江苏省南京市南京外国语学校仙林分校2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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时间：90分钟 分值：100分
一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项计算即可求解．
【详解】解：A．，正确，符合题意；
B．与不是同类项，不能合并，不符合题意；
C．，故不正确，不符合题意；
D．，故不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2. 如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（ ）
A. CFB. BEC. ADD. CD
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．
考点：三角形的角平分线、中线和高．
3. 如图，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用平行线性质求出的度数，即可求出的度数．
【详解】如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 对于命题“若，则，”，下列能说明该命题是假命题的反例是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】将选项逐一代入题设中进行验证即可.
【详解】解：A．，不满足“”，故A选项不符合题意；
B．，不满足“”，故B选项不符合题意；
C．，满足“”，但不满足“，”，故C选项是题设命题的反例；
D．，满足“”，也满足“，”，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大．注意反例满足条件但是不满足结论．
5. 给出下列4个命题：①内错角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③垂线段最短；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线，垂线，垂线段，三角形外角的性质和定义判断各命题的真假，即可得出结论．
【详解】解：①内错角不一定相等，当两直线平行时，内错角才会相等，故①为假命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线两条直线互相平行，故②为假命题；
③直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，简称“垂线段最短”，故③为真命题；
④三角形的一个外角不一定大于内角，如钝角三角形中钝角的外角是锐角，是小于钝角的，故④为假命题；
真命题只有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，平行线，垂线，垂线段，三角形外角的性质和定义，解题的关键是熟练掌握基本概念．
6. 在中，、的平分线交于点O，的平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
①；②；③；④．
A. ①②④B. ①②③C. ①②D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
【详解】解：∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴
，
∴
，故①正确，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的有：①②．
故选：C．
二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）
7. 如图，已知∠ABE＝142°，∠C＝62°，则∠A＝___________°．
【答案】80
【解析】
【分析】根据平角概念可得∠ABC=38°，再由三角形内角和定理即可求解；
【详解】解：∵∠ABE＝142°，
∴∠ABC=180°-∠ABE＝180°-142°=38°，
∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠C＝62°，
∴∠A=180°-（∠C+∠ABC）=180°-（38°+62°）=80°，
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、平角的概念，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
8. 芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算一粒芝麻的质量约为，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
9. 若有（x﹣3）0=1成立，则x应满足条件_____．
【答案】x≠3
【解析】
【分析】 便可推导.
【详解】解：根据题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3．
故答案是：x≠3．
【点睛】本题考查“除0以外的任何数的0次方都是1”知识点，掌握0次幂为1成立的条件为本题的关键.
10. 若，，则______．
【答案】####1.5
【解析】
【分析】根据同底数幂除法的逆用法则计算即可；
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂除法的逆用．掌握同底数幂除法的逆用法则是解题关键．
11. 如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是______边形．
【答案】六##
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合应用．设多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设多边形为边形，由题意，得：，
解得：；
∴这个多边形是六边形；
故答案为：六．
12. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为．
13. 如图，将沿BC方向平移得到，若，则BC的长为_________．
【答案】4cm
【解析】
【分析】根据平移的性质得出BE=CF=AD，进而解答即可．
【详解】解：由平移可得，BE=CF=AD=6cm，
∵BF=BE+EF=6+（CF-CE）=6+6-CE=5CE，
∴CE=2cm，
∴BC=BE-CE=6-2=4cm，
故答案为：4cm．
【点睛】此题考查平移的性质，关键是根据平移中连接各组对应点的线段平行且相等解答．
14. 如图，已知为的中线，，的周长为，则的周长为______．
【答案】23
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∴
，
∵的周长为，
∴周长为：．
故答案为：23．
15. 如图，五边形的两个外角的平分线交于点．若，则______．

【答案】##度
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，再根据邻补角互补得到，再根据五边形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵五边形的两个外角的平分线交于点，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形内角和定理，求出是解题的关键．
16. 如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F，若中有两个角相等，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
由折叠可知：，
当时，
∵，
∴，
∴，
解得（不存在）；
当时，
∴，
解得，
即；
当时，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
综上，或，
故答案为：或.
三．解答题（共68分）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂乘除运算法则进行计算即可；
（3）根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂除法运算法则进行计算即可；
（4）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 已知，．
（1）求的值：
（2）的值．
【答案】（1）18 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和同底数幂除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）逆用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可；
（2）逆用同底数幂除法和幂的乘方运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴．
19. 如图，已知，点A，B分别在，上．
（1）利用直尺和圆规过点A作直线，过点B作直线，直线m，n交于点P．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定以及作一个角等于已知角的方法作图即可．
（2）根据平行线的性质可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，即直线m，n即为所求．
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
20. 如图，在小正方形边长为1的方格纸内将向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，点A、B、C的对应点分别为、、．
（1）在图中画出平移后的；
（2）的面积为 ；
（3）作边上的高；
（4）能使的格点Q（C点除外）共有 个．
【答案】（1）见解析 （2）8
（3）见解析 （4）4
【解析】
【分析】（1）先根据平移的方式得到点，然后连接即可；
（2）由大的长方形面积减去三个三角形的面积和一个小的长方形面积即可；
（3）延长，过点C作的垂线交于一点D；
（4）在的两侧画等距离（距离为）的两条平行线，再根据平行线经过的格点即可得到结果．
【小问1详解】
解：将向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，如图所示：
；
【小问2详解】
解：
，
故答案为：8；
【小问3详解】
解：延长，过点C作的垂线交于一点D，如图所示：
；
【小问4详解】
解：在的两侧画等距离（距离为）的两条平行线，再根据平行线经过的格点即为所求：
，
∴这样的点有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平移的作图、求解网格三角形的面积、作三角形的高、平行线的性质，熟记平移的性质与平行线间的距离处处相等是解题的关键．
21. 如图，在中，点在边上，．过点分别作，，垂足分别为、．在的延长线上取一点，连接，使得．

（1）求证：；
请将下面的证明过程补充完整：
证明：，，
． （________）
在中，
（________）
同理，
，
________． （________）
，
________ （________）
． （________）
（2）图中与相等的角是________．
【答案】（1）垂直的定义；直角三角形两个锐角互余；；等角的余角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行
（2），
【解析】
【分析】（1）根据等角的余角相等得出，进而推出，即可判定；
（2）根据平行线的性质以及角的差和求解即可．
【小问1详解】
证明：，，
．（垂直的定义）
在中，
（直角三角形两个锐角互余）
同理，
，
（等角的余角相等）
，
（等量代换）
．（内错角相等，两直线平行）
【小问2详解】
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴图中与相等的角是和，
故答案为：，．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理以及性质定理是解题的关键．
22. 证明：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
已知：如图，直线，______．
求证：______．
证明：
【答案】，；证明见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
【详解】解：已知：如图，直线，．
求证：．
证明：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
23. 如图，在中，．
（1）若的长是偶数，直接写出的值；
（2）若点A在的延长线上，点E、F在的延长线上，且求的度数．
【答案】（1）4或6 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据三角形三边关系求出的取值范围，再根据偶数的定义确定取值；
（2）利用平行线的性质可得，根据三角形外角的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，
，
的长是偶数，
的长为4或6．
故答案为：4或6；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
24. 规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：
①______， ______；
②若，则______．
（2）若，，，试说明下列等式成立的理由：．
【答案】（1）①3，5；②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①由，，以及题意可知，，，然后作答即可；②由，以及题意可知，，计算求解即可；
（2）由题意知，，，，由，可得，即，进而结论得证．
【小问1详解】
①解：∵，，
∴由题意知，，，
故答案为：3，5；
②解：∵，
∴由题意知，，即，解得，，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：∵，，，
∴由题意知，，，，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了乘方，平方根，同底数幂的乘法运算，负整数指数幂．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25. 【概念学习】
我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在中，若，则、叫的角三分线．其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”．
【概念理解】
（1）如图2，在中，，，若的角三分线交于点D，则______．
【概念应用】
（2）如图3，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数．
（3）在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点P，若，，请直接写出分类情况和相应的的度数．
【答案】（1）或；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形的角平分线的计算、三角形内角和与外角以及邻补角，根据图形找到角之间的关系是解题的关键．
（1）根据三角形内角和求出，再根据角三分线概念求出，然后根据三角形外角的定义分两种情况即可得出答案；
（2）根据题意得，，再根据三角形内角和求出，然后再一次利用三角形内角和即可得出答案；
（3）分四种情况：①当是邻角三分线、是邻角三分线；②当是邻角三分线、是邻角三分线；③当是邻角三分线、是邻角三分线；④当是邻角三分线、是邻角三分线；先分别表示出和，再利用三角形外角即可得出答案．
【详解】（1）如图：

，，
的角三分线交于点D，
当是“邻角三分线”时，；
当是“邻角三分线”时，
故答案为：或；
（2）、分别是邻角三分线和邻角三分线，
，
，
；
（3）分四种情况：
①当是邻角三分线、是邻角三分线，如图1

，，
，，
是的一个外角
；
②当是邻角三分线、是邻角三分线，如图2

，，
，，
是的一个外角
③当是邻角三分线、是邻角三分线，如图3

，，
，，
是的一个外角
；
④当是邻角三分线、是邻角三分线，如图4

，，
，，
是一个外角