2023-2024学年江苏省南京市南京东山外国语学校九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市南京东山外国语学校九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝2x+3B．x2＋1＝2xyC．x2＋＝3D．2x＋y＝1
2．若关于x的方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．0B．-9C．9D．-6
3．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为( )
A．6πB．8πC．16πD．32π
5．下表是某小组5名同学体育素质测试成绩，有两个数据被遮盖，如图：那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．36，3B．36，4C．35，3D．35，2
6．函数、在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．请写出一个关于x的一元二次方程，且有一个根为2： ．
8．一组数据为：6，2，，5，这组数据的极差为 ．
9．若，相似比为，，则为 ．
10．已知x1，x2是方程3x2-2x+1=0两根，则 x1·x2= ．=
11．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是 ．
12．军事演习近平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度与飞行时间的关系满足．经过 秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
13．若扇形的圆心角为60°，弧长为２，则扇形的半径为 ．
14．如图，在中，，平分，交于点D．若，，则 ．
15．若二次函数的最大值是5，则的最小值为 ．
16．对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题：
①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似；
②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似；
③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似；
④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似
共中所有真命题的序号是
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：（1）x2－4x＋2＝0；
（2）x(x-1)＝2(x-1)．
18．某校九年级有个班，共名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图，
(1)求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
(2)下列关于本次数学测试说法正确的是( )
A.九年级学生成绩的众数不平均数相等
B.九年级学生成绩的中位数不平均数相等
C.随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D.随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数.
19．甲、乙、丙互相传球．假设他们相互之间传球是等可能的，并且由甲开始传球．
（1）经过2次传球后，求球仍回到甲手中的概率；
（2）经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率为．
20．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且，
（1）求∠ACB的大小;
（2）求证BC2=BD·AB
21．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
22．已知一个二次函数的图像与y轴交点纵坐标为4，且当自变量x＝2时，二次函数的值最小，最小值为－4.：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个函数的图像与x轴交点坐标．
23．如图，是的直径，点在上，的外角平分线交于，交的延长线于．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
24．如图，在平行四边形中，是上一点，延长到点，使．
(1)若，______；
(2)用直尺和圆规在上作出一点，使（保留作图痕迹，不写作法）．
25．已知二次函数．
(1)求证：当时，二次函数图像与轴有两个公共点．
(2)当，时，求的取值范围．
(3)若二次函数图像与轴的两个交点在与之间（不包含这两点），则的取值范围是______．
26．如图，四边形内接于，为的直径，和交于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若分别延长交于点，且，，求的半径．
27．如图1、图2，平面上，四边形中，，，，，，点在上，且．将线段绕点顺时针旋转（）到，的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．

(1)如图2．连接．
①求的度数，并直接写出当时，的值为______；
②若点到的距离为2，求的长；
(2)当时，求出点到直线的距离是多少（用含的式子表示）．
答案与解析
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程”即可得.
【详解】B、D两项都含两个未知数，C项不是整式方程，因此这三项都不符合题意；A项符合题意
故答案为：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键.
2．C
【分析】方程有两个相等的实数根,即△=0,列式即可解题.
【详解】解：∵方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=0,即36-4k=0,解得:k=9
故选C.
【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式是解题关键.
3．D
【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可求出，再根据三角形相似的判定定理结合各选项逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即．
A．由，，则可通过两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故该选项不符合题意；
B．由，，则可通过两角分别对应相等的两个三角形相似证明，故该选项不符合题意；
C．由，，则可通过两角分别对应相等的两个三角形相似证明，故该选项不符合题意；
D．由，，可知两边对应成比例，但其夹角不是和，故不能证明，故该选项符合题意．
故选D．
4．B
【详解】因为圆锥侧面积公式,所以S=2×4π=8π,故选B.
点睛:本题主要考查圆锥侧面积公式,解决本题的关键是要熟练掌握圆锥侧面积的公式.
5．B
【分析】由平均数的定义可得：第一个被遮盖的数据为，由方差的含义可得：第二个被遮盖的数据为：，从而可得答案．
【详解】解：∵这组数据的平均数为37，
∴第一个被遮盖的数据为，
由数据的方差可得：第二个被遮盖的数据为：


故选：B．
【点睛】本题考查的是平均数与方差的含义，掌握以上知识是解题的关键．
6．A
【分析】根据函数图象的开口大小、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧，
所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项C错误；
又函数的图像的开口比函数、的开口都小，故选项B 错误；
函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，
所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项D错误 ，
只有选项A正确，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．
7．x2＝4（答案不唯一）
【详解】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根情况可得方程为：x2＝4，
故答案为： x2＝4（答案不唯一）
8．7
【分析】本题考查了极差的定义，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可，熟练掌握极差的定义是解此题的关键．
【详解】解：这组数据中最大的数是6，最小的数是，
这组数据的极差为，
故答案为：．
9．6
【分析】本题考查了相似三角形的性质，由题意可得，再由，进行计算即可，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：，相似比为，
，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】解：是方程两根，

故答案为
11．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】共有正反，正正，反正，反反4种可能，
则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为．
故答案为．
12．
【分析】炮弹落到地上即y=0，代入解析式解答即可．
【详解】依题意，关系式化为：
y=− (x−25)2+125.
令y=0，
解得：x=50秒．
故答案为50．
【点睛】二次函数的应用．
13．6
【分析】利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径.
【详解】∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴，即，解得，扇形的半径R=6．
14．
【分析】过点D作于点E，过点D作于点F，由题意可知，即可证明，．根据角平分线的性质可知，然后由面积法可证明，则设，，，接着证明可得到，所以，利用勾股定理可得，解得，从而得到的长．
【详解】解：过点D作于点E，过点D作于点F，如下图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，即，
∴，
设，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和勾股定理的知识，解题关键是正确作出辅助线．
15．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，由题意得出，当时，最大，为，从而得出，将化为，利用二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：二次函数有最大值，
，
，
当时，最大，为，
二次函数的最大值是5，
，
，
，
，抛物线开口向上，
当时，最小，为，
故答案为：．
16．③④##④③
【分析】本题考查了相似四边形的判定，根据任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似；三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似；四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，逐项判断即可，熟练掌握四边形的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似，故①说法错误，不符合题意；
三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似，故②说法错误，不符合题意，③说法正确，符合题意；
四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，故④说法正确，符合题意；
综上所述，真命题的序号是③④，
故答案为：③④．
17．（1）；（2）x1＝1，x2＝2
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
【详解】（1）
移项，得
配方，得，即
于是得
；
（2）
移项，得
因式分解，得
于是得
.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解法主要包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
18．(1)81分；（2）D.
【分析】（1）用九年级学生的总分除以总人数即可得出答案；
（2）根据条形统计图和扇形统计图不能求出众数和中位数，从而得出答案．
【详解】解：（1）根据题意得：（80×1000×60%+82.5×1000×40%）÷1000=81（分），
答：该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数是81分；
（2）A、根据统计图不能求出九年级学生成绩的众数，故本选项错误；
B．根据统计图不能求出九年级学生成绩的中位数，故本选项错误；
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数不一定等于九年级学生成绩的平均数，故本选项错误；
D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
19．（1）；（2）
【分析】（1）画树状图，确定总可能性，球仍回到甲手中的可能性，根据概率公式计算即可；
（2）画树状图，确定总可能性，球仍回到甲手中的可能性，根据概率公式计算即可；
【详解】解：（1）画树状图如下：
二次传球共有4种等可能性，其中球回到甲手中的有2种可能性，
∴经过2次传球后，求球仍回到甲手中的概率为：；
（2）画树状图如下：
三次传球共有8种等可能性，其中球回到甲手中的有2种可能性，
∴经过3次传球后，求球仍回到甲手中的概率为：．
【点睛】本题考查了画树状图法求概率，根据题意，正确画出树状图，根据概率公式计算是解题的关键．
20．（1）∠ACB＝90°；（2）见解析.
【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定定理可得，再根据相似三角形的性质得，又因，则，即；
（2）由题（1）的结论，易证，则，即得证.
【详解】（1）CD是边AB上的高
又
（两边对应成比例且其夹角相等的三角形相似）
又
即
（2）由题（1）可知，在和中，
（两角对应相等的三角形相似）
即.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，掌握判定定理和性质是解题关键.
21．羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
【详解】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
22．（1）y＝2(x－2)2－4；（2）和.
【分析】（1）由题意可设这个二次函数的表达式为，再将代入可求得a的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）令，求一元二次方程即可得.
【详解】（1）由题意可设这个二次函数的表达式为：
将代入得
解得：
故所求的二次函数的表达式为：
（2）要求函数的图象与x轴的交点坐标
则，得
解得：
故这个函数的图象与x轴的交点坐标为和.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，依题意设定二次函数的表达式是解题关键.
23．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，由OB＝OD，得出∠ODB＝∠OBD，根据BD是△ABC的外角平分线，推出∠ODB＝∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根据AB是⊙O的直径，得到AC⊥CE，根据DE∥AC，即可推出OD⊥DE，从而证得直线DE与⊙O相切．
（2）由∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠DBE，进而求出∠DOB＝60°，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵，
∴．
∵是的外角平分线，
∴．
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴且点在上．
∴直线与相切；
（2）如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
24．(1)
(2)作外接圆与交于点．
【分析】本题考查了作图—基本作图、平行四边形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，可得，再根据，，可得，即可得解；
（2）作外接圆与交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图：点即为所作，
，
由圆周角定理可得：，
由（1）可得，
．
25．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的性质、解不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）计算出，由可得，，从而得出，即可得证；
（2）当时，，由抛物线开口方向和对称轴可得当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，计算出当时，，当时，，由此即可得出答案；
（3）求出抛物线的顶点为，再分两种情况：当时，则有；当时，则有，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：在中，，
，
，，
，即，
当时，二次函数图像与轴有两个公共点；
（2）解：当时，，
对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
当时，，当时，，
当，时，的取值范围为；
（3）解：，
抛物线的顶点为，
二次函数图像与轴的两个交点在与之间（不包含这两点），
当时，则有，
解得：；
当时，则有，
解得：；
综上所述：若二次函数图像与轴的两个交点在与之间（不包含这两点），则的取值范围是：或，
故答案为：或．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明，得到，得到，即可得到；
（2）由圆周角定理可得，作于，由角平分线的性质可得，由，，进行计算即可得出答案；
（3）连接，证明，得到，从而得到，结合得出，，，从而得到，证明得到，即，进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
∴，
；
（2）解：，
，
平分，
如图，作于，
，
是的直径，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：如图，连接，
，
由（2）可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
的半径为．
27．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由勾股定理可得，证明出，画出图形，证明，利用相似三角形的性质得出，，然后证明，得出，进而求解即可；
②当在上时，，，由正弦的定义得出，进而求解即可；
（2）过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：①，，，
，
，，
，，
，
，
如图所示，当时，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，即，
解得：，
，
故答案为：；
②如图所示，当在上时，，，
，
，，，
，，
，
；
（2）解：，
点在上，
如图，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，设，，即，
，，
，
整理得：，
点到直线的距离是．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37