详解】
解：∵面积为123的正方形的边长是，且，
∴设，其中．
画出边长为正方形，如图：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得，
解得．
．
23. 北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和3件B种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计105元．
（1）求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用300元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
【答案】（1）A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元
（2）①购进9件A型飞船模型和5件B型飞船模型；②购进6件A型飞船模型和10件B型飞船模型；③购进3件A型飞船模型和15件B型飞船模型
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据“2种A型飞船模型和3种B型飞船模型的进价共计95元；3种A飞船模型和2种B型飞船模型的进价共计105元”，即可得关于x、y的一元二次方程组，解之即可；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
【小问1详解】
解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元；
【小问2详解】
解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，
根据题意，得，
∴，
∵a，b均为正整数，
∴当时，；当时，；当时，，
∴所有购买方案如下：
①购进9件A型飞船模型和5件B型飞船模型；
②购进6件A型飞船模型和10件B型飞船模型；
③购进3件A型飞船模型和15件B型飞船模型．
24. 新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．
（1）点______“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）已知点
①若点P是第二象限内的一个“和谐点”，且，求a的值；
②若点P是第一象限内的一个“和谐点”，如图②，点E是线段上一点，连接并延长交的延长线于点Q，，求点Q的纵坐标．
【答案】（1）不是 （2）①；②4
【解析】
【分析】（1）由题干“和谐点”的定义计算出和即可判断点P是否为“和谐点”；
（2）①根据“和谐点”的定义列出方程，解方程即可；
②根据点P是第一象限内的一个“和谐点”，得出，设点E的坐标为，点Q的坐标为，根据点E、Q在同一直线上得出，表示出，，根据，求出结果即可．
【小问1详解】
解：过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，如图所示：
∵，，
∴点P不是“和谐点”；
【小问2详解】
解：①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，如图所示：
∵，点P是第二象限内的一个“和谐点”，
∴，，
∴，
解得：；
②∵点P是第一象限内的一个“和谐点”，
∴，
∴，
设点E的坐标为，点Q的坐标为，
设直线为，把代入得：，
∴，
∴直线为，
把代入得：，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
，
，
，
把代入得：，
整理得：，
把代入得：
，
即点Q的纵坐标为4．
【点睛】本题考查了坐标与图形，整式混合运算，一元一次方程的应用．理解“和谐点”的定义和利用数形结合的思想是解答本题的关键．
25. 已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点M在的延长线上，作、的角平分线交于点N，交于点P，设．
①若，试判断直线上是否存在一点K使得，并说明理由；
②如图3，作的角平分线交于点Q，若，请直接回答与的数量关系：______．
【答案】（1）见详解 （2）①不存在，见解析；②
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得，再由平行线的判定方法即可求证；
（2）①由线的性质，得到，由、的角平分线交于点N，得到，，在中应用三角形内角和定理，得到，代入得，由，得，根据点到直线距离垂线段最短，即可判断，②由平行线的性质，和角分线，得到，，由， 得到， ，代入，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，与角分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：①∵，
∴，即：，
∵、的角平分线交于点N，
∴，，
∵，，
∴，整理得：，
∵，
∴，
∴直线不存在点K使得，
②的角平分线交CD于点Q，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，，
∴，即：，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
x
23.1
23.2
23.3
23.4
23.5
23.6
23.7
23.8
23.9
533.61
538.24
542.89
547.56
552.25
556.96
56169
566.44
571.21
课外小组活动总时间/h
文艺小组活动次数
科技小组活动次数
七年级
18
6
4
八年级
14
4
4
九年级
10
2