2022-2023学年广东省深圳市光明区公明中学、光明二中、光明实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市光明区公明中学、光明二中、光明实验学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    方程的解是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2.    若是从“、、、”这四个数中任取的一个数，则关于的方程为一元二次方程的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.    如图，四边形∽四边形，，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.    在菱形中，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，在▱中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接若，，，则▱的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    下列说法中，不正确的是(    )

A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 方程没有实数根
C. 若点是线段的黄金分割点，，，则
D. 两个直角三角形一定相似

8.    如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    若，是方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 分解因式：______．
12. 从，，，，中任取一个数，则取到的数是无理数的概率是______．
13. 如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于点，于点，则的最小值为______ ．

14. 对于实数、，我们用符号表示，两数中较大的数，如，若，则______．
15. 如图，已知在中，，，点为的中点，点，分别为，上的点，且，连接若，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：．
17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
    
    本次被调查的学生有______名；补全条形统计图；
    扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______；
    学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
19. 本小题分
    以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点、、、均在格点上．
    在图中，：______．
    利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
    如图，在上找一点，使．
    如图，在上找一点，使∽．
     
20. 本小题分
    冬奥会期间，各类吉祥物玩偶摆件在市场出现热销，俊俊决定购进“吉祥物毛绒玩具”与“吉祥物金属摆件”两种款式在自家网店销售，已知一件“吉祥物金属摆件”的进价比一件“吉祥物毛绒玩具”多元，元购进的“吉祥物毛绒玩具”数量是元购进的“吉祥物金属摆件”的两倍．
    每件“吉祥物毛绒玩具”与“吉祥物金属摆件”的进价各多少元？
    俊俊通过第一个月的销售数据发现，将“吉祥物毛绒玩具”定价元销售时，每周可售出个，销售单价每降价元，每周销售量可增加个，若俊俊希望一周销售“吉祥物毛绒玩具”获得元的销售利润，则“吉祥物毛绒玩具”应如何定价．
21. 本小题分
    阅读理解：
    材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例：
    例：求的最小值：
    解：令
    
    ，的最小值为．
    请利用上述方法解决下列问题：
    题一：如图，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点设．
    用含的代数式表示的长为______；
    求矩形的面积最大值．
    题二：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
22. 本小题分
    在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，其中．
    若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外？
    答：______；直接填空，不用说理
    在条件下，若四边形为矩形，求的值；
    在条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
故选：．
移项后，直接开平方法即可解得方程．
本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法是解题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：当，即时，方程是一元二次方程，
在“、、、”这四个数中有个数使方程是一元二次方程，
恰好使方程是一元二次方程的概率是：．
故选：．
根据一元二次方程的定义求出方程是一元二次方程时的取值范围，进而再根据概率的意义进行计算即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，得出正确的比例式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形∽四边形，，，，
，，
，
故选：．
利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：在菱形，
．
，．
故选：．
利用菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解．
本题运用了菱形的性质和等腰三角形的性质的知识点，运用知识准确计算是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
▱的面积为．
故选：．
利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理求得，然后根据平行四边形的性质求面积即可求解．
本题考查了作角平分线．平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、方程，，没有实数根，故选项B不符合题意；
C、若点是线段的黄金分割点，，，
则，故选项C不符合题意；
D、两个直角三角形不一定相似，故选项D符合题意；
故选：．
根据菱形的判定，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式以及黄金分割，对各个选项逐一判断即可．
本题考查了菱形的判定、相似三角形的判定、平行四边形的性质、一元二次方程根的判别式以及黄金分割等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，

故选：．
证明∽，求得：，再根据三角形的面积关系求得结果．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
 

9.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
把式子变形，再利用根与系数的关系，代入数据求值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，做题关键是掌握根与系数的关系式．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，为边的中点，
，，
由勾股定理得：
即的最小值为．
故选：．
利用已知可以得出，长度不变，求出最小时即可得出四边形周长的最小值，利用轴对称得出，位置，即可求出．
此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时，位置是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在，，，，中，无理数有，共个，
取到的数是无理数的概率是；
故答案为：．
先找出无理数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查了概率公式和无理数的定义，找出无理数的个数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，，
，
四边形为矩形，
，
当时，取得最小值，
此时是等腰直角三角形，
，
的最小值为；
故答案为：．
连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：，
当时，，不可能得出最大值为，
当时，，
则，
解得：不合题意，舍去，，
，
当时，，
则，
，
，，
解得：，不合题意，舍去，
则综上所述：的值为或．
故答案为：或．
首先理解题意，进而可得时分情况讨论，当时，时和时，进而可得答案．
此题主要考查了实数的比较大小，以及解一元二次方程直接开平方法，关键是正确理解题意．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于点，于点，连接，
，点为的中点，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
作于点，于点，连接，先证明，再根据等腰三角形的“三线合一”得，，即可根据三角形的中位线定理得，，而，则，再证明∽，得，即可求得，则．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、开方，最后算加减．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解；，
，
，
或，
所以，；
原方程整理为一般式为，
，，，
，
，
所以，． 

【解析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一元一次方程即可；
先把方程整理为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次被调查的学生人数为名．
故答案为：．
选择“足球”的人数为名．
补全条形统计图如下：

扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可．
画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：：．

如图所示，点即为所要找的点；
如图所示，作点的对称点，
连接，交于点，
点即为所要找的点，
，
∽． 

【解析】

【分析】
本题考查了作图相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
根据勾股定理得的长为，再根据相似三角形的判定方法即可找到点；
作点的对称点，连接与的交点即为要找的点，使∽．
【解答】
解：图中，
，
，
故答案为：．
见答案．  

20.【答案】解：设每件“吉祥物毛绒玩具”的进价是元，则每件“吉祥物金属摆件”的进价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每件“吉祥物毛绒玩具”的进价是元，每件“吉祥物金属摆件”的进价是元．
设“吉祥物毛绒玩具”定价为元，则每件的销售利润为元，每周的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：“吉祥物毛绒玩具”应定价为元． 

【解析】设每件“吉祥物毛绒玩具”的进价是元，则每件“吉祥物金属摆件”的进价是元，利用数量总价单价，结合元购进的“吉祥物毛绒玩具”数量是元购进的“吉祥物金属摆件”的两倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出每件“吉祥物毛绒玩具”的进价，再将其代入中即可求出每件“吉祥物金属摆件”的进价；
设“吉祥物毛绒玩具”定价为元，则每件的销售利润为元，每周的销售量为件，利用一周销售“吉祥物毛绒玩具”获得的总利润每件的销售利润每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

21.【答案】 

【解析】题一：
解：为高，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
∽，
，即，
；
故答案为；
设矩形的面积为，
，
，
，
，
矩形的面积最大值为；
题二：
设需要用的篱笆是米，米，则米，
根据题意得，
整理得，
，
而，
，
需要用的篱笆最少是米．
题一：易得四边形为矩形，则，所以，再证明∽，利用相似比得到；
设矩形的面积为，根据矩形的面积公式得到，把它整理为关于的方程得到，然后利用判别式的意义得到的范围，从而得到矩形的面积最大值；
题二：设需要用的篱笆是米，米，则米，利用矩形面积公式列方程得到，把它看作关于的一元二次方程，然后利用判别式的意义得到的范围，从而得到需要用的篱笆最少值．
本题考查了相似三角形的应用：通过构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了一元二次方程的应用和根的判别式．
 

22.【答案】四边形是平行四边形 

【解析】解：四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：，
四边形是矩形，
，，
，
，分别是，中点，
，，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
故答案为：四边形是平行四边形；
如图，连接，

由得，，，
四边形是矩形，
，
如图，当四边形是矩形时，
，
，
，
；
如图，当四边形是矩形时，

，，
，
；
综上，四边形为矩形时或；
如图，连接，，，与交于，

四边形为菱形，
，，，
，，
四边形为菱形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
，即，
当时，四边形为菱形．
利用三角形全等可得，，则，即可证明；
分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解；
根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解．
本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．